Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Решение уравнений и систем уравнений• Пусть дана невырожденная квадратная матрица размерности N. Назовем ее А. Будем предполагать, что данная матрица может быть представлена в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U.• Перемножим матрицы L и U и поставим в соответствие полученным для элементовматрицы А выражениям их числовые значения.
В результате получим систему изN 2 уравнений, каждое из которых описывается следующей общей формулой (i=(),1...N-1, j-0,1...N-1):L. n -U n . + L. .'U, . + ...+ L .-U. . = A. .i,00 , ji,ll , j1,1i,ji,jТак как и в матрице L, и в матрице U главная диагональ заполнена, то в системебудет N2+N неизвестных. Чтобы уменьшить количество неизвестных до N2, Краутпредложил считать, что все элементы главной диагонали матрицы L равны 1. Еслипринять это предположение, то система легко решается.• Краут обнаружил, что выведенная им система решается обычными подстановками в том случае, если неизвестные ищутся в правильном порядке. Детали следующие.• Начинаем поиск, перебирая столбцы матрицы А, а не строки (то есть верхнимциклом должен быть цикл по j , а не по i).• Перейдя к очередному столбцу, последовательно перебираем все элементы в немпосредством цикла по i.• Если i<j, то на основании А., и определенных ранее элементов матриц L и U находим U...
Для этого используется следующая формула:U.i,j . = А.i,j . - УLuLi,k, -U,k,j.k=0В данной формуле сумма вычисляется, если i>0. Если же i=0, то сумму полагаютравной нулю.Если i>j, то вычисляется элемент матрицы U с индексами i,j. Для этого применяется следующая зависимость:J*A.i,j . - /L-i"У L.i,k, U, k , jL. . =i.JUJ.JВ этой формуле сумма просчитывается, если j>0. Если j=0, то LПроделав мысленно несколько итераций алгоритма Краута, вы обнаружите, что используемые в приведенных выше формулах элементы матриц L и U всегда создаютсядо того, как будут востребованы.
Также заметьте, что каждый отдельный элемент разлагаемой матрицы А участвует в вычислениях только один раз, давая элемент с такими же индексами в матрице L или в матрице U. В общем же, алгоритму Краута нужнопроделать совсем немного вычислений, чтобы произвести LU-разложение.На языке программирования Mathcad алгоритм Краута реализуется следующим кодом:8.2. Решение систем уравнений• 299lu_brain(A) := n <- rows(A)(L <- ldentity(n)1L-L)for j e 0.. n - 1fori €. 0•jN/u., J <- A .i.J. -ifГ LVк= 0,k•U.,0k,j')for i sf j . n - 1rL.lJj-lU.L . -U. .,0i,k\k,j'J.Jir — П(L U)Программа lu_brain довольно простая, но в ней есть несколько моментов, которые стоит пояснить.Q В алгоритме Краута считается, что на диагонали матрицы L лежат единицы. Чтобыучесть это, в качестве основы матрицы L нужно взять единичную матрицу соответствующей размерности.
Создать такую матрицу можно, задействовав встроеннуюфункцию identity.• В качестве основы матрицы U должна быть взята нулевая матрица той же размерности, что и матрица L. Создать такую матрицу можно, отняв от матрицы L ее же.LJ В рабочих формулах метода Краута суммы вычисляются лишь, если i>0 (формуладля U.) или j>0 (формула для L..). В противном случае суммы полагаются равными 0.
Чтобы это учесть, используя минимальный объем кода, применяем функциюif(cond, true, false), где cond — условие, true — значение, которое должно быть возвращено, если условие выполнится, false — значение, возвращаемое, если условиене выполнится.Проверим программу lu_brain:1 2 3LU:=lu_brain(M)М:= 4 5 67 8 9LU0,0 =\ 0 01 24 1 00 -3 -6.7 2 0 у0 0(\ 2 з^3^0 уLU4 5 6o,o- L U o,i =V7 8 9,Разложение было осуществлено верно. Однако любая ли невырожденная матрица может быть разложена методом Краута? Оказывается, нет. К примеру, при попытке разложить следующую матрицу Mathcad выдаст сообщение об ошибке: Divide by zero infunction evaluation (При вычислении функции происходит деление на нуль).300 •Глава 8.
