Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 81
Текст из файла (страница 81)
С его использованием можно интегрировать функции с разрывами первого рода (метод Ромберга в таких случаях дает большую погрешностьили не сходится), а также с разрывами второго рода при условии, что первообразная в соответствующих точках непрерывна (или имеет разрыв первого рода).Пример 10.10. Численное интегрирование с использованием адаптивногометодаПри использовании адаптивного метода результат обычно получается немного точнее, чем приприменении метода Ромберга:standart :=Адаптивный метод:ln(x 2 )dx - standart = 01п(х2) .-2dx-> —ln(3) + - + 1п(2)233Метод Ромберга:(2)^ ^ d x - standart = -2.803 x 10~HJ'22Адаптивный метод дает гораздо лучший результат, чем метод Ромберга, если на промежутке интегрирования имеются точки разрыва первого рода.
Например:Адаптивный метод:Метод Ромберга:dx = 200dx= 199.9413 5 4 •:• Глава 10. Вычисление интеграловАдаптивный метод, в отличие от метода Ромберга, может быть использован для интегрированияфункций с разрывами второго рода (при непрерывности первообразной в точках разрывов):—dx=6.78"-2• Infinite Limit (Бесконечный предел). Этот метод используется для подсчета несобственных интегралов с неограниченными пределами. Подробно его мы разберемв следующем разделе.• Singular Endpoint (Сингулярный предел). Данный метод применяется для определения несобственных интегралов от неограниченных функций, если точка разрывасовпадает с границей интегрирования.Обычно численный подсчет интеграла не вызывает особых сложностей. Но что делать,если Mathcad не сможет решить задачу? Во-первых, проверьте правильность заданияинтегрируемой функции и пределов интегрирования.
Во-вторых, попробуйте сменитьчисленный метод. Иногда адаптивный метод справляется с интегрированием такихфункций, перед которыми пасует метод Ромберга. В-третьих, увеличьте значение TOL.Если установленный уровень точности слишком высок, то численный алгоритм можетпросто не успевать сходиться в рамках отведенного на количество итераций лимита.В-четвертых, проанализируйте поведение функции на интервале интегрирования с помощью графика. Вполне возможно, что она имеет точки разрыва второго рода. Об особенностях интегрирования таких функций мы поговорим в следующем разделе.10.4.
Особенности вычислениянесобственных интеграловВ классическом математическом анализе при введении понятия определенного интеграла обычно предполагается, что интегрируемая функция ограничена, а интервал интегрирования конечен. Однако оказывается, что при соблюдении ряда условий определенный интеграл может иметь смысл и в случае функций, имеющих разрывы второгорода (то есть бесконечно возрастающих по абсолютному значению при приближениик некоторой точке), а также при бесконечных пределах интегрирования. Подобныеинтегралы называются несобственными, и в их вычислении имеется масса особенностей по сравнению с обыкновенными (собственными) интегралами.Есть два типа несобственных интегралов: от неограниченных функций и с бесконечными пределами.
Вычисляются они совершенно по-разному, поэтому стоит рассмотреть их по отдельности. Начнем мы с интегралов от неограниченных функций.Рассмотрим функцию f(x), имеющую разрыв второго рода в точке х=Ь. Возможно ли,и если да, то при каких условиях, найти определенный интеграл в интервале от некоторой точки х=а до точки разрыва? Оказывается, что это реально, если первообразнаядля f(x) в области точки разрыва конечна (но не обязательно непрерывна).
При этомсоответствующий интеграл будет называться сходящимся, и по смыслу он будет совпадать с обычным определенным интегралом. Если же первообразная будет иметь в точке b разрыв второго рода, то несобственный интеграл будет называться расходящимсяи равняться бесконечности. Также важным условием для того, чтобы можно было най-10.4. Особенности вычисления несобственных интегралов * 3 5 5ти определенный интеграл от неограниченной функции, является то, что функция должна быть непрерывной и конечной в окрестности точки разрыва.Поясним вышесказанное на примерах.
Функция1имеет разрыв второго рода в точке х= 1. Сходится ли интеграл от нее в интервале от 0 до 1?Очевидно, что данная функция ограничена и непрерывна на промежутке интегрирования. Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, мы должны выяснить только одно:конечна ли первообразная f(x) в левой окрестности точки х=1. Проверим это:1limx-> 1dx—> asin(x)asin(x) -> — -лПервообразная конечна, следовательно, интеграл должен иметь конечное значение.Причем найти его можно как численно, так и аналитически:г\11dx= 1.57121 -хdx—> —-п2оРассмотрим еще одну функцию, имеющую разрыв второго рода в точке х=0:1Будет ли сходиться интеграл от данной функции, вычисленный на интервале от 0 до 1?Посмотрим, конечна ли первообразная в правой окрестности точки х=0:lim0+—*-> -ооПервообразная не ограничена.
