Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Чтобы его задействовать,в контекстном меню оператора интегрирования выберите пункт Singular Endpoint (Неопределенный предел).Есть несколько важных особенностей численного подсчета несобственного интегралаот неограниченной функции.358 •Глава 10. Вычисление интегралов• Интеграл должен быть сходящимся. В случае расходящегося интеграла будет выдано сообщение об ошибке. Явно то, что интеграл, равный бесконечности, при численном интегрировании узнать нельзя.• Если точка разрыва находится посередине интервала интегрирования, то интегралстоит представить в виде суммы интегралов так, чтобы она оказалась на верхнейи, соответственно, нижней границах интегрирования.
При этом в полной мере проявятся достоинства модифицированного метода Ромберга. Хотя объективностиради стоит заметить, что в большинстве случаев без этой операции можно и обойтись. Однако точность при этом будет ниже.•Обычно сходящиеся интегралы от неограниченных функций можно подсчитатьи с помощью адаптивного метода или (реже) простого метода Ромберга, однакоточность результата при этом будет немного ниже.Пример 10.12.
Численное определение несобственного интегралаот неограниченной функцииВычисление несобственного интеграла с точкой разрыва на границе интервала:Модифицированный метод Ромберга:Адаптивный метод:e X ln(x 2 )dx=-2.63580430290876•^0ex-ln(x2)dx =-2.63580430290876"о0Вычисление несобственного интеграла с точкой разрыва посередине интервала:-1X2eе ln(x )dx= -4.22900350150292Очень многие интегралы нельзя вычислить ни символьно, ни численно. Это связанос отсутствием у них первообразной и расходимостью в точке сингулярности. Поэтомупри использовании численного метода будет выдано сообщение об ошибке (которое неговорит ничего конкретно), а при попытке символьного вычисления такого интеграласистема возвратит первоначальное выражение.
Чтобы однозначно доказать, что подобный интеграл равен бесконечности с соответствующим знаком, можно использоватьметод сравнения (то есть сравнить функцию с заведомо более быстро приближающейся к асимптоте). Если интеграл функции сравнения расходится, то расходится и интеграл сравниваемой функции. Например, то, что интегралравен -оо, можно показать, используя следующий интеграл сравнения:Г110-ln(x)• dx-> -оо0Вторым типом несобственных интегралов являются интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Как и интегралы от неограниченных функций, они бываютсходящимися и расходящимися.
Подсчитать сходящийся интеграл можно как аналитически, так и численно. Если же интеграл расходится, в этом можно достоверно убеJ10.4. Особенности вычисления несобственных интегралов• 359диться или выполнив интегрирование символьно, или воспользовавшись методомсравнения.Аналитический процессор Mathcad подсчитывает несобственные интегралы с бесконечными пределами, используя теорему Ньютона-Лейбница. Кроме того, ему известны значения довольно значительного количества несобственных интегралов от функций, не имеющих первообразных в элементарных функциях.
Обычно, чтобы найтизначение такого интеграла, требуется применять весьма изощренные приемы, поэтомумногие из них именные (Дирихле, Пуассона, Лапласа и т. д.). Нередко результатомвычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами являются интегральные функции (например, Г-функция Эйлера) или их сочетания.Пример 10.13. Аналитический подсчет несобственных интеграловс неограниченными пределамиСходящиеся «простые» и именные несобственные интегралы:Г1-х ,2еdx->7tJ.оеU4sin(b-x) dx assume,a > 0 -» — — „2 .
2а +b— 00Случай полной неопределенности:Гsin(x) dx -> undefined'ОПример интеграла, результат для которого выражается через символьные функции:Г 00—х tе-х dx assume, t > 0 -» F(t)-t'ОЕсли аналитически найти значение несобственного интеграла с бесконечными пределами не получается, расчет следует провести численно. Для этого в Mathcad имеетсяспециальный метод Infinite Limit (Бесконечный предел). Самостоятельно выбиратьданный метод вам не придется, поскольку система автоматически переключается нанего при введении в оператор интегрирования символа бесконечности. Точность данного алгоритма весьма значительно зависит от значения TOL.Пример 10.14.
