Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Уравнение Шредингера (1076133), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если квантовые числа n1, n2 иn3 равны между собой, то соответствующий энергетический уровень оказывается невырожденным. Таковы, например, энергетические уровни, отвечающиенабору квантовых чисел (1,1,1), (2,2,2) и т. д. Если два из трех квантовых чиселравны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то соответствующий энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную 3. В частности, трехкратно вырожденными являются 2-й, 3-й и 4-й энергетические уровни.И, наконец, если квантовые числа не равны между собой, т. е.

если n1≠n2≠n3, тократность вырождения определяется числом возможных перестановок из трехчисел, т. е. равна 6. Именно эта ситуация реализуется для 6-го энергетическогоуровня. Таким образом, кратность вырождения шестого уровня K6=6.Задача 4. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т. е.вне области -x0≤x≤x0, где x0 - амплитуда классических колебаний.Решение.

Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, согласно12(16), (19), его энергия E0 = !ω 0 , а волновая функция, описывающая его состояние, имеет вид ψ 0 ( x ) =1x0 x2exp  − 2 2 x0πk- частота классиче , где ω 0 =m0!.m0ω 0ского гармонического осциллятора, a x0 =При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е.ka02 !ω 02=2.Отсюда следует, что амплитуда классических колебанийa0 =!ω 0!=.km0ω 0Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области:Pкл =a0∫− a0где y =12ψ 0 ( x ) dx =a0x0 π∫e−x2x02dx =− a01π1−y∫ e dy ,2−1x. Поскольку под интегралом стоит четная функция переменной у,x02Pкл =π1−y∫ e dy20Интегралt2− y2I( t ) =edyπ ∫0называется интегралом вероятностей.

Этот интеграл широко используется втеории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, егозначения для различных пределов интегрирования t приведены в таблицах. Вданном случае, при t=1 I(1)=0,8427, следовательно, РКЛ = 0,8427 ≈ 0,84.Соответственно, вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне классической области, Р = 1- РКЛ≈0,16.Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора,находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет примерно 16 %, т.

е. имеет заметную величину.Задача 5. Частица массой m0 движется в трехмерном потенциальном полеU( x, y,z ) =k 2( x + y 2 + z 2 ),2где k - постоянная (трехмерный гармонический осциллятор). Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения n-го энергетического уровня.Решение.

Поскольку движение частицы вдоль осей х, у и z происходит незави-симо, будем искать волновую функцию в виде произведенияψ ( x , y , z ) = ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ),где Ψ1 зависит только от координаты х, Ψ2 только от у и Ψ3 -только от z. Подставляя Ψ(x, y, z) в уравнение Шредингера (4), получаем∂ 2ψ 1 ( x )∂ 2ψ 2 ( y )∂ 2ψ 3 ( z )ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z )+ ψ 1 ( x ) ⋅ψ 3 ( z )+ ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( z )+dx 2dy 2dz 22m+ 2 0 [ E − U ( x , y , z )]ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ) = 0.!Разделив это уравнение на ψ(x, y, z) и использовав данный в условии задачи видзависимости U(x,y,z), придем к соотношению 1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 2   1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2 ψ ( x ) dx 2 − ! 2 2  + ψ ( y ) dy 2 − ! 2 2  + 1  2 1 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 2 2m+− 2= − 2 0 E.2!!2 ψ 3 ( z ) dzПервое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты х, второе выражение в квадратных скобках является функцией только координаты у, третье - функцией только координаты z.Поскольку их сумма равна постоянной величине, каждое из этих слагаемыхтакже должно равняться постоянной величине:1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 22m− 2= − 2 0 E1 ,2!!ψ 1 ( x ) dx22m1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2− 2= − 2 0 E2 ,2ψ 2 ( y ) dy!!21 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 22m− 2= − 2 0 E3 ,2ψ 3 ( z ) dz!!2где константы E1, E2, E3 имеют размерность энергии и удовлетворяют условиюE1+E2+E3=E.

Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармонического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (16), (17)).Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представляет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармонического осциллятора (17) и зависит от трех квантовых чисел n1, n2 и n3:ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y , z ) = ψ n1 ( x ) ⋅ψ n2 ( y ) ⋅ψ n3 ( z ),n1 ,n2 ,n3 = 0 ,1, 2 ,3, ...Для энергии трехмерного гармонического осциллятора получаем выражение3E n = !ω 0  n +  ,2где n=n1+n2+n3, n=0, 1, 2, 3, ….Найдем кратность вырождения n-го энергетического уровня трехмерного гар-монического осциллятора. Для заданного значения n кратность вырожденияуровня равна числу возможных перестановок трех чисел n1, n2 и n3, сумма которых равна п. Найдем сначала число перестановок при фиксированном значенииn1.

Оно, как легко заметить, равно числу возможных значений n2 (или, что то жесамое, n3). Число n2 при заданном n1 может меняться в пределах от 0 до n - n1т.е. принимает значение n - n1+1. Следовательно, число перестановок при фиксированном n1 равно n - n1+1.

Суммируя это выражение по n1, находим кратность вырождения n1-го уровня Kn:nKn = ∑ ( n − n1 + 1) =n1 =0( n + 1)( n + 2 ).2Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (п=0) оказывается невырожденным, K0=1. Первое возбужденное состояние (п=1) имеет кратность вырождения K1= 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (100),(010), (001).Задача 6. Частица массой m0 падает слева на прямоугольный потенциальныйпорог высотой U0. Энергия частицы равна Е, причем E<U0. Найдите эффективную глубину xЭФ проникновения частицы в область порога. Вычислите xЭФ дляэлектрона, если U0 -Е=1 эВ.Решение. Поскольку, согласно условию задачи, энергия частицы Е меньше высоты порога U0, мы имеем дело с высоким потенциальным порогом (см.

рис. 7).В этом случае, как уже отмечалось выше, хотя коэффициент отражения частицы от порога равен единице, тем не менее существует вероятность обнаружитьчастицу в области за порогом, т. е. при х>0. Плотность вероятности нахождениячастицы в области за порогом имеет вид22−dP2k1w2 ( x ) =e h=dx k1 + ik22m0 ( U0 − E )x2−4k12h= 2ek1 − k222m0 ( U0 − E )x,где k1 и k2 определяются выражениями (21). Эффективная глубина проникновения частицы xЭФ в область потенциального порога определяется как расстояниеот границы порога, на котором плотность вероятности обнаружения частицыуменьшается в е = 2,718 раз. Из этого определения следует, чтоw 2 ( x эф ) 2= exp  −2m0 ( U 0 − E )xЭФ  = e −1 .w2 ( 0 ) !Таким образом,22m0 ( U 0 − E )xЭФ = 1.!Отсюда находим, чтоxЭФ =!.2 2m0 ( U 0 − E )В случае электрона, налетающего на потенциальный порог, для которого U0U=1 эВ, получаемxЭФ =1,05 ⋅ 10 −342 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31⋅ 1,6 ⋅ 10−19≈ 10 −10 м = 0,1 нм.Результаты расчетов показывают, что электрон с заметной вероятностьюможет проникать в область высокого порога лишь на расстояния, сравнимые сразмером атома.Интересно отметить, что рассмотренное явление проникновения частицыв область высокого порога имеет аналог в классической физике - явление полного внутреннего отражения в волновой оптике.

В этом случае также происходит полное отражение при падении света на границу раздела оптически болееплотной и оптически менее плотной сред. При этом свет может проникать в оптически менее плотную среду, однако его амплитуда, как и волновая функциячастицы в данной задаче, убывает с глубиной по экспоненциальному закону.Задача 7.

Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через треугольный потенциальный барьер вида0,x < 0,x U ( x ) = U 0  1 −  , 0 < x < a ,a 0,x>aв зависимости от энергии частицы Е при E<U0 (рис. 9).U(x)U0Exx1=0x2aРис. 9Решение. Согласно (27), коэффициент прохождения частицы через высокийбарьер D, определяющий вероятность туннелирования частицы, имеет вид 2 2m0 x2−D ≈ exp  −U(x)Edx,[]∫!x1где х1и х2 - значения координат, при которых U(x)=Е.

