Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Задачи, связанные с вычислениемпроизводнойЗадач, в основе решения которых лежит вычисление производных, имеется немало.Некоторые из них особенно важны для практики, и поэтому они встречаются в любом11.2. Задачи, связанные с вычислением производной * 3 8 1Jзадачнике по математическому анализу. Это, прежде всего, задачи, связанные с исследованием функций: поиском экстремумов, перегибов, асимптот. В этом разделе мы небудем разбирать примеры такого рода, так как описанию особенностей их решенияпосвящена гл. 13. Сейчас же мы обсудим, как решаются задачи так называемой дифференциальной геометрии (построение касательных к линиям и касательных плоскостей к поверхностям, нормалей, огибающих), а также задачи, связанные с дифференцированием сложных функций.11.2.1.
Построение касательной и нормали к плоскойкривойПостроить касательную к кривой очень просто, если знать геометрический смысл производной — это тангенс угла наклона касательной к оси X. То есть производной соответствует коэффициент к в уравнении касательной y(x)=k-x+b.
Коэффициент же bлегко найти из условия у(0)=Ь. Путем несложных преобразований можно заключить,что касательная к кривой функции f(x) в точке М(хо,у0) задается следующим уравнением:Уравнение нормали очень просто вывести из уравнения касательной, если догадаться,что при повороте на 90° касательная переходит в нормаль.
Запишем уравнение касательной через тангенс ее наклона к оси X:У(х) = У0 + tan(a)-(x - XQ)Очевидно, что уравнение нормали тогда будет выглядеть следующим образом:y(x)=y0 + tan L + - ; 1(х-х 0 )2,Так как tg(a+p/2)=-ctg(a), a ctg(a)=l/tg(a), то окончательно имеем:1У(х)=У0d,ч(х-х0)Задачи на построение касательных обычно довольно несложные. Типичная из них рассматривается в примере 11.11.Пример 1 1 . 1 1 . Составить уравнение касательной и нормали к линии,заданной уравнением у(х) = х 4 -3-х 3 +4х 2 -5-х+1 в точке М(0, 1)Задаем переменные с координатами точки М и функцию линии:XQ-Оуо:=1у(х) := х - Зх + 4х - 5х + 1Определяем выражение производной и задаем ее как функцию:382 •Глава 1 1 . Вычисление производных32— у(х) -»4-х -9-х + 8-х-5dx32у'(х):=4-х -9х + 8-х-5Находим уравнения касательной и нормали по приведенным выше формулам:попп(х) := у 0 - —г-т (х - x Q )tang(x) := у 0 + y'(xq)-(x -norm(x) -> 1 + --Хtang(x) —> 1 - 5-хСтроим график (рис.
11.2).Ют-5хРис. 11.2. Кривая с касательной и нормалью (из-за неравного масштаба осей графикнесколько искажен, поэтому угол между касательной и нормалью кажется меньше 90")Столь элементарно уравнения для нормали и касательной можно найти лишь в случаеявно заданной кривой. Если же кривая описывается неявным уравнением, разделитьпеременные в котором невозможно, или же ее задает система параметрических уравнений, то построение нормали и касательной значительно усложняется. Покажемна примере, как можно решить задачу такого рода.Пример 1 1 . 1 2 .
Написать уравнение касательной, имеющей общую точкус кривой при х=1. Кривая задается следующими параметрическимиуравнениями:3t1 +t3-tI+ tНачнем мы решение этой задачи с того, что зададим х и у как функции от t:x(t):=-3t1 +ty(t) :=3t21+ tВ математическом анализе доказывается, что если функция Y=f(x) задана параметрически с помощью уравнений x=x(t) и y=y(t), где x(t), y(t) — дифференцируемые функции, то производная Y по хнаходится по следующей формуле (естественно, что производная от x(t) не должна быть равна 0):11.2. Задачи, связанные с вычислением производной * 3 8 3Используя данную формулу, задаем функцию производной:i x (t)-1 + 2-?1 + 2-fdtНам нужно построить касательную в точке х=1.
Но кривая задана параметрическими уравнениями, зависящими от t. От t зависит и функция производной. Следовательно, нам нужно найти,какое t соответствует х, равному 1. Для этого следует решить уравнение x(t)=l. Проще это сделать аналитически:^1.5321 + . 2 e - 4 i31+tsolve,tfloat, 541.8795.34735-.2e-4.iJИтак, мы получили три корня, два из которых комплексные.
Естественно, что t может быть только действительной, поэтому первой мыслью будет отбросить комплексные корни. Однако обратите внимание на то, что порядок мнимой части корней находится на уровне точности расчета.А может, ее существование обусловлено только погрешностью? Чтобы проверить это предположение, увеличим точность до 10 знаков (заменив значение в правом маркере оператора float). Приэтом порядок мнимой части в первом корне уменьшится до уровня 10"'°, в третьем же корне онаисчезнет вовсе. Это означает, что мнимая часть — это действительно просто погрешность, возникающая при пересчете аналитических выражений в десятичные дроби. Следовательно, учитывать ее не нужно.
