Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12

Лекция 2 (продолжение)

§ 2.1 Общие характеристики математических моделей в САПР

Как уже говорилось процесс автоматизированного проектирования можно представить как процесс преобразования математических моделей. Поэтому характеристики САПР в основном зависят от свойств реализованного в них математического обеспечения. Математические модели служат для описания свойств объектов в процедурах автоматизированного проектирования.

Напоминаем, что под математической моделью понимают систему математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающих свойства технического объекта, существенные для проектирования.

Примером записи математической модели объекта может служить

Y=F (X,Q) (1),

где Y, X, Q, - соответственно, вектора выходных, внутренних и внешних, F - некоторая известная вектор-функция, которая совпадает по размерности с вектором выходных параметров F={f₁, …, f_n).

В данном случае существует явная функциональная связь между выходными параметрами системы (т.е. свойствами системы) и ее внутренними и внешними параметрами. По такой явной зависимости легко оценить влияние внутренних и внешних параметров на выходные параметры системы. Однако в большинстве случаев в явном виде математическую модель создать не удается.

Помимо внутренних, внешних и выходных параметров выделяют т.н. фазовые переменные V=v(W,t). Фазовые переменные характеризуют физическое или информационное состояние объекта, а изменения фазовых переменных во времени выражают переходные процессы в объекте. Фазовые переменные в общем случае являются функциями независимых координат W={w₁, …, w_i, …, w_n}^Т и времени t.

Примером фазовых переменных в модели гидроцилиндра могут служить давление и расход жидкости для гидравлической подсистемы.

В общем случае математическая модель объекта может быть представлена в виде:

(w_i, t, v, vt , ^vt² , vw_i , ^vw_i² )=0,

или в сокращенной форме

Lv(W,t)=W,t) (2)

Здесь L - вектор операторов над фазовыми переменными;  - дифференциальные операторы; v(W,t) - искомая функция (фазовая переменная);  - заданная вектор-функция.

Примером записи математической модели может служить одномерное волновое уравнение, описывающее продольные колебания стержня с распределенной массой:

^ux²1/a²^ut²=0

L=^x²1/a²^t² вектор операторов; a=E/ - скорость распространения звука в материале стержня; W= x - независимая переменная - координата точки вдоль оси стержня; V= u(x) - фазовая (зависимая) переменная - перемещение точек стержня вдоль оси.

Следует подчеркнуть, что большинство выходных параметров {Y} является функционалами фазовых переменных. Иными словами, для их определения сначала необходимо при заданных внешних и внутренних параметрах решить систему уравнений - т.е. найти фазовые переменные, а уже затем определить выходные параметры системы. Для нашего случая выходной переменной будут напряжения в стержне, которые зависят от величины деформаций, а те, в свою очередь, от величины перемещений.

Под функционалом понимают отображение множества функций на множество чисел, когда каждой функции из некоторого множества ставится в соответствие какое-либо число. В том случае, если множество функций состоит из констант, то понятие функционала совпадает с понятием функции. Примером функционала является интеграл , где x(t) - непрерывная функция, определенная на отрезке [a, b ].

К математическим моделям, используемым в САПР, предъявляют следующие требования:

• высокая степень универсальности (модель для класса объектов);

• точность получаемых результатов;

• максимальная экономичность моделей в расходовании вычислительных ресурсов при реализации;

• надежность.

Эти требования противоречивы. Высокая степень универсальности и достаточная точность достигаются за счет усложнения модели, что ухудшает экономичность. Универсальность также приводит к возможности появления отказов из-за возможной неучтенности каких-то специфических факторов конкретного обьекта, т.е. снижается надежность. Выход при условии удовлетворения этих требований заключается в правильном выборе нужной математической модели из большого числа известных.

Общая запись математической модели может осуществляться в виде уравнений (1) или (2).

По модели (1) легко оценить влияние внутренних и внешних параметров на выходные параметры технического объекта из-за явной взаимосвязи параметров. Однако во многих случаях, в явном виде математическую модель создать не удается,- большинство выходных параметров в них являются функционалами фазовых переменных. Для их определения сначала необходимо при заданных внешних и внутренних параметрах решить систему уравнений - т.е. найти фазовые переменные, а уже затем определить выходные параметры системы.

§2.2 Классификация математических моделей

Основные типы математических моделей даны на рисунке:

Структурные модели предназначены для отображения структурных¹ свойств объекта, различаются по типам задач, решаемым при структурировании технических обьектов. Содержат два подкласса:

Топологические - для отображения состава и взаимосвязи элементов. Имеют форму графов, таблиц, матриц, списков. Для решения задач компоновки оборудования, размещения деталей и т.п. при структурном синтезе.

Геометрические - описание формы и взаимного расположения элементов в пространстве. Применяются для решения задач конструкторского аспекта. Используют несколько типов геометрических моделей. Геометрические модели подразделяются на :Аналитические модели описывают поверхности и линии в виде системы уравнений (аналитическая геометрия). Частным случаем аналитических моделей являются канонические модели. Канонические модели используют в тех случаях, когда удается выделить параметры, полностью определяющие объект, и в то же время однозначно связанные с его формой. Например для цилиндра такими параметрами являются направляющие косинусы оси, радиус и длина цилиндра, пространственные координаты точки оси, принадлежащей одному из оснований.

Алгебро-логические применяются для описания тел в виде систем аналитических и логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для отображения геометрических свойств сложных поверхностей применяют каркасные и кинематические модели.

Каркасные модели представляют поверхности тел в виде каркасов - совокупности линий, образующих сетку на поверхности тела. Применяют достаточно простые способы аппроксимации сетки в виде кусочно- линейной, сплайн - аппроксимации и т.п. по значениям координат в узлах сетки.

