Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 91
Текст из файла (страница 91)
ряд для 1п(х)):п-1п=0(2п(х-1)ч2п+1Лп+1тгт (..к=0assume , x > 1п!,л•х simplify -» (1 + х)Функциональные ряды в Mathcad можно почленно интегрировать и дифференцировать. Дляпримера возьмем степенной ряд, соответствующий синусу:х-(-1)-1 2п-1cos (х)I2п-1• dx -» -cos (x)(2п - 1)!(-1)п-1*-* dxn=0 Jп = 0программа использует стандартные формулы довольно некорректно. Например, формуИногдала для суммы сходящейся бесконечной геометрической прогрессии будет возвращена по умолчанию, хотя основание прогрессии q потенциально может быть и больше 1 (при этом сумма прогрессии будет равна бесконечности):00Sa-qn-1.assume,q>0 ->-a4 0 0 •:• Глава 12. Ряды и пределыВ отличие от сумм бесконечных, суммы конечные можно вычислять как численно, та?:и символьно. Аналитически конечные суммы приходится находить не так уж и часто,но иногда эта возможность бывает очень полезной.
Так, используя оператор суммирования, можно «вывести» формулы для арифметической и геометрической прогрессии, суммы всех нечетных (или четных) чисел от 0 до п, суммы гармонического ряда.Пример 12.3. Аналитическое вычисление конечных суммСуммы типа арифметической прогрессии. Обратите внимание на то, что для того, чтобы получить результат в простой форме, не обойтись без операторов simplify и factor:°simplify(factor - 22 *k£v *k=l£(2k- 1) simplify -> nn2' k=lПZ,чk 4 factor -> —n-(2-n + l>(n + l)-(3-n 2 + 3-n - l)30k =lСумма п членов гармонического ряда:njk> Psi(n + 1) + уk =lВ данном выражении у — это константа Эйлера, Psi —Лу-функция, явное выражение которой имеет следующий вид:Psi(x)=—Г(х)dxЧтобы найти числен нос значен ие суммы гармонического ряда, полученное выше выражение должно быть приближенно подсчитано с использованием оператора float.
К примеру, найдем сумму100 первых членов ряда:Psi(lOl) + у float,4 -» 5.187Сумму членов конечного гармонического ряда можно вычислить и непосредственным суммированием. Правда, если провести эту операцию аналитически, будет получена уж очень громоздкаяпростая дробь:1001к14466636279520351160221518043104131447711>2788815009188499086581352357412492142272- f ,5 _^,„-,„,float—> ,5.1874к=1Наиболее простой вид суммирования — это нахождение суммы конечного ряда численно. Обычно он используется в разного рода приблизительных расчетах.
Например,если интегральная функция описывается бесконечным рядом, то, чтобы найти еезначение с ограниченной точностью, достаточно просуммировать лишь определенное количество членов этого ряда. К сумме конечного ряда сводятся все основные методы численного интегрирования. В конце концов, оператор суммирования используется при нахождении банального среднего арифметического последовательностизначений.12.2.
Вычисление суммы ряда • 4 0 1Пример 12.4. Задачи, сводящиеся к численному нахождению конечныхсуммЗадача 1. Не применяя численных методов интегрирования, найти значение интеграла'ос точностью до 0,00001.Данный интеграл является неберущимся, поэтому вычислить его значение аналитически, применив теорему Ньютона-Лейбница, невозможно. Однако мы можем рассчитать его приближенно, используя ряды.Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя оператор series (Ряд) панелиSymbolic (Символьные):sin(x), 1 21 41 6series,х,9 -> 1х +ххх61205040Попробуем вывести формулу для общего члена данного ряда. Сразу заметим, что величина в знаменателе — это факториал числа, на единицу большего, чем степень х.
