Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Чтобы проверить последнее утверждение, найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого вспомнимдостаточное условие монотонности функции, утверждающее, что дифференцируемая и возрастающая (убывающая) в интервале (а, Ь) функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную (неположительную) производную.х<-3х+2> 0 solve,х0<х2[(х+3)-х ]к-х+ 2< 0 solve,х —>х<-3(-2<х)(х<0)[(х+ 3)-х2]Как вы помните, во избежание ошибки при решении неравенств в Mathcad полученный результат следует обязательно проверять по графику (подробно о правилах интерпретации результатов, полученных при решении неравенств, см. в гл.
9). В нашем случае решение обеих неравенствбыло найдено с учетом того, что в точке х=-3 функция производной терпит разрыв, однако с помощью графика мы можем указать корректные промежутки знакопостоянства исследуемой функции:в интервале (-<*>; -2) и (0; =°) функция возрастает, в интервале (-2; 0) — убывает.13.1. Исследование функций одной переменной * 4 1 7Итак, при переходе через точку х—2 производная меняет знак с плюса на минус, значит, в данной точке функция имеет максимум:Д-2) = 1.587При переходе же через х=0 знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, в данной точке расположен минимум:f(0) = 0Заметьте, при х=-2 экстремум гладкий (f (-2)=0), а при х=0 — острый (f (0)=«а).При х~-3 экстремума нет, поскольку знак производной сохраняется.
Поведение функции в этойточке требует дополнительного исследования. Взглянув на график, легко убедиться в том, чтох — 3 является точкой перегиба, однако это необходимо подтвердить аналитически, определивинтервалы вогнутости и выпуклости.В-шестых, найдем интервалы вогнутости и выпуклости графика функции, а также точки перегиба.Достаточным условием вогнутости (выпуклости) кривой на промежутке (а; Ь) является положительный (отрицательный) знак второй производной на данном промежутке.,2-2— ffx) simplify ->dx(х+3)-[(х+3)-х2]Промежутки монотонности функции второй производной можно определить из соответствующих неравенств, проверяя результаты по графику (рис.
13.2).Рис. 13.2. График функции второй производной-2> 0 solve,х -> х< -3(x+3)-L(x+3)-2< 0 solve,х2(х+3) •[(х+ 3)-х ]х<-30)-(-3О <х418•Глава 13. Исследование функций и оптимизацияГлядя на график, можно сделать вывод о том, что первое неравенство было решено системой верно: f'(х)>0 на промежутке (-«>; -3), а вот со вторым неравенством Mathcad справился немногохуже — полученный результат верен частично: f '(х)<0 на промежутке (-3; 0) и (0; <*>).
Исходя изэтого, в интервале (-»; -3) график исследуемой функции является вогнутым, в интервале же(-3; 0) и (0; °°) — выпуклым.При переходе через точку х=-3 вторая производная меняет знак, значит, х - - 3 является точкойперегиба графика функции.Обратите внимание, в данном случае достаточное условие точки перегиба не выполняется, поскольку в ней вторая производная равна не 0, а бесконечности. Тем не менее поведение функциивторой производной (которая не является непрерывной) в окрестности этой точки дает нам право считать ее точкой перегиба (что, в общем-то, очевидно из графика).При х=0 вторая производная также обращается в бесконечность, но не меняет знак в окрестности данной точки, поэтому при х=0 перегиба нет.В-седьмых, найдем асимптоты графика функцииАсимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кр ивой при неограниченном удалении от начала координат.Исследуемая нами функция не имеет вертикальных асимптот, поскольку непрерывна на всейчисловой оси.
Невертикальные асимптоты будем искать в виде y-kx+b (рис. 13.3):k:=limb :=1lim(f(x) - k-x)-> 1ooадУ(х>-2хРис. 13.3. Асимптота у=х+1 графика исследуемой функцииу=х+1 является наклонной асимптотой. Расстояние от нее до точек графика функции неограниченно уменьшается с ростом х:lim[ f ( x ) - ( x + 1)]-»0В-восьмых, найдем предельные значения функции на концах области определения.3limх—> - о о//22>J(>J(x+3)-x3-> oolimх - > оо/ 3 / 2^(x+3)-xСтрого говоря, предельное значение функции на левой границе области определения равно не °°,а -о», в чем легко убедиться исходя из графика.Проведенное нами исследование функции в очередной раз доказывает, что полностьюдоверять результатам, полученным при символьных расчетах, нельзя: проверка любого из них по графику обязательна.13.2.
Исследование функций нескольких переменных•:• 4 1 913.2. Исследование функций несколькихпеременныхКак и в случае функций одной переменной, Mathcad существенно облегчает исследование функций многих переменных благодаря возможности построения описывающихих поверхностей и линий уровня, с помощью которых доказать непрерывность функции, найти экстремумы, седловые точки, а также точки или линии разрыва намногопроще.В данном разделе мы разберем, как средствами Mathcad можно определить экстремумы функции двух переменных.Пример 13.2.
Найти экстремум функции двух переменных.- х 2 -у 2 / 22\f(x,y) = e[Зх +у )Построить линии уровня функцииПостроим в первую очередь линии уровня исследуемой функции (подробно о способах заданияповерхностей и контурных графиков рассказано в гл. 6) (рис. 13.4):2f(x,y):=e-х-у2Рис. 13.4.
