Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Уравнение Шредингера (1076133)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. Н.Э. БАУМАНАЛ.К. Мартинсон, Е.В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ «УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИКВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ»Москва, 2002В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий исоотношений теории, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач.Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.1.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙОсновным уравнением нерелятивистской квантовой механики является общее,или временное, уравнение Шредингера:∂Ψ!2(1)=∆Ψ + U Ψi!2m 0∂tгде i = −1 −мнимая единица; ! − рационализированная постоянная Планка( ! = h 2π ) ; Ψ(x,y,z,t) − волновая функция, описывающая состояние частицы;∂2∂2∂2∆= 2 + 2 + 2∂x ∂y ∂zоператор Лапласа; U(x,у,z,t) - потенциальная функция, определяющая с помо"щью соотношения F = - grad U силу, действующую на частицу; т0 - массачастицы.Уравнение (1) позволяет найти волновую функциюΨ(х,у,z,t) как функциюкоординат и времени, т. е. найти плотность вероятности нахождения частицы влюбой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностьюописать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.В квантовой механике существует класс задач о движении частицы в силовых полях, для которых потенциальная функция U(х, у, z, t) не зависит явноот времени, т.

е. U(x,у,z,t)≡U(x,y,z). Такие силовые поля называются стационарными, в этом случае потенциальная функция U(x, у, z) имеет смысл потенциальной энергии частицы. Задачи о движении частиц в таких полях называютсястационарными задачами квантовой механики, а соответствующие состояния стационарными состояниями. Именно анализу стационарных состояний квантовой механики и посвящено настоящее пособие.Можно показать, что волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет видΨ (x,y,z,t) = ψ (x,y,z) ⋅ eE-i t!(2)= ψ (x,y,z) ⋅ e - iω tгде Е - полная энергия частицы.

Из (2) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически зависит от времени с частотой ω = E ! . Координатную часть волновой функции Ψ(х, у, z) в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (2).Подставляя волновую функцию (2) в уравнение (1) и учитывая связь между ω и Е, получаем уравнение для волновой функции ψ(x, y,z):!2(3)−∆ ψ + U ψ = Eψ2m0Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения - функции ψ(х,у,z) и соответствующие значения энергии Е определяются конкретным видом потенциальной энергии U(x,у, z). УравнениеШредингера для стационарных состояний (3) можно переписать в следующейформе:∆ψ +2m0( E − U )ψ = 0!2(4)Отметим, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы w не зависит от времени.

Действительно,w =dP22= Ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z ) e − iω tdV2= ψ ( x , y , z ) e − iω t e iω t = ψ ( x , y , z )2=2Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависятвектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.В этом пособии рассмотрены случаи движения квантово-механическойчастицы в различных стационарных силовых полях: в потенциальных ямах, вобласти потенциального порога и потенциального барьера. Для указанных силовых полей проанализированы вид волновых функций и энергетическийспектр частицы.2. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С НЕПРОНИЦАЕМЫМИСТЕНКАМИРассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи о движении частицы и потенциальной яме с непроницаемыми, т.

е. бесконечно высокими, стенками. Такие ямы называют ещепотенциальными ящиками, и наиболее часто это название применяют по отношению к трехмерной потенциальной яме.Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Вэтом случае потенциальная энергия частицы U(x) имеет вид (рис. 1)−область Ix<0∞ ,U ( x ) =  0 , 0 < x < a −область II∞ ,x>a−область IIIПоскольку стенки ямы непроницаемы для частицы, плотность вероятности обнаружения частицы w, а следовательно, и сама волновая функция ψ(х) в обласU0 →∞U(x)IIIIIIE3 n=3ψ(x)=0ψ (x)=0E2 n=2E1 n=1x0aРис. 1тях I и III должны быть равны нулю. В области II возможного движения частицы, в которой U(x) = 0, волновую функцию ψ(х) находим из решенияd 2ψ 2m0 E(5)ψ = 0, 0 < x < a+22!dxстационарного уравнения Шредингера:Это уравнение следует решать с учетом граничных условий ψ(0)=0 иψ(a)=0, которые являются следствием условия непрерывности волновой функции во всех точках пространства, включая непроницаемые для частицы стенки.Для таких однородных граничных условий рассматриваемое уравнение имеетнетривиальные решения только при определенных значениях полной энергиичастицы.

