Лекция 2 (отредактир.) (1077339), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для нестационарных задач вводится понятие временного слоя и шага по времени h_t = см пример).

Алгебраизация заключается в замене частных производных в математической модели конечными разностями. Конечная разность - это алгебраическое выражение, аппроксимирующее значение производной сеточной функции в узле разностной сетки через значения самой сеточной функции в окрестных узлах. Конечно-разностное аппроксимация частных производных основана на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки i,j. В частности для оси x получим:

v(x_i+h_x,y_i)=v_i+1,j= v_i,j + h_xvx_x=xi + (h_x²/2) ^vx²_x=xi +… (2.1)

v(x_i-h_x,y_i)=v_i-1,j= v_i,j - h_xvx_x=xi + (h_x²/2) ^vx²_x=xi -… (2.2)

аналогичное выражение может быть получено и для разложения функции вдоль оси y.

Пренебрегая производной 2-го и высших порядков из выражения (2) может быть получено три выражения для аппроксимации первой производной:

vx1/h_x( v_i+1,j - v_i,j) - правая разность (из 2.1)

vx1/h_x( v_i,j - v_i-1,j) - левая разность (из 2.2)

vx1/2h_x( v_i+1,j - v_i-1,j) - центральная разность (из 2.1-2.2)

Складывая выражения (2.1) и (2.2) получим аппроксимацию второй производной

^vx²1/h_x²( v_i+1,j - 2v_i,j+ v_i-1,j) (3)

Аппроксимация производных по другим осям производится подстановкой других наименований осей.

Аппроксимация смешанной производной производится комбинированием двух центральных разностей по оси x и одной по оси y

(4)

• Замена частных производных в уравнении (1) в соответствии с (2)…(4) превращает его в систему алгебраических уравнений. В этой системе неизвестными будут значения фазовой переменной в тех узлах сетки, в которых не заданы краевые условия. В зависимости от выбора КР схемы система уравнений будет представлена либо рекуррентными соотношениями, либо системой линейных алгебраических уравнений.

Пример 1. Построения конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности стержня.

Рассмотрим простой пример распределения температуры вдоль оси однородного теплоизолированного по образующей стержня.

Стержень постоянного сечения имеет длину L и теплоизолирован с боков. В начальный момент времени каждое сечение имеет некоторую начальную температуру, закон распределения которой вдоль оси F(x). Правый и левый концы стержня (соответственно a и b) нагреваются по известному закону T_a(t) и T_b(t). Найти распределение температуры вдоль оси стержня в произвольный момент времени от 0 до t_к.

Распределение температуры вдоль оси стержня T(x,t) описывается одномерным уравнением теплопроводности:

(5)

a_Т=c - коэффициент температуропроводности,  - коэффициент теплопроводности, c - удельная теплоемкость,  - плотность.

Уравнение (5) должно быть дополнено краевыми условиями:

граничные условия: T(0,t)=T_a(t); T(L,t)=T_b(t)

начальные условия: T(x,0)=(x)

Применим следующую КР :

• выделим вдоль оси стержня m точек для дискретизации пространственной оси от x=0 до x=L с шагом h_x=h;

• для дискретизации времени выберем n точек на временнОй оси от t=0 до t=t_к с шагом h_t=

• множество узлов сетки, соответствующих t=t_j будем называть j-ым временнЫм слоем;

Таким образом от непрерывной функции T(x,t) перейдем к ее сеточной аппроксимации T(x_i,t_j)=T_i,j. Сеточный вид принимают и краевые уловия. Графически это можно изобразить в виде регулярной прямоугольной конечно-разностной сетки:

Конечно-разностную схему построим сначала на правой разностной аппроксимации частной производной по времени. Тогда для узла (x_i, t_j) получим следующую разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности:

(T_i+1,j-2T_i,j+T_i-1,j)/h²=1/a_Т (T_i,j+1-T_i,j)/ 

Это уравнение можно решить относительно T_i,j+1

T_i,j+1 =(T_i+1,j-2T_i,j+T_i-1,j) + T_i,j =

=T_i+1,j+(1-2)T_i,j+T_i-1,j 

где =(a_Т) / h²

Формула (6.1) представляет собой рекуррентной выражение, позволяющее получить численной решение задачи. Действительно, эта формула выражает в явном виде фазовую переменную следующего временного слоя через значения фазовой переменной в узлах предыдущего временного слоя. Поскольку в нулевом временном слое начальные условия заданы во всех узлах T_i,0=_i, значения в первом временном слое могут быть найдены через известные значения.