В данном случае интеграл, стоящий под знаком экспоненты, естьI=где х1=0, а x2 = a  1 −лучаемx2x2x1x1∫ [U ( x ) − E ]dx = ∫xU 0  1 −  − Edx ,aE x . Производя замену переменной z = U 0 ( 1 − ) − E , поU0 aU −Ea 02 a3 2I=zdzUE.=−()0U 0 ∫03 U0Таким образом, коэффициент прохождения частицы через барьер D имеет вид 4 2 m0 a3 2D ≈ exp  −(U 0 − E )  . 3 !U 0Отметим, что прохождение частиц через потенциальный барьер, близкий поформе к треугольному барьеру рассматриваемого вида, имеет место на практике, в частности, при холодной эмиссии электронов с поверхности металлов.Задача 8. Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный барьервысотой U0 и шириной а. Энергия частицы E>U0. Найдите: а) коэффициент прозрачности барьера D; б) значения энергии частицы, при которых она будет беспрепятственно проходить через такой барьер.Решение.

Обозначим цифрой I область х<0, цифрой II область 0<х<а и цифройIII область х>а. Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеютвидψ 1 = e ik1 x + B1e − ik1 x−область Iψ 2 = A2 eik2 x + B2e − ik2 x −область II−область IIIψ 3 = A3e ik1 xгде k1 =2m0 E2m0 ( e − U 0 ),k 2 =.2!!2Условие непрерывности волновых функций и их производных на границахбарьера (при х = 0 и х = a) приводит к следующей системе уравнений:1 + B1 = A2 + B2 ,ik1 − ik1 B1 = ik 2 A2 − ik 2 B2 ,A2 e ik2 a + B2 e − ik2 a = A3 e ik1a ,ik 2 A2 e ik2 a − ik 2 B2 e − ik2 a = ik1 A3 e ik1a .Решая эту систему, находим амплитуду прошедшей волны4k 1 k 2 e − ik1aA3 =.( k 1 + k 2 )2 e ik2 a − ( k 1 − k 2 )2 e − ik2 aКоэффициент прохождения частицы над потенциальным порогом D выражается через векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшейволн:#####"jпрошD = ###" .jпад#####"В данном случае jпрош =###" !k!k 12A3 , jпад = 1 , следовательно,m0m024k1 k 2 e − ik1aD = A3 =.( k1 + k 2 )2 e − ik2 a − ( k1 − k 2 )2 e − ik2 aПодставляя сюда выражения для k1 и k2, получаем2−1U 02 sin 2 k 2 a D = 1 + .4 E( E − U 0 ) Коэффициент прохождения D обращается в единицу при sink2a=0, т.

е. при2m0 ( E − U 0 )a = π n.!2Таким образом, значения энергии частицы, при которых D=1,π 2 !2 2E=n + U 0 , n = 1,2,3...2m0 a 2Следует подчеркнуть, что хотя значение n = 0 формально и удовлетворяет условию sink2a=0, но при п=0 коэффициент прохождения D не будет равен единице. Дело в том, что при п=0 энергия частицы E=U0, т.

е. (E-U0)=0 и параметрk2 также равен нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби в выражении для D равны нулю. Избавляясь от неопределенности, находим, что коэффициент прохождения при п=0 оказывается равнымm a 2U D = 1+ 0 2 0 2! −1Отметим, что аналогичным образом решается задача о движении частицы надпрямоугольной потенциальной ямой конечной глубины.СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1.

Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Изд-во БИНОМ», 1998. 448с.2. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачи по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с.4. Мартинсон Л.К. Методические указания к решению задач по курсу общейфизики. Разделы «Элементы квантовой механики», «Физика твердого тела». М.:МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1983.

64 с..

Характеристики

Список файлов книги