Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Этоозначает, что для них заведомо известно количество действий, которое должен проделать алгоритм, чтобы найти корни. Точность работы таких алгоритмов зависит толькоот особенностей системы уравнений. В этом есть свои преимущества, однако есть и недостатки. Так, решая посредством прямых методов СЛАУ, мы не можем задать точностьрешения. Поэтому, в общем случае, нельзя быть уверенным, что корни были определены с достаточной точностью. Если система плохо обусловлена, погрешность может бытьочень высока. А можно ли создать для решения СЛАУ итеративный алгоритм, в котором бы использовались явные критерии сходимости к корню и итерации совершалисьдо тех пор, пока корни не удовлетворят данным критериям? Такие методы есть. Опишем самый простой итеративный алгоритм решения СЛАУ — алгоритм Якоби.Суть работы алгоритма Якоби заключается в следующем: из каждого уравнения системы выражается по одному неизвестному.
На первом шаге находится первое приближение простой подстановкой определенных пользователем начальных приближенийк переменным. На втором круге работы алгоритма в каждое выражение подставляются полученные на шаг ранее приближения. Таким образом вычисляются следующие!,более близкие к корням, приближения. Если полученные значения не удовлетворяютусловиям точности, то цикл повторяется до тех пор, пока нужное приближение достигнуто не будет.Несложно догадаться, что рабочей формулой метода Якоби будет следующая формула (здесь х — вектор приближений к корню, А — матрица коэффициентов, В — векторправых частей):В. - А . п-х-, - А. ,-х, X.
—1111,0Ч)1,1 1- А. . -х. , - А.i,i-l 1-1i>-х.i+l- А.,-х ,i,n-l п-1А.iКритерием того, что приближения к корню уже достигли нужной точности, можетбыть то, что подстановка их в уравнения дает величины, отклоняющиеся от соответствующих элементов вектора В не более чем на TOLСогласитесь, что метод Якоби — это весьма оригинальный алгоритм. То, что при таких,на первый взгляд, довольно странных действиях корни все-таки находятся, можнообъяснить тем, что в ходе работы программы происходит своеобразное смешение уравнений, в результате чего наступает усреднение, которое шаг за шагом приближаетфункции к их общей точке. Правда, для этого должно выполняться условие: матрицасистемы должна быть строго диагонально доминирующей (то есть величина элементаглавной диагонали должна превышать сумму остальных элементов строки).
В противном случае алгоритм может не сойтись (требование диагонального доминированияявляется достаточным условием сходимости метода Якоби, но не необходимым).Реализовать алгоритм Якоби на языке программирования Mathcad можно следующимкодом (А — матрица коэффициентов, В — вектор правых частей, L — вектор начальныхприближений, TOL — точность):8.2. Решение систем уравнений • 3 0 7Jacobi(A,B,L,TOL):= ( x < - L N < - r o w s ( A ) - lNwhilei=0M <-cols(A) - 1)\MI= 0•X.-.B. <TOLA.JJiJfor i e 0.. NMВ.-ifi > 0'ZAij- x j' 0j=0A. .1,1Проверку того, насколько хорошо работает функция Jacobi, проведите самостоятельно.Из встроенных средств Mathcad итеративный алгоритм для решения СЛАУ применяет блок Given-Find (в настройках функции find должен быть активирован пункт Linear).Данным алгоритмом является широко известный симплекс-метод.
В своей классической формулировке симплекс-метод используется не для решения СЛАУ, а для поискаэкстремумов линейных функций (задачи линейного программирования). Однако еслинемного преобразовать СЛАУ, то симплекс-метод может быть применен и для определения корней системы линейных уравнений.Ввиду того что симплекс-метод не является специализированным средством решенияСЛАУ, корни он, как правило, находит менее точно, чем функция Lsolve. Кроме того, онможет и не сойтись к решению, что происходит довольно часто.
Поэтому единственным преимуществом блока Given-Find в случае решения СЛАУ является то, что система уравнений может быть записана не в матричной, а в естественной форме.8.2.2. Аналитическое решение систем нелинейныхуравненийС помощью символьного процессора Mathcad можно получить аналитическое решение системы уравнений. Сделать это можно двумя способами. Во-первых, можно воспользоваться оператором solve (решить). В этом случае система должна быть внесена вего левый маркер в виде вектора. Переменные, значение которых должно быть найдено, следует ввести через запятую в правый маркер оператора solve. Ответ будет возвращен в виде матрицы, в строках которой будут записаны корни найденных решений. Ихпорядок будет таким же, каким был порядок соответствующих переменных в правоммаркере оператора solve.Пример 8.26.
Решение системы уравнений с помощью оператора solvesolve ,u,v -> (41 40)Во-вторых, можно использовать так называемый вычислительный блок. Вычислительным блоком в Mathcad мы будем называть систему из вводного слова (Given (Дано))и функции той или иной математической операции (например, Find — решение систем3 0 8 •:• Глава 8. Решение уравнений и систем уравненийуравнений, Odesotve — решение систем дифференциальных уравнений, Minerr — поискточки минимальной невязки системы).Чтобы решить систему уравнений с помощью вычислительного блока, выполните следующую последовательность действий.1. Наберите вводное слово Given.2.