Подставив j=0 в (6.1) получим выражения для температуры любой точки оси стержня в момент времени 

j=0 T_i,1= T_i,= T_i+1,0+(1-2)T_i,0+T_i-1,0 =_i+1+(1-2)_i+_i-1 (7.1)

Подставив j=1 с учетом найденного ранее в (7.1) T_i, получим выражения для температуры любой точки оси стержня в момент времени 2

j=1 T_i,2= T_i,2= T_i+1, +(1-2)T_i, +T_i-1, (7.2)

И так далее до j=n t=n Графически этот процесс может быть представлен следующим образом

Схема, представленная на рисунке называется явной - в ней переменные следующего слоя могут быть явно выражены через переменные предыдущего слоя. Явную схему отличает простота получения решения, однако явная схема может привести к неустойчивости решения - накопление погрешности вычислительного процесса. Для данной задачи достаточным условием устойчивости решения 0.5 или h²/2a_Т. Таким образом выбирая шаг по пространственной координате по соображениям точности, шаг по временной координате приходится выбирать из условия устойчивости решения.

Общая запись математической модели может осуществляться в виде уравнений (1) или (2).

По модели (1) легко оценить влияние внутренних и внешних параметров на выходные параметры технического объекта из-за явной взаимосвязи параметров. Однако во многих случаях, в явном виде математическую модель создать не удается,- большинство выходных параметров в них являются функционалами фазовых переменных. Для их определения сначала необходимо при заданных внешних и внутренних параметрах решить систему уравнений - т.е. найти фазовые переменные, а уже затем определить выходные параметры системы.

Вначале рассмотрим более простой пример,- модель объекта задана в явном виде.

Пример 2. Исследуем процесс изменения инерционной нагрузки на ось колеса автомобиля, имеющего дисбаланс массы.

Известно, что от правильной балансировки колес автомобиля зависит качество езды на дороге (в частности, уровень вибраций, шум, устойчивость автомобиля и др.), Для балансировки колес используются специальные стенды, которые определяют величину дисбаланса колеса относительно оси вращения (идеально, когда масса колеса с покрышкой равномерно распределены по его периметру).

В математической модели, описывающей движение автомобиля по ровной поверхности примем, что в некоторой точке А колеса, смещенной относительно оси вращения на расстояние r, имеется некая условная (сосредоточенная) масса m. Скорость движения автомобиля -V, эффективный диаметр колеса 2R.

Для оценки значений инерционных сил при вращении колеса необходимо поэтапно рассчитать: траекторию точки с массой m на ободе колеса; векторы скорости и ускорения на графике траектории движения точки; вертикальную составляющую инерционной силы от дисбалансной массы m в точке А.

Считаем, что в начальный момент времени качения колеса по дороге сосредоточенная масса m находилась в самом нижнем положении.

Решение задачи проведем с использованием пакета прикладных программ MathCAD ¹⁾.

Отметим внутренние параметры модели: m, V, R, r; выходные параметры: траектория, скорость, ускорение и инерционная сила, действующая на ось колеса со стороны дисбалансной массы по вертикали. Проведем аналитическое решение задачи.

П
араметрические уравнения построения вектора скорости точки А в заданный момент времени (см рис.2.1):

Продифференцируем эти выражения по t и запишем уравнения проекций скоростей и ускорений на оси Х и У:

С
корость

У
скорение:

Результирующие значения скорости и ускорения (последнее линейно зависит

только от координаты точки А):

При решении задачи с помощью MatCAD получаем как числовую, так и графическую форму результатов.

Построим, например, вектор скорости точки в заданный момент времени t₀ на графике траектории ее движения.

Пусть значение представляющего интерес момента времени: t:=0.8sec.

Далее изложен алгоритм решения в MatCAD.

Для расчета траектории введем ранжированную переменную t:=0,0.01..2 sec и коэффициент масштабирования вектора скорости (в программе может вводится автоматически, исходя из вида графика): принимаем n:=0.3 sec.

Приведенное значение длины вектора скорости по оси Х

i: =V_x(t₀) n .

Характеристики

Список файлов лекций