Решение уравнений и систем уравнений1 2 648-1,-2 3 5 ,Проблема заключается в том, что если значением диагонального элемента матрицы Uокажется 0, то при вычислении элемента матрицы L может возникнуть ошибка деления на 0. Что же делать, если это произойдет? То, что диагональный элемент оказалсяравным 0, это не более чем результат неудачного сочетания элементов в исходной матрице А. Но можно ли это сочетание изменить в более удачную сторону, не изменив самусистему? Конечно. С учетом того, что нет никакой разницы, в какой последовательности записаны уравнения в системе, мы можем поменять строки матрицы А местами.Если аналогичную модификацию произвести с вектором правых частей и векторомнеизвестных, то система не изменится.
Однако сочетание элементов в матрице коэффициентов, с точки зрения метода Краута, после перестановки может оказаться болееудачным.Технически перестановка строк в матрице А осуществляется с помощью так называемой матрицы перестановок. Матрица перестановок — это соразмерная матрице А матрица, в каждой строке и столбце которой имеется только один ненулевой элемент, равный 1. Несложно догадаться, что количество возможных матриц перестановок дляматрицы размерности N составляет N!-l (единичная матрица не является матрицейперестановки).
Так, если N=3, то матриц перестановок будет пять:\ 0 0'01 0Л ( о1oЛ0 0 Р '0 0 10 0 11 0 00 0 11 0 00 1 00 1 00 0 11 0 00 1 01 0 0Исходя из правил матричного умножения очевидно, что, при умножении матрицы Аслева на матрицу перестановок, если в строке i ненулевой элемент находится в столбцеj , то j-я строка матрицы А переместится на позицию i.Итак, нам необходимо написать программу, которая будет генерировать матрицы перестановок произвольной размерности. Сделать это в Mathcad не так уж и просто.
Мыиспользуем для этого следующий алгоритм.•••О•Пусть нужно создать матрицу перестановок размерности N. Для начала сгенерируем вектор v, содержащий числа от 0 до N - 1 . Каждое число будет адресовать одинстолбец в матрице перестановок.Запускаем цикл от 0 до N-1 и последовательно перебираем строки матрицы перестановок.Перейдя к очередной строке, случайным образом выбираем из вектора v элемент.Его значение укажет, в элемент, принадлежащий какому столбцу, должна быть помещена единица.Так как в каждом столбце может быть только один ненулевой элемент, вырезаем извектора v уже использованное значение индекса столбца. Это гарантирует, что данное значение не будет разыграно повторно.После того, как матрица будет сгенерирована, проверяем, не является ли она единичной. Если нет, то возвращаем ее как результат.
Если же матрица получилась единичной, то генерируем матрицу перестановок заново.8.2. Решение систем уравнений* 301На языке программирования Mathcad описанный алгоритм можно реализовать следующим образом:per(N):= forclear_v.while 1v <— clear_vfor j e 0.. N - 1(rnd_index«- round(md(last(v))) a <- vM.. .
, Л<- 1break if last(v) = 0(v <-submatrixCv.l.last^.O.O) continue) if rnd_index=O(v <-submatrix(v,O,last(v) - 1,0,0) continue) if rnd_index=last(v)v«-stack(submatrix(v,O,rnd mdex-l,0,0),submatrix(v,rnd ]ndex+l,last(v),0,0))break if M * identity(N)MВ контексте написанных ранее программ функция per не содержит никаких новых приемов. Единственное, стоит пояснить, как производится случайный выбор элемента извектора v. Для этого с помощью функции rnd генерируется случайное число от 0 до п,где п — индекс последнего в векторе элемента.
Так как сгенерированное число может бытьдробью, оно округляется до ближайшего целого, для чего используется функция round.Проверим, как работает функция per, сгенерировав три матрицы перестановки размерности 3:fo о i о'рег(4) =0 0 0 110 0 00 10 00 1 0 0\рег(4) =0 0 100 0 0 1.1 0 0 о)fO О I 0^рег(4) =10 0 00 10 0[о 0 0 1,Итак, функция per работает так, как было задумано. Теперь мы должны так модифицировать код, производящий LU-разложение, чтобы он при возникновении ошибкиделения на нуль осуществлял перестановку строк матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
