Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Осуществлять же такого рода операцию нужно нетолько исходя из эстетики решения или экономии места, но и в связи с тем, что чем проще формавыражения, тем более эффективно с ней работает символьный процессор.Поскольку преобразование Лапласа обладает свойством линейности, комбинация упрощенны?:изображений представляет собой алгебраическое уравнение, соответствующее дифференциальному. Решив его относительно г, мы получим изображение корня дифференциального уравнения:V(-4-yO + s 3 y00 "4V1+6 V2"4V3+ V 4S 0 l v e > Zs - / 0 + У"0 - 4 - s 2 - y 0 - 4 - s ^ y O - 4 - y ' O + 6 - s - y O + 6-y'o)1./ „ 3 , 2 .4 Д1-4 • s + 6 - s - 4 - s + s + 1 )14.1.
Аналитическое решение ОДУ и систем ОДУ<• 4 3 7Применим обратное преобразование Лапласа и приведем подобные слагаемые (последнюю операцию следует выполнять после того, как решение будет получено в развернутом виде, ведь предсказать заранее, какие слагаемые окажутся подобными, нельзя):2Г-4-уО + s -уО + s /0 + s-y"0 + у'"0 - 4s -y0 - 4s-yO - 4y"0 + 6s-yO + 6yTj) itrylaplace, s3 2**collect, exp(t),t ,t—4-s + 6s - 4s + s + J— -f°+--y'"0 - - -yO + - - / о ] - t 3 + f - -yO+ - -y"O-y'0 ] • t 2 + (y'0-yO) -t + yO • exp(t)Выражения в круглых скобках являются независимыми произвольными постоянными функции решения, обозначаемыми в математике как Сп.
Найденная в результатефункция является записанным пусть и не в самой удобной форме, но все же вполнекорректным решением уравнения.Абсолютно аналогичным способом можно найти корни и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Достаточно лишь преобразовать правую часть,а при решении алгебраического уравнения перенести соответствующее ей изображение в левую часть.Используя преобразование Лапласа, можно решать системы ОДУ.
Чтобы это сделать,вы должны найти корни системы алгебраических уравнений, составленной из полученных изображений уравнений системы ОДУ. Применив затем к найденным корням операцию обратного преобразования Лапласа, вы получите искомые аналитические решения системы.Задачу Коши для ОДУ или системы ОДУ можно решить и несколько упрощеннымспособом, используя вычислительный блок Given-Find, но для этого нам придетсявспомнить, как формируются изображения для производных функции-оригинала.Пример 14.3.
Найти решение задачи Коши для системы2дифференциальных уравнений х'=4х-3у+2е\ y'=3x-2y-t , x(0)=-1, у(0)=0Вводим ключевое слово Given:GivenВыполняем операцию преобразования Лапласа над производными и свободными членами уравнений (функциям x(t) и y(t) соответствуют изображения х и у):— x(t) laplace,t -> s • laplace (x(t),t,s) - x(0)dt—y(t) laplace, t -» s • laplace(y(t),t,s) - y(0)dt2e laplace,t -*t laplace,t -> —В изображениях производных присутствуют начальные условия х(0) и у(0). Их необходимо указать в алгебраических уравнениях, к которым сводятся уравнения дифференциальные:2s-х+ 1=4х-3у +2s-y = 3x-2ys- 13s4 3 8 • Глава 14.
Дифференциальные уравненияРешаем полученную систему уравнений относительно х и у:-s+6-sД-61+o-ss3 • (s3 - 3 • s2 + 3 • s - l )fmd(x,y)(lO • s - 3 • s 4 - 2 • s 2 - 8 + 9 • s 3 )s3 • (s3 - 3 • s2 + 3 • s - l)Для получения функций решения проводим над полученными выражениями обратное преобразование Лапласа, группируя затем подобные слагаемые.Функция x(t):5-sr3+6-s4r+6-s + s -invlaplace, ss 3 • ( s 3 - 3 • s 2 + 3 • s - l )collect, exp(t)-> ( з • t 2 + 5 • t - 19) • exp(t) + 3 • t 2 + 12 18•t +Функция y(t):s(lO • s - 3 • s 4 - 2 • s 2 - 8 + 9 • s 3invlaplace,)Т~ТЪI2"Дcollect, exp(t)s -Is - 3 • s + 3 • s — 1122-> (з • t + 3 • t - 2o)- exp(t) + 4 • t + 14 • t + 2014.1.2. Решение линейных неоднородныхдифференциальных уравнений с применениемпреобразования ФурьеСпецифическим, но все же альтернативным преобразованию Лапласа способом можно решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения, используя преобразование Фурье.
