Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Вычисление интеграловВ этом разделе мы обсудим особенности символьного вычисления определенного интеграла. Применению численных методов будет посвящен следующий раздел.Чтобы вычислить определенный интеграл аналитически, необходимо заполнить всемаркеры соответствующего оператора, а затем ввести оператор символьного вывода«>». В случае аналитического интегрирования пределы могут быть как числовыми, таки буквенными или даже быть представленными целыми выражениями. Кроме того,можно использовать символ бесконечности (Ctrl+Shift+Z) (об особенностях вычислениянесобственных интегралов мы поговорим чуть ниже).Если выражение ответа, возвращенное оператором определенного интеграла, слишкомгромоздкое, его следует попытаться упростить с помощью оператора simplify. В отдельных случаях для упрощения нужно задействовать операторы factor, expand и collect.Пример 10.5.
Аналитическое вычисление определенных интеграловНахождение определенных интегралов с численными пределами:11 .2- dx-> - 2 я41 + cos(x)2xl4sin(x)-cos| - dx-> -Вычисление определенного интеграла с неявно заданными пределами. Чтобы получить ответв компактной форме, возвращенное оператором интегрирования выражение следует упроститьс помощью оператора simplify:1dx simplifyin(p)sin1 + sin(x)cos(p)+ sin (a)а-рПри вычислении определенного интеграла всегда следует помнить, что все числа и функцииMathcad рассматривает в комплексной области, поэтому, неправильно задав пределы, можнополучить комплексное значение.
Например:с\dx-> 2-ехр(1) - 2-exp(i) = 4.356- 1.683i-1Если выражение результата получается слишком сложным или если оно содержит функции,то его нужно пересчитать в десятичную дробь. Для этого можно или задействовать оператор float,или ввести после ответа оператор «=»:11-1( 2 \ Гг—\х + 9/\/ х + 4— a t a n h f - I-5 2 =0.10315Аналитически вычисляя определенный интеграл, Mathcad использует теорему Ньютона-Лейбница. То есть программа находит функцию первообразной F(x), затем вычисляет разность F(b)-F(a), где а и b — пределы интегрирования, после чего упрощает10.2. Аналитическое вычисление определенного интеграла* 345полученное выражение.
Это означает, что все особенности нахождения неопределенного интеграла, которые мы обсудили выше, можно перенести на случай аналитического вычисления определенного интеграла. Например, если символьный процессор ненаходит значения интеграла, нужно ему «помочь», выполнив упрощающую подстановку.
Также в результат могут входить интегральные функции, оперировать с которыминужно точно так же, как при нахождении неопределенного интеграла.Пример 10.6. Вычисление определенного интеграла от функции,первообразная для которой не может быть найдена Mathcad в замкнутойформеПусть перед нами стоит задача аналитически рассчитать следующий определенный интеграл:г2гdxСимвольный процессор выдает в качестве результата интегрирования следующее громоздкоевыражение (которое, правда, может быть пересчитано в десятичную дробь оператором float):-EllipticPijj - \J, '}£&?float, 6-> 1.04721-3 + 2-3В полученном ответе присутствуют практически неописанные в справочной системе Mathcadинтегральные функции EllipticK и EllipticPi.
Чтобы узнать, что это за функции, нужно обратиться к документации Maple (разработчик Mathcad компания Mathsoft не стала создавать свой символьный процессор, а купила процессор системы Maple). Здесь мы прочитаем, что EllipticKи EllipticPi — это полные эллиптические интегралы второго и соответственно третьего рода.Чтобы преобразовать ответ в более понятную для «простого смертного» форму, можно функцииEllipticK и EllipticPi заменить явными выражениями полных эллиптических интегралов второго и третьего рода в форме Лежандра:К(к) :=d\|/Pi(h,k):=1 - k •sin(v|/)dv|/( l - hsinCvi/1111 1= 1.047- 3 + 2-3Вполне вероятно, то, что ответ был выражен Mathcad в незамкнутой форме с использованиемэллиптических интегралов, связано с тем, что интегрируемая функция имеет слишком сложныйвид. Стоит попробовать выполнить такую замену переменных, которая бы упростила ее.
Введем переменную t, связанную с х следующим соотношением:3 4 6 *:• Глава 10. Вычисление интеграловИз этого равенства, ограничившись действительным решением, находим х:ж-G- г?Так как dx«d(x(t))=x'(t)dt, то нам нужно найти выражение производной x(t) no t:->dtэ-t4-г)Заменяем в исходном выражении х на t, умножаем его на производную x'(t), а затем производимупрощение:-2simplify-2В связи с тем что была произведена замена переменных, нужно пересчитать величины пределонинтегрирования.