Вычисление интеграла с бесконечным пределомТочное аналитическое решение:'/-00-хе1-sin(x)dx-> - = 0.5Jo2-Обычная точность (T0L=W3):1е~ X-sin(x) dx = 0.499999999986754оfTOL=1CT13:,'/-00•'ое~ X-sin(x) dx= 0.53 6 0 • Глава 10. Вычисление интеграловИспользование для вычисления интегралов с бесконечными пределами обычных методов (Ромберга или адаптивного) либо (в лучшем случае) приведет к сообщениюоб ошибке, либо (в худшем случае) будет выдан неверный результат.Имеется ряд ограничений на применение численного интегрирования для определения несобственных интегралов с неограниченными пределами.
Так, использовать егодля нахождения расходящегося интеграла не стоит в любом случае. Также не получится произвести расчет, если интеграл сходится неравномерно. Это прежде всего относится к периодическим функциям, например вида f(x)=sin(x)/x. Впрочем, многие несобственные интегралы от такого рода функций могут быть подсчитаны символьно.10.5. Вычисление кратных интеграловЧтобы подсчитать кратный интеграл, выполните следующую последовательность действий.1.
Введите командой панели Calculus (Вычисления) или соответствующим сочетанием клавиш нужный оператор интегрирования.2. Поставьте курсор в маркер подынтегральной функции и введите второй оператор.Для вычисления тройного интеграла повторите эту операцию два раза.3. В маркере последнего из заданных операторов пропишите интегрируемую функцию.4. Заполните маркеры дифференциалов в том порядке, в котором должно вестись интегрирование.5. Если вычисляется определенный интеграл, заполните соответственно маркеры пределов интегрирования.Все те выводы и рассуждения, которые были сделаны нами относительно символьногои численного определения интеграла от функции одной переменной, в полной меремогут быть перенесеньри на случай кратного интегрирования.
Эта возможность объясняется тем, что для вычисления интегралов обоих типов используются одни и те жеалгоритмы.Пример 10.15. Символьное и численное вычисление кратного интеграла/•Ь /-1-х-ydydx->-12b2 +6b + 12а2-6ах43ldzdy dx-> - л - Rraoraoe- x - y dxdy =QОчень внимательно при задании кратного интеграла следует относиться к последовательности определения пределов интегрирования. Неправильно согласовав их с пере-10.6. Численные методы интегрирования• 361менными под знаками дифференциалов, вы получите неверный ответ.
Ошибка такогорода — самая распространенная при вычислении кратных интегралов.При вычислении кратных интегралов осторожно нужно относиться к использованиючисленных методов. Связано это с тем, что если кратность интеграла равна трем илиболее и интервалы интегрирования относительно широкие, то количество шагов численного алгоритма, которые требуются для получения более или менее точного значения, просто огромно.
А это означает, что время расчета такого интеграла численнымметодом будет весьма заметным даже на мощном современном компьютере. Так, посмотрим, сколько времени в секундах может понадобиться для вычисления «проблемного» тройного интеграла:timeO <r- time(0)rlOO r200= 349.863/-1000INT<-sin(x+y + z)dxdydz- 100 -200- 1000time(l) - timeOИз данного примера следует вывод: численные методы применять тогда и только тогда, когда с поставленной задачей не справится символьный процессор.10.6. Численные методы интегрированияЧисленное интегрирование — пожалуй, одна из самых важных задач прикладнойматематики.
Методов ее решения было создано великое множество, и каждый изних имеет свои достоинства и недостатки. Естественно, описывать их все в рамках данной книги нет никакого смысла, поэтому мы остановимся лишь на некоторых основополагающих идеях, а также опишем один из методов, использующихся системойMathcad.Так как, в отличие от численного решения уравнений, успех интегрирования не таксильно зависит от вашего знания идей используемого метода, то читать данный разделсовсем не обязательно, если в своей практике вы не сталкиваетесь с необходимостьюсамостоятельно создавать численные алгоритмы. Однако это будет полезно как с точки зрения кругозора, так и как очень неплохая тренировка техники программированияв Mathcad.
Тем более численные методы интегрирования входят в курс математикитехнических и естественных специальностей вузов, поэтому в самостоятельной реализации численного метода может заключаться домашнее задание.Суть любого численного метода интегрирования состоит в приближении функции другой кривой, площадь под которой можно более или менее легко подсчитать аналитически. Обычно в качестве таких кривых используются кривые алгебраических полиномов.Самым ранним исторически и наиболее известным численным методом интегрирования является метод средних прямоугольников. Идея его вытекает из самого определения интеграла как предела суммы произведений ширины интервала разбиения на значение функции в его середине. То есть гладкая криволинейная трапеция заменяется наступенчатую фигуру, площадь которой приближается к площади трапеции при стремлении ширины интервала разбиения к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
