Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Численное дифференцирование•-=d Ф + 1ап(ф)1 + 1ап(ф)= 0.5При численном определении значения производной в точке ни в коем случае нельзязадавать величину переменной в самом операторе дифференцирования: при этом в пер-11.1. Принципы расчета производных в Mathcad* 377вую очередь будет подсчитано значение самой функции, и производная уже будет вычисляться от некоторой постоянной величины. Естественно, что, независимо от видафункции, ответ будет один и тот же: 0. Кстати, это относится и к символьному дифференцированию.Пример 11.4. Ошибка при расчете производнойх:=0dxdx\2JПопробуем определить, с какой точностью находится значение производной в точкепри использовании численного дифференцирования.
Для этого сравним ответы, выданные при численном и аналитическом расчете производной. Естественно, что результат аналитического расчета будет эталонным (так как, после пересчета в десятичную дробь, в нем будет присутствовать ошибка лишь на уровне 14-15-го знака).Пример 11.5. Точность численного дифференцированияНаходим выражение производной:2d sin(x) + cos(x)cos(x) - sin(x)(sin(x) + cos(x))dxsin(x) -cos(x)sin(x) - cos(x). . ... ..2(sin(x) - cos(x))Присваиваем переменной нужное значение:лх:= —3Вычисляем значение производной в точке аналитически:)2sin(x)-cos(x)( s i n ( x )_cos(x))2float,20 н, -14.928203230275509Проводим численное дифференцирование:l S i n ( x ) + C O S ( x ) ^-14.92820323029353dxsin(x) - cos(x)Отличия в ответах начинаются с 13-го знака мантиссы.Как видно из примера 11.5, точность численного метода, используемого Mathcad дляопределения значения производной в точке, очень высока — ошибка появилась тольков 13.-м знаке мантиссы.
Впрочем, в зависимости от вида функции, точность может бытькак выше (вплоть до 15-го знака мантиссы), так и существенно ниже. Разработчики рекомендуют доверять 7-8 знакам результата, полученного при численном определениизначения производной первого порядка. Точность вычисления производных болеевысоких порядков обычно ниже. Также ответ, содержащий большую ошибку, можетбыть получен при определении значения производной в точке, лежащей недалекоот точки разрыва или вблизи других особенностей функции.Важно понимать, что если оператор дифференцирования входит в сложное выражение,которое подсчитывается численно, то будет задействован численный алгоритм.
Если3 7 8 •:• Глава 1 1 . Вычисление производныхже выражение вычисляется аналитически, то и производная будет определена символьно.По определению, производной функции f(x) называется предел отношения приращенияэтой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В принципе, в Mathcad можно подсчитывать производные и без использования оператора дифференцирования, а только на основании определения производной. Это может бытьполезно при оформлении докладов и статей, а также при решении некоторых специфических задач.Пример 11.6.
Вычисление функции производной исходя из ееопределенияВычислить производную для f(x)=ln(a-x+b).limh-> 0ln[a-(x+ h) + b] - ln(a-x+ b)aa-x+ b11.1.2. Производные высших порядковЧтобы подсчитать производную выше первого порядка, следует использовать специальный оператор Nth Derivative панели Calculus (Вычисления). Помимо кнопки панели,его можно ввести сочетанием клавиш Ctrl+Shift+«/». Оператор содержит четыре маркера, которые заполняются полностью в соответствии с принятыми в математике правилами. Кстати, как только вы введете значение степени в один маркер порядка, в другомоно появится автоматически.Порядок производной должен быть обязательно числом.
Аналитический подсчет производной с неявно заданным порядком невозможен даже в простейших случаях. Наоборот, вид функции, от которой находится производная, может быть очень сложнымТакже возможен аналитический подсчет производной от функции нескольких переменных или от функции с неявно заданными параметрами.Пример 11.7. Вычисление производных высших порядковВычисляя производную, символьный процессор не упрощает полученное выражение.
Поэтому,если оно получается громоздким, нужно использовать оператор simplify.d2x2 + 3x+l. ...„ - 2 9 + х б +21-х 4 + 9-х5 + 18-х + 93-х2 + 57-х3simplify —> 2dx 2 x 3 -5x-6(х3-5-х-б)Пример нахождения производной высокой степени от функции с неявным параметром.d10еn-x10 п-х-»n edxЧисленное определение значения производной второго порядка:х:=0dxу:=111.1. Принципы расчета производных в Mathcad.;.