Мы должны определить, какие значения принимает t, если х равен 0 и 2. Дляэтого присвоим выражению, связывающему х с t, значения пределов и решим аналитически полученные уравнения:1= 0 s o l v e , t —>2-22\8- t )= 2 solve ,t->0Для случая х=0 мы получили два значения t. Какое из них должно быть использовано в качественижнего предела интегрирования? Это очень легко определить. Нижний предел интегрированиядолжен быть меньше верхнего.
Для верхнего же предела было получено значение 0. Следовательно, использовать нужно отрицательное решение.Упрощенная в результате замены переменных функция будет с легкостью проинтегрированаMathcad:0^-2-yfi-2dt— •л = -1.047310.2. Аналитическое вычисление определенного интеграла • 3 4 7Убедиться в том, что задача была решена верно, можно, проведя интегрирование численно.Приведенный пример показывает, как важно, используя Mathcad, не забывать математику.
Ваше активное участие в вычислениях может помочь получить результат в техслучаях, в которых символьный процессор оказывается недостаточно интеллектуальным.Довольно тонкая особенность связана с интегрированием функций, зависящих от параметра. Дело в том, что то, будет ли найдено выражение результата и, если да, то в какой форме, зачастую определяется тем, какие значения может принимать параметр.Например, следующий интеграл при 0<|к|<1 является неберущимся. Если же |к|>1, тоего значение можно найти в замкнутой форме.—idxПодобных примеров можно привести очень много. Поэтому всегда, когда вы проводите интегрирование функции с параметром, указывайте, какие значения он принимает.Сделать это можно с помощью оператора assume (Принимает) панели Symbolic (Символьные).
Информация о параметре указывается в его правом маркере следующимиспособами.• Если параметр а принимает действительные значения (по умолчанию все неизвестные воспринимаются Mathcad как комплексные величины), то в правом маркереassume нужно набрать: «а=геа/>>.
В качестве знака равенства следует использоватьлогическое равенство (Bold Equal— Ctrl+=). Модификатор real вводится с панелиModifiers (Модификаторы), которая открывается нажатием одноименной кнопкипанели Symbolic.•Если параметр а всегда больше (меньше) действительного числа Ь, то в правом маркере оператора assume нужно набрать: «а>Ь» («а<Ь>).О Если параметр а принимает значения в действительной области от Ъ до с, то в правом маркере оператора assume указываем: «a=ReatRange(b,c)». Здесь знак равенства — логическое равенство.
Модификатор RealRange вводится нажатием соответствующей кнопки панели Modifiers.Приведем несколько примеров, показывающих, как важно в случае интегрированияфункции с параметром указывать область изменения параметра.Пример 10.7. Интегрирование функций с параметрами,При вычислении следующего интеграла без задания области изменения параметра а выражениерезультата получается громоздким и сложным для интерпретации:1 csgndx-> - - я2, ,22a - cos (x)1)]2J + csgnНо если нам известно, что параметр а всегда больше 1, ответ можно получить в куда более простой форме:3 4 8 •:• Глава 10.
Вычисление интегралов12О2а - cos (x)dx assume, a > 1 —>Еще более простой результат будет получен, если сообщить системе, что параметр а локализованв промежутке от -1 до 1:С ТЕ122а - cos (x)dx assume, а = RealRange(-l ,1) —> ОООдновременно можно указывать области изменения сразу нескольких параметров подынтегральной функции.
Примером может быть интеграл, задающий знаменитую В-функцию Эйлера. Еслине указать, какие значения принимают параметры, Mathcad данную функцию не распознает:Г1xa"1-(l-x)P~1dxassume,a >0,p >0-»Beta(a,p)Наиболее чувствительны к тому, как изменяется параметр подынтегральной функции, несобственные интегралы.
Следующий интеграл, являющийся разновидностью интеграла Эйлера, будет подсчитан, лишь если указать, что параметр а принимает значения от 0 до 1:а-1dx assume , а = RealRange(0,1) ->т(л-а)р -а+1sinОЕсли от функции с параметром вычисляется неопределенный интеграл, то указыватьобласть изменения параметра не нужно. Это либо никак не повлияет на результат, либобудет выдано сообщение об ошибке: No symbolic result was found (He было найдено символьного результата).+хВ теореме Ньютона-Лейбница есть одно очень важное условие, которое символьнымпроцессором Mathcad не всегда учитывается.
Чтобы найти определенный интеграл дляфункции f(x) на промежутке [а, Ь] как разность F(b)-F(a), первообразная F(x) должнабыть непрерывной на этом промежутке. Каким бы это ни показалось странным, но области определения функции f(x) и ее первообразной F(x) могут не совпадать. Например, f(x)=l/x определена на всей числовой оси, исключая точку 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