Далее отметим, что в рядуимеются лишь члены, которым соответствует четное п. Ряд знакочередующийся — следовательрно, в числителе формулы общего члена обязательно должен быть множитель (-1) , где р — этонекое выражение от п. Соединяя все эти факты воедино, находим необходимую формулу:...sra(x)°°^-i. .п 2п(-1) -х2-4 ( 2 п + 1)!п=0хВ том, что полученная формула верна, можно убедиться, подсчитав сумму аналитически:(2n + 1)!хn=0Проинтегрируем выведенную формулу общего члена ряда. В результате мы получим бесконечный ряд, сумма которого описывает первообразную для f(x)=sin(x)/x.2nх.",',sin(x)2-n+ldx>(2п+ 1)!=°2п+1( 2 п + 1)-(2п+ 1)!,2-п + 1 (2-п+ 1)!п=0Теперь мы можем, перейдя от бесконечного ряда к конечному, применить теорему НьютонаЛейбница.
Но сколько членов ряда взять, чтобы получить результат с нужной точностью? Мывоспользуемся правилом, гласящим, что погрешность в определении суммы сходящегося рядане превышает величины первого отброшенного члена.f(z):=(-r= -1.723ДЗ)=-0.0862z+l(2z+ l)(2z+ 1)!f(5)=-6.7x 10" 4f(7) =-1.461 x 10~4 0 2 •:• Глава 12. Ряды и пределыИтак, чтобы достигнуть точности в пять знаков после запятой, нужно взять восемь членов рядапервообразной. Тот же результат будет получен, если г мы найдем, определив посредством численного метода решения уравнений, при каком значении аргумента f(z) принимает значение 10~3:.-15TOL:=10f(z):=(-1) -я(2zz:=42 z + 11)-Г(2г+ 1).-6-10root(f(z),z) = 7.933При решении данного уравнения был применен довольно тонкий и важный прием, на которыйстоит обратить внимание. В знаменатель исходного выражения f(z) входит факториал от 2z+l.Следовательно, функция f(z) не является непрерывной и дифференцируемой, так как она определена только при целых неотрицательных z.
Значит, использовать для поиска ее нулей численные методы не получится (а аналитически решить столь сложное уравнение невозможно). Но мыможем «схитрить», заменив факториал Г-функцией Эйлера. При целых положительных значениях аргумента данная функция равна факториалу, так что тождественность не нарушится. Однако Г-функция непрерывна на промежутке (0, <*>), поэтому в результате замены ею факториалафункция f(z) станет непрерывной на промежутке (1/2, °°).
Найти же нуль непрерывной функциичисленный метод сможет с легкостью. Однако, нужно задать максимальный уровень точности(присвоив TOL значение 10~17), так как порядок величин очень мал.Найдя оптимальное количество членов приближающего ряда, подсчитываем интеграл:2п+1Я(2п+ 1)(2п+ 1)!п=0= 1.85194Проверяем верность результата с помощью численного интегрирования:гпsin(x)dx= 1.85194Задача 2. Функция f(x) задается бесконечным тригонометрическим рядом следующего вида:cos(7x)cos(3x)cos(5x)*--* +*—*•4927i [925С точностью до пяти знаков рассчитать значение производной данной функции в точке х-1и найти величину интеграла на промежутке от 0 до р. Построить график функции.:=cos(x) +Для начала найдем формулу общего члена ряда, задающего функцию.
Она довольно очевидна(главное, обратить внимание на то, что в ряду имеются члены лишь для нечетных п):«-Hicos[(2nЧтобы можно было вести численные расчеты, следует перейти от бесконечного ряда к конечному, суммируя п первых его членов и не учитывая все остальные. Но какое значение нужно присвоить п? Очевидно, что количество суммируемых членов напрямую определяется требуемымуровнем точности. По условию задачи мы должны найти производную и интеграл с пятью вер-12.2. Вычисление суммы ряда •> 4 0 3ньши знаками после запятой.