3 7 9Аналогично обычным производным, производные высших порядков можно вычислить как аналитически, так и численно. Однако при численном дифференцированиипорядок производной не может превышать 5 (при попытке задать больший порядокпрограмма выдаст соответствующее сообщение об ошибке). Причина данного ограничения связана с особенностями используемого Mathcad численного метода и заключается в том, что в ходе вычисления производной высокого порядка происходит накопление ошибок на каждом круге приближений. Поэтому чем выше порядок производной,тем меньше точность результата.
Очевидно, что если потеря точности на каждый порядок дифференцирования составляет по одному десятичному порядку, а надежностьиспользуемого Mathcad численного метода для первой производной равна 7-8 знакампосле запятой, то доверять результату расчета этим методом производной, например,восьмого порядка, ни в коем случае нельзя. Описанную проблему демонстрирует следующий пример.Пример 11.8. Накопление ошибки по мере увеличения порядкапроизводной при использовании численного метода дифференцированияПроизводная любого порядка от ех при х=1 равна е.
Используем этот факт для проверки точности ответов.х:=113d2 хе -——е = 3.317х 102dxеd4х11е = 5.285 х 10"еd3dxеd5311х= 5.348 х 10ех-7= -2.203 xlOе5dxdx4Из примера 11.8 видно, что при подсчете производной пятого порядка ошибка численного метода началась с 4-го знака после запятой. Это, в принципе, приемлемо для обычной точности в Mathcad, хотя для ряда специфических задач такое приближение может оказаться недопустимо грубым. Поэтому производные высоких порядков все желучше вычислять символьно. Благо, при этом точность будет высокой, независимо отвида дифференцируемых функций и порядка производной.
Единственным недостатком такого метода можно назвать то, что при вычислении производных высоких порядков приходится иногда работать с весьма громоздкими выражениями (но обычноих можно упростить, используя операторы simplify, collect, factor и expand).При желании можно попробовать вычислить производную более пятого порядка и численным методом (это можно сделать в том случае, если особая точность вас не интересует). Для этого нужно просто последовательно ввести два (или несколько) операторадифференцирования.
Однако не-рекомендую вам использовать данный ход, так какпогрешность при этом может быть очень высокой.Пример 11.9. Численное определение значения производной седьмогопорядкаd5 d2е,5,2dx dxx-5е =9.969x10380 •Глава 11. Вычисление производных11.1.3. Частные производныеВ том случае, если производная вычисляется для функции нескольких переменных,она называется частной. Никаких принципиальных отличий между заданием простойи частной производных нет. Единственное, важным моментом является то, каким образом можно преобразовать оператор простого дифференцирования к виду частнойпроизводной.
Чтобы это сделать, нужно щелкнуть правой кнопкой мыши на операторепроизводной. При этом откроется контекстное меню, в котором следует выбрать список View Derivative As (Видеть производную как). В появившемся подменю установите флажок Partial Derivative (Частная производная). Если вам понадобится вернуться к стандартному виду оператора дифференцирования, то в том же меню выберите пункт Derivative.Можно задавать в Mathcad и частные производные высших порядков. Правда, определенные сложности могут возникнуть со смешанными производными. Дело в том, чтотрадиционную форму их представления Mathcad не поддерживает. Однако задать смешанные производные все же можно, поместив в маркер выражения одного операторадифференцирования другой оператор.
В большинстве случаев порядок взятия производных при вычислении смешанной производной не влияет на результат, поэтомуобъединять их можно в любой последовательности. Различия могут возникнуть, лишьесли смешанные производные не являются непрерывными.Пример 11.10. Найти все частные производные второго порядкадля функции f(x,y,z)=x2-ex+z-y3Задаем функцию:„2 x+z3f(x,y,z) : = x - e-уНаходим несмешанные частные производные второго порядка:2:-^rf(x,y,z) factor ~> e X + Z ( 2 + 4 - х + х 2 )ЭхЭ2 ~ч2 x+z—~f(x,y,z) - » х еSz,2—jfiXy-z)ЗУ^~&У2Определяем смешанные производные. Из каждой пары производных достаточно найти одну —у второй значение будет таким же (так как условие непрерывности соблюдается).-LjLf[x,y,z) -»оЭх дуиЦ^ х , У ) 2 ) -+о!!4ЭхЭуЭгду dz<LJLf(x,y,z) factorSx9zX+Z->х-ел'"-(2+х)11.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
