Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 93
Текст из файла (страница 93)
12.2). Посмотрите, на каком широком промежутке полином ведет себя точно так же, как синус. Удивительно, не правда ли?Лsm(x)Рис. 12.2. Кривая синуса и график аппроксимирующего ее полиномаПомимо приблизительного нахождения значений функций в неаналитических точках,ряды Тейлора активно используются при вычислении пределов. Данный подход хорош12.6. Разложение функций в ряды Фурье • 4 1 1своей универсальностью и простотой, поэтому именно его использует символьныйпроцессор Mathcad при подсчете пределов. Приведем и мы пример такого применениярядов Тейлора.Пример 1 2 . 1 1 . Нахождение пределов с использованием разложения в рядТейлораПусть стоит задача без применения оператора Km найти следующий предел:-х,.е- cos(x)hmх-» °x3-sin(x)Чтобы найти данный предел, нужно раскрыть неопределенность -1/0, что довольно непростосделать посредством стандартных средств.
Однако если разложить функцию в ряд Тейлора, задача будет решена довольно просто:-хе "- cos(x).1series,х,9 ->1212х +294х3 .' .18030240х •sin(x)Полагая х равным 0, находим, что предел будет равен 1/12. Этот же ответ будет выдан и оператором lim Mathcad:-х2е- cos(x)I— -> —hmхx3-sin(x)~> °12Приведем примеры расчета с использованием ряда Тейлора еще двух пределов:11yc-(sin(x)-x)-1/x-(sin(x)-x)..Xseries,x,54cos(x) + —limcos(x) нх-> 0•i —1Xhm v + x /x-> 01,X-> e22(е2}2fу +x /,' "2series, x, 3 -> e12.6.
Разложение функций в ряды ФурьеРазложение в ряд Тейлора периодических функций — это не очень эффективный ход,так как при этом хороший уровень аппроксимации будет достигнут лишь в окрестности точки разложения. При отдалении же от нее приближение будет плохим, хотя участки412 •Глава 12. Ряды и пределыкривой будут идентичны участку, на котором проводилось разложение. Очевидно, чтодля того, чтобы хорошо приближать периодическую функцию, аппроксимирующийполином сам должен быть периодической функцией с таким же периодом, как у приближаемой функции.
Чтобы удовлетворить этому условию, нужно разложить функцию не по степеням х, а по тригонометрическим функциям. Полученный при этом рядназывается рядом Фурье. Он имеет следующий общий вид (для функций с периодом 2л):°°а0f(x) = — + \*(an-cos(n-x) + bn-sin(n-x))n=0•В математическом анализе доказано, что погрешность приближения функции рядомФурье минимальна тогда и только тогда, когда коэффициенты а0, b n и ап определяютсяследующим образом:f(x)dxan = - -1Гf(x)-cos(n-x)dxn JnJ-n- nВ Mathcad нет оператора наподобие series, с помощью которого можно было бы производить разложение функций в ряд Фурье. Одиако это не значит, что данная проблемане решаема.
Используя вычислительные возможности программы, с ней вполне можно справиться. Как это сделать, показано в примере 12.12.Пример 12.12. Разложение функции в ряд ФурьеПусть стоит задача — разложить на промежутке от -л до л в ряд Фурье функцию f(x)=x. Для этогосоздадим функцию Fourier(x, k), основываясь на приведенных выше формулах:fi»:=xгпFourier(x,k) : = —fl[x)dxH}Лf(x)cos(nx)dxcos(n-x)(n-x) ++ fljx)-sin(nx) dx-sin(n-x))Чтобы получить ряд из к членов в символьном виде, функцию Fourier следует вычислить аналитически.
Найдем девять членов разложения f(x)=x в ряд Фурье:z(x) := Fourier(x, 9) factor —> 2-sin(x) — sin(2x) нsin(3x)sin(4-x) ...+ -sin(5x)sin(6x) + --sin(7-x)sin(8-x) + --sin(9-x)53749Тригонометрические ряды сходятся медленно, а полученный — вообще на уровне знакопеременного гармонического. Поэтому точность приближения им функции при суммировании девятичленов разложения будет невысока:z ( l ) = 0.988z ( 2 ) = 2.044То, что девяти членов разложения явно недостаточно для качественной аппроксимации, можноувидеть, построив график z(x) (рис. 12.3).Что же делать, если функцию нужно аппроксимировать с высокой точностью? Идею получитьнеобходимый для этого ряд в явном виде отбросим сразу (оперировать выражением из десятков,а то и сотен элементов очень сложно).
Можно попробовать просчитать функцию Fourier численно. Посмотрим, какую точность обеспечит суммирование 20, 50 и 100 членов разложения:Fourier(-l,20) = -0.9447022Fourier(-1,50) = -0.9946389Fourier(-1,100) = -1.000320221412.6. Разложение функций в ряды Фурье-5* 413хРис. 12.3. Из-за медленной сходимости ряда девять членов — это слишком мало для хорошегоприближения функции (обратите внимание на колебания, которые совершает кривая)В общем, если функцию нужно приблизить с точностью до 0.001-0.0001, численный расчет вполне приемлем.
