Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Численное решение ОДУ в форме задачи Коши * 4 5 3ЬУРис. 14.9. Колебания численности двух взаимодействующих популяций (кривые решенийи фазовый портрет)В критических точках приdtскорость размножения зайцев равна скорости их поедания хищниками, при-у(0=оdtрождаемость рысей равна их смертности.Конечно, модель Лотки-Вольтерра является идеализированной. Несмотря на это, она широко применяется не только в экологии, поскольку удивительно точно описывает периодические процессы,происходящие в природе. Приведенный пример демонстрирует биологические колебания.
С таким же успехом можно моделировать и химические колебания, например периодические реакции.Чтобы визуализировать результаты решения системы дифференциальных уравнений(см. рис. 14.9), из полученной с помощью встроенной функции матрицы следует выделить столбцы переменной и интересующей вас функции в виде отдельных векторов.Сделать это можно, используя специальный матричный оператор Matrix Column (Матричный столбец), вызываемый сочетанием клавиш Ctrl+б непосредственно в соответствующих маркерах графической области.
В том случае, если вам нужно узнать значение функции решения в одной из точек, то либо непосредственно найдите нужныйрядок в таблице с помощью строк прокрутки, либо используйте стандартную дляMathcad форму вывода с применением матричных индексов (при этом нужно учитывать, что точек, в которых были вычислены величины функций корней, на одну больше, чем было задано шагов).Пример 14.13.
Аттрактор ЛоренцаВ 1963 году Лоренц, занимаясь исследованием конвективных потоков воздуха, описал трехмерную динамическую систему, которая вызвала большой интерес благодаря непредсказуемостисвоего состояния. Поведение траекторий такой системы крайне нерегулярно, но со временем онипритягиваются к некоему устойчивому множеству, которое получило название хаотического аттрактора Лоренца, или странного аттрактора. Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) существует в некоторой области фазового пространства, координаты которого определяются системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка со строгим наборомпараметров и начальных условий. Система описывает вызванное тепловой конвекцией турбулентное течение жидкости в тороидальном сосуде, расположенном вертикально (рис.
14.10).454 •:Глава 14. Дифференциальные .равненияг := 28Ь:=^Рг:=10Pr-^-x^D(t,x) :=2,0,50,5000,DD := rkfixedРис. 14.10. Иллюстрация решения системы ЛоренцаПример 14.14. Модель предсказуемого аттрактораАттракторы — предмет изучения теории хаоса, которая предполагает взаимный переход хаосаи порядка в любой динамической системе. Теория помогает моделировать случайные системы,но не позволяет предсказать их поведение в будущем. Помимо хаотических, существуют и предсказуемые аттракторы. Например, траектория квазипериодического движения, слагаемого из двухнезависимых колебаний, в фазовом пространстве может быть представлена как тор.а:=1.5Ь:=0.3В:=1р:=1.2z(t) :=B-sin(p-t)Y(t,y) :=_a(l-b-(y o ) 2 } yi -y o+Z (t)_|0.5i:=O..5OOOJ,0,500,5000,Y|14.2. Численное решение ОДУ в форме задачи Коши * 4 5 5Рис. 1 4 .
1 1 . Аттрактор тороидальной формыВремя оборота на внутреннем круге тора является частотой одного колебания, а на внешнем круге — частотой другого колебания. Примером квазипериодического движения могут служить модуляции колебаний в замкнутом колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности,конденсатора, сопротивления и источника тока.Принципиальным условием успешного решения системы дифференциальных уравнений является правильный выбор величины шага (особенно это важно для функции rkfixed).В общем случае для его определения можно использовать то же правило, что и при решении одного уравнения с помощью вычислительного блока (см. подразд.
14.2.1).Кстати, точность работы функции rkadapt зависит, помимо определенного пользователем количества шагов М, и от значения системной переменной T0L Более того, меняяее величину, гораздо проще можно прийти к корректному решению, чем при подбореколичества разбиений интервала. В следующем примере мы попробуем оценить степень влияния величины TOL на точность полученного результата.Пример 14.15. Влияние величины TOL на точность адаптивного алгоритма\2~х +D(x,y):=уО:=2х -zl:=Rkadapt(yO, 1,2,2, D)z2:=Rkadapt(yO, 1,2,10000,D)zl. , =6.7029358244372448z 2 i n n n n , =6.703786022251724Z, 11UUUU,1TOL:=10~ 1 6zl:=Rkadapt(yO,l,2,2,D)zl=6.70378602229549262, 1z2:=RJcadapt(yO, 1,2,10000,D)z2ioooo,i=6-7037860222517244 5 6 • Глава 14.