Следовательно, расходиться будет и сам интеграл.Задача несколько усложняется, если точка разрыва лежит не на границе, а внутри интервала интегрирования. Чтобы подсчитать интеграл в этом случае, его нужно представить в виде суммы двух интегралов, у которых точка разрыва является верхними, соответственно, нижним пределами интегрирования. Если оба эти интеграла сходятся, то сходится и интересующий интеграл. Если один из них сходится, а второй — нет,то однозначно можно сказать, что их сумма будет равна бесконечности.
Если же обаинтеграла расходятся, то все зависит от того, одного ли они знака. Если да, то суммарный интеграл также будет равен бесконечности с соответствующим знаком. Если же3 5 6 •:• Глава 10. Вычисление интегралову них знаки противоположные, то возникает неопределенность типа °°-о°. Интегралпри этом может быть как конечным, так и равняться бесконечности обоих знаков. Говорить что-то определенное про такие интегралы без дополнительного исследованиянельзя. Однако если кривая симметрична относительно точки разрыва, то можно мысленно сокращать идентичные области. Рассмотрим, к примеру, интеграл от функцииf(x)=l/x на промежутке от -1 до 2. Очевидно, что площади, ограниченные кривой напромежутках от -1 до 0 и от 0 до 1 будут одинаковы, но противоположны по знаку.Значит, их можно отбросить и считать интеграл на промежутке от 1 до 2. При этом мыполучим так называемое главное значение несобственного интеграла в смысле Коши.Но сам несобственный интеграл не существует.В Mathcad можно подсчитывать интегралы от неограниченных функций как численно, так и аналитически.
Аналитический подход имеет преимущества перед численным,так как он позволяет получить явный ответ в случае расходящихся интегралов (численный метод при этом выдаст сообщение об ошибке, которое не несет никакой явнойинформации). Также при аналитическом интегрировании интеграл не нужно разделять на два, если точка разрыва лежит в середине промежутка. Кроме того, символьный процессор «знает» значения значительного количества несобственных интеграловот функций, не имеющих первообразных в элементарных функциях.Пример 1 0 . 1 1 . Аналитическое вычисление несобственных интеграловот неограниченных функцийВычисление сходящихся интегралов в случае, когда точка разрыва находится в центре интервала интегрирования (формула слева) и на его границе (формула справа):111dx->2- 1Вычисление расходящихся интегралов с точкой разрыва на границе и в середине интервала.Во втором случае подсчет возможен, так как функция с обеих сторон точки разрыва имеет одини тот же знак.1dx—>?*•оооСимвольный процессор может находить значения несобственных интегралов от ряда функций,не имеющих первообразных в замкнутой форме:Г1— dx —> оох2atan(x)ln(cos(x))dx->я-1п(2)dx -> Catalan•'О"О"ОКонстанта Catalan, которая была выдана системой при вычислении правого интеграла, это константа Каталана.
Найти ее приблизительное значение с нужной точностью позволяет операторfloat:Catalan float, 10 -> .915965594210.4. Особенности вычисления несобственных интегралов • 3 5 7Как уже упоминалось выше, при определении значений интегралов от функций, имеющих на интервале интегрирования точку разрыва второго рода и стремящихся к бесконечности разных знаковслева и справа от этой точки, возникает неопределенность. Поэтому Mathcad не вычисляет такиеинтегралы, возвращая исходное выражение без изменений. Впрочем, в отдельных случаях символьный процессор возвращает для подобных интегралов конечное значение. По смыслу даннаявеличина является главным значением интеграла в смысле Коши.
Найти ее можно, если считать,что площади иод идентичными участками кривой сокращаются. Пример:cot(x)dx-> — ln(2)-тсЕсли представить данный интеграл в виде суммы двух интегралов с пределами от -я/4 до 0 и от0 до я/6, то получим неопределенность типа °о-<х>;cot(x)dx^-ccot(x)dx-+ooJJ-n4Найти главное значение данного интеграла можно, если считать, что площади под кривой на интервалах от -я/6 до 0 и от 0 до -л/6 равны по значению, но противоположны по знаку. Значит,их сумма равна нулю, а интеграл будет равен площади, ограниченной кривой на промежуткеот -л/4 до -я/6:-я6-1cot(x)dx-> —1п(2)л4Объективно говоря, то, что в некоторых случаях результатом вычисления расходящихся интегралов являются их главные значения в смысле Коши, объясняется не интеллектуальностью аналитического процессора Mathcad.
Причина этого в том, что при аналитическом вычислении интеграла программа не проверяет важнейшее условие применимости теоремы Ньютона-Лейбница,а именно непрерывность первообразной на интервале интегрирования. Подробно данная проблема описана в разд. 10.2.Если нужно найти несобственный интеграл от функции, не имеющей первообразнойв замкнутой форме, символьное интегрирование зачастую неэффективно. В этом случае нужно использовать численный алгоритм. В Mathcad встроен особый алгоритм,предназначенный для вычисления интегралов с точкой разрыва на границе интервалаинтегрирования (в основе его лежит модифицированный алгоритм Ромберга, о котором вы можете прочитать в справочной системе Mathcad).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