Действительно, общее решение уравнения (5) можно представить ввидеψ ( x ) = A sin kx + B cos kx ,где k = 2m0 E ! 2 . Из граничного условия ψ(0) =0 следует, что константа В=0,т. е. ψ(х) =Asinkx. Другое граничное условие ψ(a) =0 приводит к соотношениюka=nπ, n=1,2,3, …из которого находим возможные значения полной энергии частицы, движущейся в яме:π 2!2 2En =n , n = 1,2,3, ...2m0 a 2(6)Полученное выражение определяет дискретный энергетический спектр частицыв рассматриваемой задаче.

Частица, находящаяся в одномерной потенциальнойяме с непроницаемыми стенками, может иметь только дискретные квантованные значения энергии, определяемые выражением (6). Число n называетсяквантовым числом, а соответствующее ему значение En - уровнем энергии.

Состояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с п=1, называетсяосновным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными:значение n=2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение n=3 - второму возбужденному состоянию и т. д.Состояние частицы в яме, отвечающее определенному квантовому числуnπ x.п, описывается волновой функцией ψ n ( x ) = AsinaКонстанту А находим из условия нормировки волновой функцииaa222 π nx∫0 ψ n ( x ) dx = A ∫0 sin a dx = 1Вычисляя интеграл, получаем A = 2 a . Таким образом, нормированные волновые функции, описывающие состояние частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеют видπ nx2(7)sin, n = 1,2 ,3, ...ψn( x ) =aaДля заданного значения квантового числа соотношения (6) и (7) определяютполную энергию частицы и волновую функцию, описывающую ее состояние.ψ1(x)0ψ2(x)n=1axψ3(x)n=20axn=30aРис. 2Отметим, что волновая функция ψn(х) обращается в нуль на стенках ямы и в n-1внутренней точке интервала (0, а).

Поэтому с ростом n увеличивается число осцилляции волновой функции (рис. 2). Следует подчеркнуть, что минимальноезначение энергии частицы в яме E1 отлично от нуля. Отсутствие квантового состояния с нулевой полной энергией, что соответствовало бы покоящейся в ямечастице, является существенно квантовым эффектом. Это согласуется с общимвыводом, следующим из соотношений неопределенностей Гейзенберга.Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Вэтом случае потенциальная энергия частицы U(x,y) имеет вид 0, (x,y) ∈ Ω ,U(x,y)=  ∞, (x,y) ∉ Ω ,где Ω = {(x,y): 0<x<a1, 0<y<a2}− прямоугольная область на плоскости (х, y)(рис.

3).Квантовое состояние частицы в такой двумерной задаче определяется двумяквантовыми числами n1 и n2, а соответствующая нормированная волноваяфункция ψn1,n2(x,y) в области возможного движения Ω имеет видπn xπn y4sin 1 sin 2 , n1 ,n2 = 1,2,3, ...a1 a 2a1a2ψ n1 ,n2 ( x , y ) =(8)На границе области Ω, т. е. на непроницаемых для частицы стенках ямы, волновая функция ψn1,n2(x,y) обращается в нуль, непрерывным образом переходя втождественный нуль вне Ω.ya2Ωx0a1Рис. 3Полная энергия частицы в квантовом состоянии с заданными значениями квантовых чисел n1 и n2 определяется выражением22π 2 ! 2  n1   n2  (9)  +    , n1 ,n2 = 1,2,3, ...En1 ,n2 =2m0  a2   a2  Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, т.

е. приa1=a2=a. В том случае энергетический спектр частицы имеет видπ 2 !222(10)En1 ,n2 =n1 + n2 , n1 ,n2 = 1,2,3, ...22m0 aИз (10) следует, что одному и тому же энергетическому уровню En1,n2, определяемому квантовыми числами n1 и n2, при n1≠n2 соответствуют два различныхсостояния частицы, описываемых волновыми функциями ψn1,n2 и ψn2,n1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги