Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 77
Текст из файла (страница 77)
При символьном интегрировании система ищет первообразную,при численном — приближенно подсчитывает ограниченную кривой функции площадь.Вычисление определенного интеграла может быть как символьным, так и численным,неопределенного — только символьным. В случае интегрирования численный подходимеет куда большее значение, чем в случае дифференцирования.
На это есть две причины. Во-первых, далеко не все функции имеют первообразную, которую можно выразить в элементарных функциях. Во-вторых, определение первообразной — это кудаболее сложная задача, чем нахождение производной, поэтому Mathcad с ней не всегдасправляется. Конечно, аналитический ответ куда информативнее и не содержит погрешности — поэтому сначала всегда нужно стремиться провести интегрирование символьно. И лишь в случае неудачи (или если ответ будет уж очень громоздок) следуетобращаться к численным методам.Помимо обычных интегралов, в Mathcad можно подсчитывать двойные и тройные интегралы, а также несобственные интегралы.
В подсчете таких интегралов есть важныеособенности, поэтому им мы посвятим отдельные подразделы.i10.1. Нахождение неопределенногоинтегралаПанель Calculus (Вычисления) содержит два оператора интегрирования. Первый,Indefinite Integral (Неопределенный интеграл), позволяет определить вид первообразной интегрируемой функции (рис. 10.1). Помимо панели, вводится данный операторсочетанием Ctrl+I.3 3 6 •:• Глава 10. Вычисление интеграловЕ22ЯИЕ* £ °° £idiя ft 1JSIrf&finte Integral Ctrl+l|Рис. 1 0 . 1 . Оператор неопределенного интегралаОператор неопределенного интеграла содержит два маркера, которые заполняютсяполностью в соответствии с принятыми в математике традициями: в левый вводитсяфункция (или имя функции), под знак дифференциала — переменная, по которой должно быть проведено интегрирование.
Использовать с оператором неопределенногоинтеграла можно только оператор символьного вывода «>».Пример 1 0 . 1 . Вычисление первообразныхИнтегрирование сложной рациональной функции:110х + 8х+ 16 .х -15х-21,:_ - / j I ,,„Л 2822dx-» 10-X+ 791nVx- 15-X-21/ — -3092-atanh — •(2-х- 15)309309309Интегрирование функции с иррациональностью:/dx factor -> — 22 ,2х +1. \1atan 22-. ^lnх+2]_\_22+0Интегрирование тригонометрической функции С'неопределенными коэффициентами:Геах, .2 , . ...1/ \а'Cos(x) dx simplify —> --ехр^а-х;2cos (2-х) + 2-sin(2x)g + ауV\а2+4+ 4/-аЗачастую результат интегрирования представляет собой громоздкое выражение.
В этомслучае его стоит упрощать. Наиболее универсальный инструмент, который для этогоиспользуется, — это, конечно, оператор Simplify (Упростить). Однако иногда выражение можно сделать проще, приведя подобные слагаемые (оператор Collect), разложивстепени (оператор Expand) или приведя дроби к общему знаменателю (оператор Factor).Чтобы задействовать нужный символьный оператор, следует выделить выражениеинтеграла и нажать соответствующую кнопку на панели Symbolic (Символьные).
Применять к результату интегрирования можно и сразу несколько символьных операторов.Строго говоря, неопределенный интеграл — это множество всех первообразных функции. Неопределенный интеграл отличается от выражения первообразной наличиемпроизвольной постоянной (обычно она обозначается буквой С). Однако в выражения,возвращаемые оператором неопределенного интегрирования Mathcad, произвольнаяпостоянная не входит, так как в случае большинства практических задач С — это довольно бесполезный балласт.
Однако порой произвольную постоянную нужно учиты-10.1. Нахождение неопределенного интеграла * 3 3 7вать (например, если вы решаете дифференциальное уравнение прямым интегрированием). При этом С следует добавлять в выражение ответа самостоятельно.Находить первообразные Mathcad умеет довольно неплохо. 99 % встречающихся напрактике задач будет успешно решено изучаемой программой (естественно, при условии,что интегрируемая функция имеет первообразную в элементарных функциях). В отличие от решения уравнений, одинаково успешно можно проинтегрировать рациональную функцию, иррациональную функцию, функцию с логарифмом или тригонометрическую функцию.
Находить первообразную можно и для функций с буквеннымикоэффициентами. В общем, без всяких преувеличений, возможности Mathcad в области аналитического интегрирования заслуживают похвалы. Однако это не значит, чтоможно навсегда забыть про утомительный поиск нужной первообразной в толстыхматематических справочниках. Увы, но в ряде случаев с них придется сдувать пыль.•В Mathcad встроена обширная библиотека неопределенных интегралов. Однакоона все же уступает по объему лучшим сборникам формул. Также вполне вероятнатакая ситуация, что программа просто не сможет соотнести функцию в том виде,в котором вы ее предоставите, с имеющейся в библиотеке формулой (все-таки этодовольно интеллектуальная задача). Поэтому, если первообразная не будет найдена, попробуйте тождественными преобразованиями и заменой переменных упростить вид функции.
Если же это невозможно — доставайте с полки справочник.• Результат интегрирования в Mathcad может представлять собой огромное и не поддающееся упрощению выражение. Также в него могут входить функции, мало чтоговорящие обычному инженеру или физику (особенно символьный процессор «любит» обратные гиперболические функции). Формулы же в справочниках обычнооптимизированы и содержат лишь базовые функции. Во многих случаях упрощение может быть проведено и в среде Mathcad путем замены сложных для восприятия функций на аналитические выражения для них.•Mathcad совершенно не умеет интегрировать функции, первообразные для которыхпредставляют собой рекуррентные соотношения, ряды, произведения.Таким образом, если окажется, что Mathcad не сможет найти первообразную или выданное программой выражение слишком сложно, не опускайте сразу руки.
Очень дажевероятно, что старый добрый справочник поможет вам лучше современной программы. Если же возиться со справочником не хочется или необходимой формулы в нем неимеется, можно попробовать «подсказать» Mathcad. Для этого можно выполнить замену переменных (например, чтобы избавиться от иррациональности) или, если ответсодержит сложные для восприятия функции, подставить вместо них их аналитическиевыражения.
В примере 10.2 показаны наиболее типичные случаи неэффективного нахождения Mathcad первообразной, а также то, как в подобных случаях нужно действовать.Пример 10.2. Случаи неэффективного нахождения первообразнойСледующий интеграл программа не смогла подсчитать и возвратила в качестве ответа исходноевыражение без каких-либо изменений:1Inf 2 ?Л(2if-a ) _X-H\xdxЗначение данного интеграла находим в обычном справочнике довольно небольшого объема [16]:3 3 8 •:• Глава 10. Вычисление интегралов.(iVГг1п\х + ^х,(pifli\2- а / dx=x-ln\x+ \]х - а / - \)х - а+СЕсли справочника с интегралами под рукой нет или если первообразной для нужной функциив нем не имеется, можно попробовать «помочь» символьному процессору, заменой переменныхприведя подынтегральное выражение к более простой форме.
В нашем случае замену необходимо осуществить так, чтобы из выражения исчезла иррациональность. Для этого введем новуюпеременную t:22t = х+ /х - аВыразим переменную х через переменную t:П2,1 a2 +х + \jx - a = t solve,х —>2tНайдем связь между dx и dt. Очевидно, что dx=d(x(t))=x'(t)-dt. Определим x'(t):22d I a + t-1 a 2 - t 2simplify ->A2t2t2Заменяем соответствующее выражение от х на t, a dx на x'(t)-dt.
Находим первообразную:-. С2-.2) ln(t) dt factor1 a2-ln(t) + a 2 + t 2 -ln(t) - t 2Выполняем обратную подстановку, возвращаясь к переменной х:1 a2-ln(t) + а 2 + t2-ln(t) - t 22t\2isubstitute ,t = x + . x - a —>VПолученное в результате подстановки выражение мы не приводим, так как оно слишком громоздко для книжной страницы. Однако буквально несколькими действиями его можно преобразоватьк той простой форме, которая.используется в справочнике.Для следующего интеграла Mathcad результат находит — но в виде чрезвычайно громоздкого и сложного выражения. Упростить его посредством оператора simplify не получится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