Достоинством преобразования Лапласа является то, что с его помощью можно решать как однородные, так и неоднородные линейные уравнения. Однакоу этого метода есть и существенный недостаток: при его использовании приходитсяоперировать огромными выражениями и делать множество замен и подстановок. К томуже полученное решение всегда представлено в довольно неудобной нестандартной форме. При использовании же преобразования Фурье этих проблем не возникает: процессрешения компактен, а искомая функция отображается в привычном виде.Сущность преобразования Фурье заключается в переходе от функции действительнойпеременной f(x) — оригинала к изображению — комплексной функции F(y).
ФункцияF(y) ставится в соответствие функции f(x) согласно формулеF(y) =f(x)eкоторая и носит название преобразования Фурье.ydx14.1. Аналитическое решение ОДУ и систем ОДУ• 439При преобразовании Фурье операция дифференцирования переходит в умножение нанезависимую переменную. Другими словами, если F(y) — изображение функции f,a G(y) — функции f, то G(y)=-iy-F(y). К функции f(x) предъявляются следующиетребования: она должна быть гладкой (кусочно-гладкой) и абсолютно интегрируемойна всей числовой оси.Как известно, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общегорешения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. К сожалению, с помощью преобразования Фурье нельзя найти общеерешение однородного дифференциального уравнения, однако этим способом можнолегко получить частное решение неоднородного уравнения любого порядка, не оперируя громоздкими выражениями, как в случае применения преобразования Лапласа.Общее же решение однородного уравнения можно найти, вычислив корни соответствующего характеристического многочлена.Чтобы продемонстрировать преимущества использования преобразования Фурье, рассмотрим конкретное уравнение.Пример 14.4.
Проинтегрировать линейное неоднородноедифференциальное уравнение yv-3y'"+4y"+2y'-4y=sin(x)Приступим к поиску частного решения. В первую очередь нам нужно получить изображениеуравнения. Для этого воспользуемся оператором прямого преобразования Фурье fourier (Фурье)панели Symbolic (Символьные). Как и в случае преобразования Лапласа, все члены уравнениядолжны быть перенесены в левую часть, которая указывается в левом маркере оператора fourier.В правом маркере определяется переменная, по которой проводится преобразование.,5,3,2,-2-zy(x) - 3 — у ( х ) + 4 -S-ry(x) + 2 - у ( х ) - 4 у(х) - sin(x) fourier, x ->dxdxdxdx532-> i-oo • fourier(y(x),x,со) + 3-i-co fourier(y(x),x,GO) -4-co-fourier(y(x),x,co) ++ 2-i-<B-fourier(y(x),x,co) - 4-fourier(y(x),x,oo) + in-A(co - l ) - inA(a> + l)Здесь Д — знаменитая дельта-функция Дирака (она определена для всех х и равна бесконечности в одной точке и нулю во всех остальных).Для удобства заменим в последнем выражении переменную fourier(y(x),x,(o) на г, а затем решимполученное уравнение относительно г.532ico-z + 3-icoz -4-co-z+2-i-oo-z-4-z+i-n-A(co - l)-i-n-A(co + l ) solve,z -»-A(co - l ) +д(со + l)-» i-тг.i-co + 2-i-co - 4 + 3-i-co - 4-coНайдем частное решение уравнения.
