Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В подобных случаях обязательно необходимо проводить дополнительные исследования, например,с помощью графика.•В выдаваемых ответах оператор solve никогда не использует знак «*». Даже еслинеравенству не соответствует только одна точка (см. четвертое неравенство в примере 9.1), области решения описываются полностью. Однако в таких случаях все жетехничнее давать ответ в форме х*а.Объективно говоря, полностью доверять символьному процессору Mathcad можнолишь при решении очень простых неравенств, выраженных алгебраическими полиномами или отношением полиномов.
Во всех остальных случаях нужно быть очень внимательным и обязательно проверять решение. Так, программа сделает ошибку практически в любом неравенстве, содержащем корни (см. пример 9.2).Пример 9.2. Неверное решение неравенствyfx-Ъ > 0 solve,хх-2->(Х<ЛV9 <VПреобразуем ответ в стандартный вид: хе (-=; 2) и (9; °°). Анализируя его, обнаруживаем, что онне до конца верный. Так как в выражении проводится операция извлечения корня из х, последнийдолжен быть больше либо равен нулю. Следовательно, первая область решения найдена некорректно, а верный ответ будет иметь вид хе (0; 2) и (9; °°). В его правильности можно убедиться, построив график (рис. 9.1).Аналогичную описанной выше ошибку сделает Mathcad и при попытке решить другое неравенство с корнем:yjx+ 61 > х + 5 solve,х -> х < 3^Ответ в стандартной форме: хе (—<*>; 3). Полученный результат неверен, так как подкоренное выражение не может быть меньше нуля.
Правильный ответ — хе (-61; 3).Достаточно неплохо справляется оператор solve с показательными и логарифмическими неравенствами. Однако при их решении нужно, как и в случае неравенств с корнями, обязательно делать проверку по графику. Если в качестве ответа система выдастгромоздкое выражение, его следует попытаться упростить с помощью оператора simplify.3 3 0 •:• Глава 9. Решение неравенствЮтх-2Рио.
9 . 1 . Соответствующая неравенству функция отрицательна на промежутке от 2 до 9Пример 9.3. Решение показательного неравенства,8+хIV- 81<Оsolve, хsimplify-> - 1 2 < хх + 2х + 5Ответ в стандартном виде: хе(-12; °°).Проверяем верность найденного решения с помощью графика (рис. 9.2).8+х3х +2х+5Рис. 9.2. Функция отрицательна, если х>12Вывод: неравенство было решено верно.Компьютер лишен интеллекта. Глупо рассчитывать на то, что при решении задачиMathcad применит хитроумный прием или незаурядный ход. Программа решает простые неравенства стандартными способами — и не больше.
Поэтому очень часто пользователь должен «помогать» символьному процессору, приводя задачу к более простомувиду. Как унростить неравенство? Во-первых, можно произвести замену переменных.Во-вторых, можно путем алгебраических преобразований привести выражение к более легкому для программы виду. В-третьих, можно производить логарифмирова-Глава 9. Решение неравенств •:• 3 3 1ние, возведение в степень или другие математические операции, не нарушающие условия неравенства. Подобной «помощь» аналитическому процессору показана в примере 9.4.Пример 9.4.
Решение неравенства с предварительным его упрощениемПусть перед нами стоит задача решить неравенство следующего вида:2х-1х3-х,> 1Попытка решить его без проведения каких-либо преобразований окажется неудачной (рис. 9.3).2.Х-1х3-х> 1 solve|,x —>| No solution Was found7|Рис. 9.3. Mathcad не справился с данным неравенствомГлавная сложность данного неравенства заключается в том, что х возводится в степень, содержащую х. Сгладить эту трудность можно, прологарифмировав обе части неравенства. Знак в неравенстве при этом не изменится (подумайте, почему).2-x-lexpand, хsimplifyx-3С упрощенным неравенством оператор solve справится без каких-либо проблем:1п(х)-2-х- 1> 0 solve,х1х< 2Ответ в стандартной форме: хе (-<*>; 0,5) и (1; 3).Данный ответ верен не до конца.
Нужно учесть, что возводить отрицательное числов произвольную степень или вычислять от него логарифм нельзя. Поэтому х можетбыть только больше или равен нулю. Исходя из этого, правильный ответ будет иметьвид:хе(0;0,5)и(1;3).Можно решать с помощью символьного процессора Mathcad и неравенства с параметром, правда, лишь самые простые. Так, даже с элементарным квадратным неравенствома-х2+Ь-х+с>0, решение которого известно любому школьнику, программа не справляется. Наиболее же слабым местом символьного процессора является тригонометрия.Так, даже самое элементарное неравенство типа sin(x)S0 решено им не будет. Такжепрактически наверняка неравенство не будет решено, если в нем присутствуют какието специальные функции.
Как поступать в таких случаях, будет показано ниже.В наиболее простых случаях с помощью оператора solve можно решить и системы неравенств. Для этого, аналогично решению систем уравнений, входящие в систему неравенства нужно объединить в вектор (см. пример 9.5).332 *Глава 9.
Решение неравенствПример 9.5. Решение системы неравенствх+ 4>02х-3solve,x —» х< —41<0х- 1Ответ в стандартной форме: ХЕ (-«>; -4).Чаще всего оператор solve не справляется с поиском совместного решения системынеравенств. В этой ситуации нужно действовать следующим образом: искать решениекаждого неравенства как независимого, а затем находить общие для всех решений области. Продемонстрируем описанный подход на примере.Пример 9.6.