Чтобы избавиться от мнимой части, используем функцию Re, выделяющую изкомплексного числа действительную часть:11 := Re(R 0 )t2 := R }t3 :=Мы получили три значения t, соответствующие х=1. Но как такое возможно? Очень просто. Параметрически заданные функции могут иметь несколько точек для одного значения аргумента,что исключено в случае явно заданных функций. Собственно, поэтому для описания сложныхкривых и применяют параметрическую форму уравнений.
Таким образом, наша кривая имееттри точки для х-1. Убедиться в этом можно, построив график. Следовательно, мы должны найтитри уравнения касательных (в качестве переменной используем z, так как выше уже была заданафункция с именем х):tangl(z) :=y(tl) + Y x (tl)-(z - x(tl))tang2(z) :=y(t2) + Y^(t2)(z -x(t2))tang3(z) :=y(t3) + Y^(t3).(z-x(t3))Приближенно находим, какой вид будет иметь каждое уравнение:tangl(z) float,3 -» 1.14+ .395-ztang2(z) float, 3 -»-.742-1.14-ztang3(z) float, 3 -» -.395+ .742-zСтроим графики кривой и касательных (рис. 11.3).3 8 4 •:• Глава 11.
Вычисление производныхРис. 11.3. Параметрическая кривая и касательные к ней11.2.2. Построение касательной плоскости и нормалик поверхностиОдной из самых интересных областей применения частных производных является решение задач аналитической геометрии. В любом практикуме по высшей математикеесть примеры на нахождение касательных плоскостей и нормалей к поверхностям,а также касательных линий и нормальных плоскостей к пространственным линиям.Ввиду наличия готовых формул данные задачи довольно просты с математическойточки зрения. Однако их решение зачастую связано с подсчетом большого количествачастных производных и сложных определителей, поэтому в чисто вычислительномплане они могут быть крайне трудоемкими.
Значительную часть работы при решениитаких задач может взять на себя Mathcad. В этом подразделе мы покажем, как решаютсязадачи подобного типа на примере построения касательной плоскости и нормали к сфере:.Сложность задач на нахождение уравнений касательной плоскости и нормали оченьсильно зависит от того, уравнениями в какой форме задается поверхность. Если поверхность описывается явным (например, параболоид z(x,y)=x2+y2) или неявным (к примеру, шар x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ) уравнением, то рассчитать уравнения касательной плоскостии нормали несложно даже на бумаге. Однако задача становится на порядок труднее,если поверхность описывает система параметрических уравнений.
А так как наиболееинтересные поверхности обычно задаются только в параметрической форме, то подобные задачи не являются редкостью. В Mathcad же параметрическая форма описанияповерхностей является основной, так как зачастую только исходя из нее можно строить качественные графики. В нижележащем примере показано, как можно найти уравнения касательной плоскости и нормали для параметрически заданной поверхности.Если вы разберетесь с данным примером, то вы с легкостью сможете решать задачи,в которых поверхность описывается явным или неявным уравнением.Пример 11.13.
Имеется сфера с радиусом R=5 и центром в началекоординат. Построить касательные плоскости, проходящие через точкисферы, которым соответствуют значения аргументов х=2, у=3, а такженормали к этим точкам2222Сферу можно описать неявным уравнением x +y +z =R . Однако работать с таким уравнениемв Mathcad неудобно. Решать поставленную задачу мы будем, задав сферу параметрическимиуравнениями:(11.2. Задачи, связанные с вычислением производной • 3 8 5R:=5x(u,v) :=R-cos(u)-cos(v)y(u,v) :=R-cos(u)-sin(v)z(u,v) :=R-sin(u)Нам известны координаты х и у точек сферы, через которые нужно провести касательные плоскости и нормали. Однако параметрические уравнения зависят от переменной и (азимутальный угол,изменяется от -я/2 до я/2) и v (полярный угол, изменяется от 0 до 2-р).
Нам нужно найти, какиезначения и и v соответствуют данным значениям х и у. Для этого решим систему уравнений x(u,v)=2,y(u,v)=3. Так как система довольно несложная, это можно попробовать сделать аналитически:R:=fR-cos(u)-cos(v) = 2VR-cos(u)-sin(v) = 3acpssolve,u,vя - acosMathcad нашел две пары и и v, удовлетворяющих системе. Это корректное решение: несложноприкинуть, что две точки сферы радиусом R=5 с центром в начале координат будут иметь координаты х=2, у=3. Однако нельзя слепо доверять выданному ответу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