Дифференциальные уравненияКак можно заключить из приведенного примера, TOL определяет точность результатав конечной точке гораздо значительнее, чем количество шагов. Однако и последний параметр оказывает определенное влияние на качество расчета. Поэтому, решая численно систему ОДУ, подберите эти параметры так, чтобы их изменение в 10 раз не приводило к изменению значений искомых функций в крайней точке (конечно, в пределахинтересующих вас десятичных знаков). Стремиться же сделать сразу количество шагов по максимуму большим не стоит: при этом может резко возрасти как погрешностьаппроксимации из-за влияния ошибки округления и других факторов, так и время рас •четов. Так, использованное в примере 14.15 количество шагов, равное 10 000, являетсянеоправданно завышенным, и того же уровня точности можно было достигнуть и пригораздо меньшем количестве разбиений.В столь же значительной степени, как и функция Rkadapt, зависит от TOL и функцияBuLstoer. Метод же Рунге-Кутта в стандартной интерпретации, реализуемый функцией rkfixed, в противоположность им находит решение только исходя из длины шага.Для функций, реализующих адаптивный метод и алгоритм Булирша-Штера, в Mathcadсуществует и другая форма, позволяющая пользователю более значительно влиять наход поиска решений.
Отличается же эта форма от стандартной только набором параметров и тем, что имя соответствующих функций начинается с маленькой литеры(в связи с этим обстоятельством к заданию функций для решения систем ОДУ следует подходить очень внимательно):• rkadapt(yO,xO,xl,acc,D,k,s) — метод Рунге-Кутта с переменным шагом;• bulstoer(yO,xO,xl,acc,D,k,s) — метод Булирша-Штера.Набор параметров для приведенных функций идентичен и содержит целых семь пунктов:• уО — вектор начальных условий.
Задается точно так же, как для рассматриваемыхфункций в стандартной интерпретации;• хО — начальная точка интервала изменения переменной;• xl — конечная точка для значений переменной;О асе — погрешность вычисления. Чем меньшим вы определите этот параметр, темболее точным будет результат, однако тем дольше будет вестись расчет. По своимфункциям асе полностью аналогичен встроенной переменной TOL в случае использования функций Rkadapt и Bulstoer;• D — вектор-функция, определяющая систему ОДУ;• к — максимальное количество шагов, на которые алгоритм может разбить интервализменения переменной.
Необходимость введения этого параметра связана с тем, чтов случае некоторых систем при малых значениях асе количество оборотов циклаалгоритма может быть определено программой столь большим, что времени, которое нужно будет потратить на расчет, потребуется недопустимо много. Кроме того,работать в Mathcad с очень большими матрицами невозможно;• s — минимальная величина шага. Этот параметр необходимо определить в связис тем, что, в частности, при слишком малой величине шага погрешность разностнойаппроксимации может быть весьма значительна.Использование приведенных функций имеет ряд особенностей.1. Вы заранее не можете определить, в скольких точках Mathcad вычислит решениевашей системы.
Вы можете лишь задать верхнюю границу их количества. А это может быть не всегда удобно — например, при не слишком высоком уровне точностиасе решение может быть получено по столь малому количеству разбиений, что по-14.2. Численное решение ОДУ в форме задачи Коши * 4 5 7строить на основании его гладкий график можно будет лишь при условии использования специальных функций интерполяции.2.
Очень важным является правильное согласование параметра максимального количества шагов и минимальной их длины. Так, если последний параметр вы определите слишком маленьким, то встроенная функция может не досчитать решения доправой границы заданного интервала в связи с тем, что у нее просто кончится лимит шагов.3. Поскольку длина шага в случае использования описываемых функций может различаться для разных фрагментов функций решения системы на порядки, полученный результат далеко не всегда можно использовать для построения кривых илифазового портрета. Для выполнения этой работы гораздо лучше использовать функции Rkadapt и BuLstoer.4. Чаще всего рассматриваемые функции используются для получения значения функций решения в конкретной точке (обычно — в конце промежутка).
Однако так какзаведомо размерность матрицы решений неизвестна, то для определения количества ее строк можно использовать функцию length(V) (или last(V)), выделив предварительно с помощью соответствующего матричного оператора один из ее столбцов.Приведем пример использования функций rkadapt и bulstoer.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