Для этого применим к решению-изображению обратноепреобразование Фурье, задействовав оператор invfourier панели Symbolic. Чтобы результат небыл представлен в комплексной форме, воспользуемся оператором complex панели Symbolic..__- Д ( ю - 1 ) + д ( с о + 1)._1-со + 2-i'tt) - 4 + 3-i-co - 4-coinvfourier, со_2->—sin(t)complex253cos(t)504 4 0 •:• Глава 14. Дифференциальные уравненияЧастное решение найдено. Теперь необходимо найти общее решение однородного уравнения,соответствующего нашему неоднородному: y v -3y"'+4y"+2y'-4y=0.
Составим для него характеристический многочлен и найдем его корни:1-2roots := х -3-х + 4-х + 2-х-4 solve,х ->-1Из курса высшей математики известно, что общее решение однородного уравнения определяется формулойгде п — порядок дифференциального уравнения, Хп — корни характеристического многочлена(формула справедлива для случая отсутствия кратных корней). Имея вектор корней характеристического уравнения, несложно написать программку, которая представляла бы общее решениев таком виде:General_solution(pol) := а < - 0for i е 0..
last(pol)polj-xa <- a + C.-eGeneral_solution(roots)->C ( ) -e X +C 1 -e2 xx+C2-e+ C 3 - e ( 1 + l ) x + C 4 -e ( 1i ) xИзбавимся от комплексности в ответе, приведем подобные слагаемые и переопределим константы, чтобы записать общее решение однородного уравнения в стандартной форме.,_, хCQ-e +-2-хe_,-х+ CL-e)••kl-e„+ C3-e•cos(x) + i ( cvХ/ ч•cos(x)(l+i)xС!-С4)-е= kl4=х .
, .+ к2 •е -sin(x)complex0-i)x+ C.-eX..•sin(x) +collect, cos(x), sin(x), eо-eс=4)сX+C1-e-Z= к2-2-хгг_+ С2-еЧтобы получить конечный результат —общее решение неоднородного уравнения, прибавимк общему решению однородного уравнения частное решение неоднородного.14.1. Аналитическое решение ОДУ и систем ОДУ • 4 4 1Solution :=kl-e -cos(x) + k2-e -sin(x)+C.-e.e++СС -esin(x)cos(x)Проверка показывает, что найденный нами ответ абсолютно верен:«dxу(х) _З--^у(х) + 4 - ^dxdx5-у(х) - 4у(х) - sin(x)substitute, y(x)= Solutionsimplify14.1.3.
Интегрирование дифференциальных уравненийС помощью преобразований Лапласа и Фурье можно решать уравнения лишь с постоянными коэффициентами, однако средствами Mathcad можно значительно упроститьпоиск корней дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются функциями. Как известно, решение любого дифференциального уравнения сводится к интегрированию, которое также выполняется системой очень просто.Пример 14.5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение(l + x2)dy + (ху - \/1 + х2 • sin(x))dx = ОПреобразуем уравнение в следующую форму:ху -V 1 + х sin(x)dx1 +хОбратим внимание на то, что в левой части получено выражение, задающее у'. В правой частидля упрощения выражения стоит разделить числитель на знаменатель:sin(x)Введем следующие замены:sin(x)q(x) = -р(х)Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка общего вида у'+р(х)уq(x)-0.
Из курса высшей математики известно, что общее решение подобных уравнений ищетсяв видеу(х) = еp(x)dxр(х) dxq(x) edx + С4 4 2 •:• Глава 14. Дифференциальные уравненияПриступим к непосредственному решению уравнения. Подставим в формулу выражения дляр(х) и q(x):-dxdx1+х1+хsin(x)у(х) := еdx+ С1 +XСимвольно вычисляем корни уравнения. Геометрически они представляют собой семейство интегральных кривых, зависящее от параметра С:1У(х)(-cos (х)•у •+ С)Решение однородных уравнений первого порядка сводится к замене переменных, превращающих их в уравнения с разделяющимися переменными. Последние удается проинтегрировать в Mathcad так же легко, как, в частности, и уравнения в полных дифференциалах.Пример 14.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