Пошаговое решение системы неравенствПусть перед нами стоит задача решить следующую систему неравенств:-X,2764х -6-х8->/2Сначала попытаемся возложить всю работу на программу и решить неравенства совместно. Приэтом будет получен ответ: х>— 1. Проверка по графику показывает, что это решение абсолютно неверно. Значит, необходимо решать неравенства раздельно, а затем сопоставлять найденные решения.С первым неравенством в его исходном виде Mathcad не справится. Следовательно, его нужнопопытаться упростить.
Для этого прологарифмируем обе его части, а затем последовательно используем формулы log(a-b)=log(a)+log(b) и log(a-n)=n-log(a). Полученное в результате неравенство будет успешно решено программой:*fWfHSsolve,xsimplifyх<3Ответ в стандартной форме: хе (-<»; 3).Второе неравенство системы Mathcad решит без особых сложностей:3-х-бх—8\/2 solve,хln(2)x< 3Чтобы привести громоздкие выражения, выданные в качестве ответа, к более простому виду, используем оператор simplify:Глава 9. Решение неравенств-|i^-'(13'ln(2)+ln(8))| simplify -»-l•:• 3 3 33+\~Итак, решение второго неравенства можно записать как хе(-1; 7).Если первое неравенство выполняется на промежутке от -°° до 3, а второе на промежутке от -1до 7, то, очевидно, им обоим удовлетворяет промежуток от -1 до 3.
Итак, окончательный ответ:хе(-1;3).Так как решенная система является довольно сложной, нужно обязательно выполнить проверкупо графику (рис. 9.4).Рис. 9 . 4 . Область решения системы заключена между вертикальными штриховыми линиямиПроверка показывает, что решение было найдено абсолютно верно. Аналогичным образом можно решить подавляющее большинство из встречающихся в задачниках систем неравенств.В случае неравенств повышенной сложности (например, тригонометрических) Mathcadокажется не на высоте даже при условии максимального упрощения вами задачи. В таких случаях неравенство придется решать самостоятельно. При этом Mathcad сможетоказать существенную помощь, выполняя простые, но рутинные операции вроде приведения тригонометрического выражения к одному аргументу или упрощения выражения. Для примера продемонстрируем, как можно быстро и просто решить довольнотрудное тригонометрическое неравенство.Пример 9.7.
Решение тригонометрического неравенстваПусть стоит задача решить неравенство вида 2sin 2 (x) - sin(x) + sin(3x) < 1. Попытка решить егонапрямую окажется неудачной. Следовательно, необходимо решать его пошагово, используя теже ходы, которые мы бы применяли при его решении на бумаге. Для начала приведем выражение к одному аргументу. Для этого нужно представить sin(3x) через синус и косинус от х. Выполнить это преобразование позволяет оператор expand.2-sin(x) - sin(x) + sin(3x) expand,x -» 2sin(x) - 2sin(x) + 4-sin(x)-cos(x)''334•:• Глава 9.
Решение неравенствПолученное выражение содержит как синусы, так и косинусы. Чтобы в дальнейшем можно былоего рассматривать как алгебраическое, нужно оставить в нем лишь один вид функций. Очевидно, что проще избавиться от косинусов. Выразив косинус через синус из основного тригонометрического равенства, подставляем полученное выражение в неравенство (оператор substitute),а затем упрощаем его.2222 substitute, cos(x) =l-sin(x)-> -4-sin(x) +2-sin(x) +2-sin(x)2-sin(x)-2-sin(x)+4-sin(x)-cos(x) collect, sin(x)Далее нужно, решив полученное неравенство относительно sin(x), определить, при каких значениях синуса оно выполняется.\I—2< sin(x) • sin(x) < --4sin(x) + 2sin(x) + 2sin(x) - 1 < 0 solve,sin(x) —»1-•2< sin(x)Итак, решаемое неравенство справедливо, если sin(x)e(-2 l / 2 /2; 1/2) и (2 | / 2 /2; 1).
Чтобы найти,каким должен быть х, чтобы это условие соблюдалось, проанализируем график синуса на промежутке одного периода (рис. 9.5).2-TC-NРис. 9.5. Функция y(x)=sin(x) на промежутке, равном одному периодуОтметив на оси Y границы областей решения, проведем вспомогательные линии. Заключенныемежду ними фрагменты кривой содержат точки, удовлетворяющие неравенству. Таких фрагментов на промежутке периода три.
Глядя на полученную схему, совсем не сложно найти координаты их границ по X и записать окончательный ответ: хе (-я/4 + 2-n-N; я/6 + 2-n>N) u (я/4 + 2-rc-N;З-я/4 + 2-n-N) и (5-п/б + 2-n-N; 5-п/А + 2-JI-N), Ne Z.Глава 10. Вычисление интеграловВ этой главе рассматриваются особенности проведения такой важнейшей математической операции, как интегрирование.
Наряду с производной, интеграл является одним из основных инструментов современной математики. На практике очень часто ставится задача найти функцию или ее значение в точке, если известна ее производная.К подобной задаче сводятся многие физические и химические проблемы. Например,получив из эксперимента уравнение скорости химической реакции, можно с легкостьюопределить, сколько вещества прореагирует за определенный промежуток времени.Если тело можно описать функцией, то интегрирование позволит найти его объеми площадь поверхности. Подобных примеров можно привести очень и очень много.Аналогично дифференцированию, интегрирование в Mathcad может быть как численным, так и символьным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