Это означает, что функция должна быть аппроксимирована с точностью до 7-8 знаков после запятой, так как два-три разряда будут потеряны за счет погрешности как численных методов, так и компьютерной арифметики. Чтобы найти п исходя из этогоусловия, подберем для нашего функционального ряда мажорантный числовой ряд (это такойряд, члены которого всегда больше или равны соответствующим членам данного ряда):4 cos[(2n + 1)-47171(2n+l)21(2п+1)2Очевидно, что если п взять таким, что сумма мажорантного ряда вычислится с точностью до 8-гознака, то такой же или более высокий уровень точности будет достигнут при суммировании пчленов ряда, задающего f(x) (так как он быстрее сходится).
А так как выбранный мажорантныйряд является абсолютно сходящимся числовым рядом, то погрешность вычисления его суммыне превышает величины первого отброшенного члена. На основании этого свойства можно найти п, решив соответствующее уравнение:171= 10(2п+1)2solve, п5641.6^float,5 "-5642.6JИтак, чтобы аппроксимировать f(x) с точностью до 8-го знака после запятой, следует просуммировать порядка 5600 членов задающего ее ряда. Согласитесь, это довольно много (разумеется длячеловека: для компьютера это мизер).
Вообще, тригонометрические ряды сходятся намного медленнее, чем ряды Тейлора, что долго ограничивало их использование в приблизительных расчетах.Задаем функцию, аппроксимирующую f(x):л5 6 4 24 х-» cos[(2n + 1)-х]Пп=0(2п+1)'Численно подсчитываем производную и интеграл:х:=1xdx= 4.9348dxОСтроим график (рис. 12.1). Обратите внимание, что на это потребуется в общем не очень многовремени, что удивительно с учетом того, сколько точек должно быть посчитано.10Рис.
1 2 . 1 . График функции, заданной тригонометрическим рядом4 0 4 • Глава 12. Ряды и пределыУбедиться в том, что задача была решена верно, можно, зная, что ряд, задающий f(x), есть не чтоиное, как результат разложения в ряд Фурье функции р(х)=|х| на промежутке от —п до я:р(х) :=х:=1Г-Р(х) = 1dxp(x)dx= 4.934812.3. ПроизведенияПолностью аналогично сумме ряда можно вычислить произведение его членов. Дляэтого нужно воспользоваться специальным оператором Iterated Product (Результат произведения), который, помимо нажатия кнопки панели Calculus (Вычисления), можноввести сочетанием клавиш Ctrl+Shift+3:п-•= 1В Mathcad можно вычислять конечные (численно и аналитически) и бесконечные(только аналитически) произведения. Наиболее интересны сходящиеся бесконечныепроизведения. Для примера приведем несколько подобных произведения.Пример 12.5. Вычисление бесконечных сходящихся произведенийПроизведения, сходящиеся к числам:00^пч00(k-l)-(k+2)^1k-(k+ 1)3п=2к=2Произведения, сходящиеся к функциям (приведенные произведения могут использоваться длявычисления значений синуса и косинуса вместо рядов Тейлора):пsin(l)к=1-> cos (1)122(2к- 1) -я _Произведение, позволяющее вычислять число л:п —4,ооД4ГКонечные нроизведения не столь изящны, как бесконечные, однако они куда болееважны для практики.
Они могут использоваться при решении таких задач, как вычисление биноминальных коэффициентов, геометрического среднего, определения значений различных математических функций и констант.Пример 12.6. Вычисление конечных произведенийФункция, находящая биноминальные коэффициенты (число сочетаний из п по к):12.4. Ранжированные суммы и произведенияк-}кbinom(n,k) := Т Г (п - i) 4 | Г ibinom(5,3) = 10* 405binom(2,1) = 2i=0i =lФункция, позволяющая определять значения синуса. Аналогична встроенной функции sin:1000 (new_sin(x) :=х- Т,-л2 \х2 2к -» .iU=0.866sin -new sin -=0.86612.4. Ранжированные суммыи произведенияПомимо стандартных, широко распространенных в математике операторов обычногосуммирования и умножения, в Mathcad есть два довольно интересных оператора такназываемых ранжированных сумм (Range Variable Summation — Суммирование по ранжированной переменной) и произведений (Range Variable Iterated Product — Произведение по ранжированной переменной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