Строго под вводным словом задайте систему уравнений. Делается это, в отличие отслучая использования оператора solve, точно так же, как при ее решении на бумаге.В качестве знаков равенства следует использовать логическое равенство (Bold Equal —Ctrl+=). Если система приведена к стандартному виду, то, аналогично поиску корнейодиночных уравнений, можно определить лишь левые части ее уравнений.3. Введите функцию решения систем уравнений find(xl,x2,...).
В скобках через запятую задайте переменные в том порядке, в котором должны быть расположены в ответе соответствующие им корни.4. В качестве оператора вывода результата работы функции find(xl,x2,...) используйте оператор символьного вывода «-»». Если же вы примените оператор численноговывода «=», то для решения системы, при условии добавления начальных приближений, будет запущен один из численных алгоритмов.Пример 8.27. Решение системы уравнений с помощью вычислительногоблокаGIVENz=3fmd(x,y,z)Существенных различий между решением системы уравнений с помощью оператораsolve и вычислительного блока Given-Find нет.
Однако есть небольшая, но совсем неочевидная разница в форме представления результата. Она заключается в том, что значения корней, относящиеся к одному решению, в случае использования вычислительного блока располагаются в столбцах, а при применении оператора solve — в строкахматрицы ответа. Если этого не знать, то можно очень легко запутаться и сделать ошибку (особенно если количество решений и переменных совпадает).Пример 8.28.
Различия в форме ответа при использовании оператораsolve и вычислительного блокаРешаем систему с использованием оператора solve:1х+у=1solve ,x,y6613 216+ -•]61122^6+6•13668.2. Решение систем уравнений• 309Решаем систему с помощью блока Given-Find:GivenЗх-2+у =х+у =find(x,y)Mathcad может решать самые разнообразные системы. Лучше всего решаются системы алгебраических уравнений, хуже всего — системы, содержащие сильно разнородные по своей природе функции (например, экспоненту и синус). Неплохо справляетсяMathcad и с системами алгебраических уравнений с параметрами.
В общем же, трудности, которые связаны с видом уравнений при решении систем, очень схожи с аналогичными проблемами при поиске корней одного уравнения, о которых весьма подробно говорилось в начале главы, поэтому останавливаться на этом вопросе не будем.Приведём лишь несколько примеров решения в Mathcad систем различных типов.Пример 8.29. Аналитическое решение систем нелинейных уравненийразличных типовСистема алгебраических уравнений с параметрами:х+ у + z =0с-х+ а-у + b-z = 0222solve,x,y,z ->2220-b + a - c + b c - a(х + b) + (у + с) + (z + а) = а + b + сСистема логарифмических уравнений:10(х+ у) 2 ] = 120solve,x, у —>_log(y) - l o g ( | x | ) = log(2)_20Система тригонометрических уравнений:< 1•71— •л•К-1•л23, ,2cos (х) + cos(у) =х+44т.solve, x,y ->5л)1•712,2213-23•Л03я•я3 1 0 •:• Глава 8.
Решение уравнений и систем уравнений8.2.3. Численное решение систем нелинейных уравненийКак и в случае одинарных уравнений, к численным методам решения системы уравнений следует обращаться тогда, когда с ней не справится аналитический процессорMathcad. Реально это приходится делать очень часто, так как лишь редкие системынелинейных уравнений могут быть решены символьно.В Mathcad для численного решения систем уравнений служит блок Given-Find. Правила его задания схожи с правилами, использующимися при символьном решении систем уравнений, однако есть и особенности.
Отметим их.• Аналогично численным методам решения уравнений с одним неизвестным, сначала следует определить начальные приближения. В случае систем уравнений приближение должно быть определено для каждой переменной. Например:х:=10~ 3у := 103z:=l• Для вывода результата после функции find следует ввести'оператор численноговывода «=».Используя блок Given-Find, можно решать системы, содержащие до 250 нелинейныхуравнений и до 1000 линейных. Впрочем, на практике редко приходится встречаться стакими огромными системами, чтобы можно было проверить эти данные. Однако замечено, что уже на системах из 5-7 уравнений Given-Find начинает давать сбои.
Поэтому к декларируемым в справочной системе возможностям нужно относиться с долейскепсиса.Пример 8.30. Численное решение системы нелинейных уравненийх := 10у := 5Given3/-.\Jy = 5у/у = 9find(x,y) =Редкое нелинейное уравнение имеет только один корень. Многие из них (периодические функции) могут иметь бесконечное множество решений.
В случае же систем нелинейных уравнений ситуация еще более усложняется тем, что для большинства из нихвесьма проблематично определить начальные приближения и даже количество корней(доказательство их существования для систем с большим, чем 2, количеством уравнений — это задача очень сложная и часто не решаемая в случае нелинейных разнородных функций). С этими проблемами можно было очень просто справиться в случаеуравнения с одним неизвестным, определяя нужные характеристики чисто визуальнона графике. Аналогично можно поступить, в принципе, и для систем из двух уравнений, но лишь в тех редких случаях, когда одна переменная однозначно выражается через другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