Линии уровня исследуемой функции двух переменныхНеобходимым условием экстремума функции нескольких переменных в точке (х0, у0) являетсяравенство нулю ее частных производных в данной точке. Достаточное условие экстремума заключается в следующем. Пусть в точке (х0, у0) fx(x0, уо)-О, fy(x0, уо)-О, и функция имеет в этойточке непрерывные частные производные второго порядка:f' xyx y(x)=f" (x 0 ,y 0 )=B( x0 ,y0 ,0y 0 ) f yyxxД=АС-В2f' y y (x o ,y o )=C4 2 0 • Глава 13.
Исследование функций и оптимизацияТогда если Д>0, функция имеет экстремум в точке (х0, у 0 ): максимум при А<0 и минимум приА>0. Если Д<0, экстремума в точке нет — она является седловой.Исследование функции двух переменных на экстремум также проведем по пунктам.Во-первых, найдем частные производные функции:222-x -v / 22\-x -vЭу^f(x,y)->-2-ye-(3-х + y Z ) + 2 - у е х у- f ( x , y ) -> -2-х.е2[3-х + у )+ 6-хеВо-вторых, найдем критические точки функции, решив систему уравнений fх(х0, уо)=О, fy(x0, yo)=0:Given2222.- х - у /1 22\-х -у-2-х-е-(3-х + у 1+ б х е= 0-2уе~х2" у 2 -(з-х 2 + УFind(x,y)2)+2-у-е" х 2 " у 2 = О' o o o i -Г\01-100Обратите внимание, в данном случае система нелинейных уравнений была решена символьно.К сожалению, в Mathcad это возможно далеко не всегда, поэтому в случае, если критические точки символьно определить не удастся, для каждой из них в отдельности придется задавать начал ьное приближение исходя из контурного графика.В-третьих, найдем частные производные второго порядка, вычислим их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделаем вывод о наличии экстремумов (дляэкономии места исследуем две точки из полученных пяти).Я2A(x,y):=-^f(x,y)ЭхЯ2C(x,y) -^-^(x.y)ЯЯB(x,y):=^f(x,y)ЭхЭу)-С(1,0)-В(1,0) 2 = 6.496ЭуА(1,0) =-4.415В точке (1,0) Д>0 и А<0, значит, это точка максимума.
Аналогичным образом можно доказать,что (-1,0) является точкой максимума, а (0,0) — точкой минимума функции.Исследуем точку (0, 1).А(0,1)С(0,1) - В(0,1) 2 = -2.165Д оказалось отрицательным, следовательно, в данной точке экстремума нет, она является седловой. То же самое можно утверждать, исследовав точку (0, -1).В-четвертых, найдем значения функции в точках экстремума:f(0,0)->0f(l,0)^.3-e" 1f(-l,0)^3e~113.3. Численное определение экстремумов функций * 4 2 113.3.
Численное определение экстремумовфункцийОчень многие математические задачи решаются с помощью определения точки экстремума соответствующей функции. Учитывая важность данной проблемы, разработчики Mathcad внесли в программу специальные функции, которые, используя возможности численных алгоритмов решения уравнений, могут весьма эффективно с нейсправляться. Однако использование градиентных методов (а именно такие алгоритмылежат в основе поиска экстремумов функций) сопровождается многочисленнымисложностями, связанными с правильным выбором начальных приближений, точностинастроек метода.
Поэтому в этом разделе мы попробуем разобраться, как можно быстро и просто найти точки минимума или максимума с помощью системы Mathcad и какпри этом не допустить ошибок.13.3.1. Экстремум функции одной переменнойПоиск экстремума функции — это задача, технически очень схожая с поиском корнейуравнения. Критерием существования корня в некоторой точке является то, что величина функции в ней по модулю должна быть меньше некоторого, определенного в системе или пользователем, параметра точности. При поиске же экстремума меньше этого параметра должна быть не сама функция, а ее первая производная. Минимум же этоили максимум, можно определить по знаку второй производной.В программе Mathcad существуют две функции, отвечающие за поиск экстремумов:Minimize(f,xl,x2....) (определяет локальные минимумы) и Maximize (f,xl,x2....) (ищет локальные максимумы).
Синтаксис их довольно схож с синтаксисом функций решенияуравнений (root, find) и имеет два возможных варианта записи. Единственным отличием в синтаксисе функций Maximize, Minimize и root является то, что при поиске экстремумов в скобках соответствующей встроенной функции должно быть заключено лишьимя исследуемой функции, беа переменных, от которых она зависит,Если вам известно приблизительное расположение нужной вам точки экстремума, томожно воспользоваться более простым стандартным вариантом употребления функций Minimize и Maximize.
В этом случае требуется задать начальное приближение.Пример 13.3. Поиск экстремумов с помощью функций Minimize и Maximizeпри заданном начальном приближении3f(x):=x -3x-lMaximize(f,x) = -1Minimize(f,x) = 1Убедиться в правильности полученных результатов можно, построив график.Если вы щелкнете правой кнопкой мыши на тексте функции Minimize или Maximize, тооткроется контекстное меню, практически полностью аналогичное меню функции find.Отличие в них есть только одно: поиск экстремумов нельзя произвести с помощьюметода Левенберга.
Так что, если функция не справится эффективно со своей задачей,вы можете поменять используемый метод или самостоятельно произвести его настройку.422 •Глава 13. Исследование функций и оптимизацияВпрочем, как показывает опыт, это вряд ли поможет (ввиду того, что эффективностькак квазинютоновского метода, так и метода сопряженных градиентов практическисовпадает).Эффективность работы функций Minimize и Maximize сильно зависит от выбора точкиначального приближения. Особенно это проявляется в тех случаях, когда количестволокальных минимумов или максимумов велико.Пример 13.4. Исследуем функцию (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