Однако более высокой точности он обеспечить не может, что связано с погрешностью численных методов интегрирования. Ее, конечно, можно уменьшить, присвоив TOL минимальное значение. Однако при этом численные алгоритмы интегрирования перестанут сходитьсяуже при п порядка 50.Если стоит задача аппроксимировать функцию рядом Фурье максимально точно, нужно вывести формулу общего члена и использовать ее в сочетании с оператором суммы. При этом можнобудет суммировать тысячи и даже миллионы членов разложения буквально за секунды. В нашемслучае найти формулу общего члена будет очень просто, если вынести за скобку 2:sin(x)-^p + ^ M - ^+^. . .
. + ( — 1)sin(n-x)На основании данной формулы создадим функцию, которая позволит суммировать произвольное количество членов ряда:(-1)-sin(nx)п=0Проверим, какую точность аппроксимации обеспечит суммирование 1000,10 000 и 10 000 000 (!)членов ряда:F(-l, 1000)= -0.998866428398192F(-l, 10000)= -1.00008257593928F(-l, 10000000)= -1.00000000750972Суммирование 1000 членов ряда Фурье для f(x)=x дает достаточную точность, чтобы можнобыло построить «правильный» график (рис.
12.4).F(x.lOOO)^Рис. 12.4. «Периодическая линейная» функцияГлава 13. Исследование функцийи оптимизацияИсследование функций различной степени сложности и построение их графиков является важнейшей задачей математического анализа, с которой приходится сталкиваться любому старшекласснику и студенту естественной специальности вуза.В основе методов исследования поведения функций как одной, так и многих переменных лежит вычисление производных (первого и второго порядков), пределов, а также(для функций нескольких переменных) решение систем уравнений.
Изучив матершшпредыдущих глав, вы наверняка убедились в том, что с подобными операциями Mathcadпод вашим чутким руководством справляется весьма эффективно, поэтому длительную и, в общем-то, не требующую аналитического подхода процедуру исследованиянекоторой функции вы сможете провести с его помощью, затратив всего пару минут.Благодаря удивительным графическим возможностям системы вы без труда построите кривую или поверхность любой сложности, описывающую анализируемую функцию — график наглядно отражает особенности ее поведения, что может значительноупростить проведение исследования.13.1. Исследование функций однойпеременнойВ данном разделе мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практикуме по высшей математике задачи, связанные с исследованием функций одной переменной: определением точек экстремума и перегиба, промежутков монотонности, выпуклостии вогнутости, нахождением асимптот. К сожалению, в Mathcad имеются встроенныесредства лишь для отыскания максимумов и минимумов функций (особенностям ихиспользования мы уделим внимание в соответствующем разделе), поэтому большинство этапов исследования функции в Mathcad придется проводить, используя классические формулы и определения.Пример 1 3 .
1 . Исследовать функцию3и построить ее график13.1. Исследование функций одной переменной * 4 1 5Поскольку алгоритм исследования функции включает в себя большое количество пунктов, разберемкаждый из них по отдельности, прибегая, в случае необходимости, к теоретическим пояснениям.Для облегчения поставленной задачи построим в первую очередь график функции (рис.
13.1). Заметьте, при проведении исследования на бумаге такой возможности у вас нет.„-2хРис. 13.1. График исследуемой функцииВо-первых, найдем область определения и область значений функции. X может принимать любые значения (в выражении функции отсутствуют корни четной степени и знаменатель), поэтому функция определена на всей числовой оси. Очевидно, область значений функции принадлежит промежутку (-<»; <*>).Во-вторых, определим, является ли функция четной, нечетной или периодической.Видно, что график несимметричен относительно оси ординат и начала координат, значит этофункция общего вида.
Приведем аналитическое подтверждение.1Г2lf(a) -• |_(а + 3)-а J31Г2lf(-a) -» [(-а + 3)-а J13Г2l3-fl» -• -|_(а + 3)-а JКак видно из полученных выражений, условия четности (f(-a)=f(a)) и нечетности (f(-a)=-f(a))не соблюдаются, значит, это функция общего вида.Докажем непериодичность исследуемой функции. Функция является периодической, если длялюбого х существует такое действительное число Т, отличное от нуля, что f(x+T)=f(x). Доказательством периодичности/непериодичности функции является нахождение величины Т из уравнения f(x+T)"f(x). Если Т является действительным числом, функция периодична. В случае непериодичности Т будет являться функцией от х.123)) x2= V (x+ T + 3)(х+ Т) 2 solve,T -•22+22416* Глава 13. Исследование функций и оптимизацияПри решении уравнения f(x+T)=f(x) относительно Т мы получили три значения. По определениюTV0, остальные же выражения зависят от х, следовательно, функция является непериодической.В-третьих, точек разрыва функция не имеет, поскольку непрерывна на промежутке (-«>; то).В-четвертых, найдем точки пересечения графика функции с осями координат.|(х + 3)х solve,х ->ОГрафик функции пересекает ось Ох в точках (-3; 0), (0; 0).цо) = оГрафик функции пересекает ось Оу в точке (0; 0).В-пятых, определим точки экстремума, значения функции в этих точках, а также интервалы возрастания и убывания функции.Необходимым условием существования экстремума в точке х(1 является равенство нулю или несуществование (равенство бесконечности) производной в данной точке.
Достаточным условиемсуществования экстремума в точке х() является смена знака производной при переходе через точку х0.х+ 2— f(x) simplify -» хdxх+ 2[(x+3)-x2]solve,x —> - 2[(x+3)-x2]Производная равна нулю при х=-2, при х=-3 и х=0 она обращается в бесконечность. Значит,данные критические точки являются точками перегиба или экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