В кинематических моделях поверхность представляется как результат перемещения в пространстве кривой (или образующей), двигающейся по направляющей линии.

Функциональные модели, предназначенные для описания физических и информационных процессов, происходящих в объекте, представляют собой математическое выражение взаимосвязи между внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными.

По способу представления свойств объекта функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические модели имеют явную зависимость выходных параметров от внутренних и внешних, т.е. имеют вид (1). Аналитическая модель может быть получена из (2) в том случае, если такая модель допускает аналитическое решение. В противном случае модель (2) должна быть приведена к алгоритмическому виду.

Алгоритмическая модель - это выражение взаимосвязи между выходными, внутренними и внешними параметрами в виде алгоритма, т.е. последовательности вычислений, с помощью которых исходные данные преобразуются в выходные параметры. Для превращения системы уравнений (2) в алгоритмическую модель необходимо дополнить ее алгоритмом выбранного метода численного решения, - т.е. определением вектора фазовых переменных и алгоритмом преобразования вектора фазовых переменных в вектор выходных параметров.

Важным частным случаем алгоритмической модели является имитационная модель - предназначенная для имитации физических и информационных процессов в исследуемом объекте. Примером имитационных моделей могут являться модели поведения динамических объектов в виде систем массового обслуживания, предназначенные для имитации прохождения заявок через систему.

По способу получения моделей они подразделяются на теоретические и эмпирические (экспериментальные).

Теоретические модели получаются в результате изучения физических закономерностей, протекающих в объекте процессов, обосновании и принятии упрощающих предположений, определении соответствующего математического описания, выполнении необходимых выкладок и приведения модели к принятой форме представления.

Эмпирические модели основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации или при проведении целенаправленных экспериментов. Отношение к объекту как к черному ящику без выяснения физических основ происходящих процессов. Обычно имеют простую аналитическую форму.

Из принципов блочно-иерархического подхода к проектированию следует классификация математических моделей проектируемых объектов по уровням абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней:

• микроуровень (модели с распределенными параметрами);

• макроуровень (модели с сосредоточенными параметрами);

• метауровень (системный уровень).

Различные уровни абстракции отличаются друг от друга степенью подробности описания свойств элементов объекта, формой представления модели, фазовыми и независимыми переменными, методами решения.

Как правило от метауровня к микро увеличивается степень подробности описания и размерность математической модели. В общем случае на микроуровне - бесконечное число степеней свободы.

Микроуровень представляет собой наиболее детальное рассмотрение свойств объекта, который представляется в виде непрерывной сплошной среды. Точное решение математической модели в большинстве случаев невозможно, поэтому строят приближенную дискретную модель. Полученные при дискретизации системы являются системами алгебраических уравнений больших порядков. С ростом сложности задачи приходят к необходимости ввода упрощающих допущений.

Макроуровень использует представление о среде как о дискретном пространстве. В частности, для механических систем инерционные параметры считаются сосредоточенными в определенных точках или сечениях системы, которые связаны между собой упруго-диссипативными или геометрическими связями. Элементами этого уровня становятся объекты, которые на микроуровне рассматривались как системы. С ростом числа элементов размерность задачи вырастает и становится необходимым переход к следующему иерархическом уровню.

Метауровень использует дискретное представление о пространстве и времени. Объектами исследования являются сложные устройства и комплексы, функционирование которых рассматривается как цепь событий, происходящих в дискретные моменты времени и заключающиеся в изменении состояния элементов. Роль элементов выполняют системы макроуровня.

§ 2. 3 Примеры математических моделей (функциональные, на микроуровне)

1. Вывод аппроксимирующих выражений для уравнений примера 1 (см ниже). Общий случай построения конечно-разностной сетки.

Задача построения конечно-разностной сетки геометрически представляет собой замену непрерывного пространства некоторой расчетной сеткой. В дальнейшем используются значения переменных в узлах сетки. Задача выбора сетки не имеет какого.-либо строгого решения. Чаще всего используют прямоугольные и полярные сетки, в зависимости от внешнего контура области и вида диф.уравнений в частных производных (ДУЧП). Следует придерживаться следующих правил:

• сетка должна целиком покрывать исследуемую область;

• расстояния между узлами должны быть достаточно маленьким, чтобы приблизить конечно-разностную аппроксимацию производных к их истинным значениям;

• форма ячеек должна соответствовать внешнему виду границ, т.е. если границы параллельны декартовым осям - то сетка должна быть прямоугольной, если границы наклонены к декартовым осям – то косоугольной, если в границы близки к окружности и ДУЧП записано в полярных координатах - сетку надо выбирать в виде концентрических окружностей, пересеченных радиусами.

Примеры построения прямоугольной и полярной конечно-разностной сетки для плоских областей приведен на рисунке. Применена сетка с постоянным шагом h_x , h_y и h_ , h_ вдоль каждой из осей. В общем случае сетка может быть и с переменным шагом, сгущаясь в области предполагаемых увеличенных градиентов изменения неизвестной функции v.

Такая дискретизация позволяет перейти от непрерывного изменения искомой функции v к ее дискретному выражению:

v(x,y) v(x_i ,y_j )

v(,) v( _i , _j )

Для сокращения записи значение дискретной (сеточной) функции в точке i, j обычно используется обозначение v_i,j, , то есть v_i,ĵ= v(x_i ,y_j )

Из рисунка видно, что наилучшим образом метод КР приспособлен для тех областей ТО, границы которых представляют собой линии, параллельные координатным осям, либо окружности.

Как задавать границы более сложной формы, изображенные, в частности на рисунке?. Задание границ - это ахиллесова пята МКР. Наиболее простой способ - замена сложной границы на более простую путем переноса границы Г таким образом, чтобы новая граница Г’ проходила через ближайшие узлы сетки.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций