Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Уравнение Шредингера (1076133), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем, а число соответствующих ему состояний - кратностью (или степенью) вырождения уровня. В случае двумерной()квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня,для которого n1≠n2, равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме невырожденными являются энергетические уровнис n1=n2.Трехмерная потенциальная яма.
Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (потенциальномящике). Обозначим через G={(х, у, z): 0<x<a1, 0<y<a2, 0<z<a3} внутреннююобласть прямоугольного параллелепипеда (рис. 4). В данной задаче потенциальная энергия частицы U(x, у, z) имеет вид 0, (x,y,z) ∈ G ,U(x,y,z)= ∞, (x,y,z) ∉ G ,Вне потенциальной ямы волновая функция частицы Ψ(х, у, z)≡0.ya3Ω0a2a1xzРис.
4Внутри ямы волновую функцию находим как решение уравнения Шредингерадля стационарных состояний. Это решение, определяющее квантовое состояниечастицы, зависит от трех квантовых чисел n1,n2,n3 описывается нормированнойволновой функцией8πn xπn yπn z(11)sin 1 sin 2 sin 3 ,a1 a 2 a 3a1a2a3n1,n2,n3=1,2,3, …Каждому квантовому состоянию соответствует определенное значение полнойэнергии частицы:ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y ,z ) =En1 ,n2 ,n3π 2 !2=2m0 n 2 n 2 n 2 1 + 2 + 3 , n1 ,n2 ,n3 = 1,2,3, ... a1 a2 a3 (12)Отметим, что и волновая функция частицы, и ее полная энергия в случае трехмерной потенциальной ямы зависят от трех квантовых чисел.Рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т.
е. бу-дем считать, что a1=a2=a3=a.В этом случае энергетический спектр частицы имеет видEn1 ,n2 ,n3 =π 2 !2222n1 + n2 + n3 , n1 ,n2 ,n3 = 1,2,3, ...22m0 a()(13)Энергетические уровни в кубической яме, для которых n1=n2=n3 являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.
Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 3.3. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОРГармоническим осциллятором называется система, способная совершатьгармонические колебания. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квазиупругой силы Fx=-kx. Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид(рис.5)2kx 2 m0ω 0 x 2U( x ) =,=22(14)где ω 0 = k m0 −собственная частота классического гармонического осциллятора.
Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальнойяме.Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть макроскопическая система с энергией E совершает колебания в силовом поле (14) (см. рис. 5). Точки а0 и -а0, в которых полная энергия частицыравна потенциальной энергии Е=U(x), являются для частицы точками поворота.Частица совершает колебательные движения между стенками потенциальнойямы внутри отрезка [-а0, а0], выйти за пределы которого она не может. Ампли2Eтуда колебаний а0 определяется выражением a0 =2 .m0ω 0U(x)Ex-a00a0Рис. 5В квантовой механике волновые функции и энергетический спектр гармонического осциллятора находятся из решения уравнения Шредингера:d 2ψ 2m0+ 2!dx 22m0ω 0 x 2 E −2ψ = 0 , −∞ < x < +∞ ,(15)Это уравнение имеет регулярные решения, обращающиеся в нуль на бесконечности, только при значениях полной энергии, равны1E m = !ω 0 n + , n = 0 ,1, 2 ,3, ...2(16)Энергетический спектр гармонического осциллятора является дискретным исостоит из эквидистантных, т.
е. отстоящих друг от друга на одинаковом энергетическом расстоянии (равном !ω 0 ), уровней. Наименьшее значение полной12энергии, равное E0 = !ω 0 называется нулевой энергией осциллятора. Оно соответствует значению квантового числа n=0 и, в соответствии с принципом неопределенностей, отлично от нуля.Волновые функции, описывающие квантовые состояния осциллятора, вобщем случае выражаются через специальные функции матической физикиHn(ξ), которые называются полиномами Чебышева-Эрмита. Эти волновыефункции имеют вид2(17)ψ ( ξ ) = eξ 2 H ( ξ ),nГде ξ =x, x0 =x0n!, а полином Чебышева - Эрмита n-го порядка Hn(ξ) опm0ω 0ределяется выражением( −1 )nHn(ξ ) =eξ2d n e −ξdξ n2(18)2 n! πНормированные волновые функции для первых трех энергетических уровнейгармонического осциллятора имеют видn1n = 0, ψ0( x ) =n = 1, ψ 1 ( x ) =n = 2, ψ 2( x ) =x012 x018 x0 x2exp −2π 2 x0 , x22xexp −2π x0 2 x0 , 4 x2 x22exp− 2 −2xπ 0 2 x0(19) .Графики этих волновых функций представлены на рис.
6. Отрезок [-а0, а0] определяет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор.Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантовогочисла п, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его колебании также зависят от п.Ψ(x)Ψ0Ψ1Ψ2x0a0(0)a0(1)a0(2)Рис. 64.ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕРВ предыдущих разделах было рассмотрено движение частицы в ограниченной области пространства - так называемое финитное движение. Перейдемтеперь к анализу случаев, в которых частица, находящаяся в силовых полях,способна уходить на бесконечность, т. е.
приступим к рассмотрению инфинитного движения частицы.Движение частицы в области потенциального порога. Рассмотрим движениечастицы в силовом поле, в котором ее потенциальная энергия U(x) имеет вид0 , x < 0 − область ΙU( x ) = 0 , x > a − область ΙΙ .В этом случае говорят, что частица находится в области потенциального порога. На границе порога, т. е при х=0, потенциальная энергия частицы скачкомменяется на конечную величину U0 (рис. 7). Будем для определенности считать,что частица движется слева направо, т. е. приближается к порогу со стороныотрицательных значений х.U(x)U0Ex0Рис. 7Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального порога U0, т.
е. Е<U0. Такой порог называется высоким потенциальнымпорогом. Обозначим область слева от порога (x<0) цифрой I и все решения дляэтой области будем отмечать индексом 1. Область справа от порога (x>0) обозначим цифрой II, будем отмечать соответствующие ей решения цифрой 2.Решение уравнения Шредингера (3) с учетом непрерывности волновыхфункций и их производных на границе порога имеет видk − ik 2 − ik1 x(20a)ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1e, x < 0,k 1 + ik 22k1(20б)ψ2( x ) =e − k2 x , x > 0k1 + ik 2где2m02m0(21)k1 =E и k2 =( U0 − E )2!!2Отметим, что уравнение Шредингера в данном случае имеет решение при любых значениях коэффициентов k1 и k2,т.е.
при любых значениях энергии Е. Этоозначает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.Волновые функции ψ1 и ψ2 (20a, б), описывающие состояние частицы вобластях I и II, в случае высокого потенциального порога имеют существенноразличный вид. Первое слагаемое в волновой функции ψ1 представляет собойплоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х из -∞ к областипорога, т.
е. слева направо. Аналогично, второе слагаемое в ψ1 описывает плоскую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательномнаправлении. В отличие от ψ1(x) волновая функция ψ2(x), характеризующаядвижение частицы в области II, представляет собой затухающую в глубь порогаэкспоненту.Введем коэффициент отражения R, характеризующий вероятность отражения частицы от потенциального порога, и коэффициент прохождения D, определяющий вероятность того, что частица преодолеет потенциальный порог иудалится от него на бесконечно большое расстояние. Поскольку для потокачастиц, падающих на барьер, коэффициент отражения R определяет относительную долю отраженных частиц, а коэффициент прохождения D - относительную долю частиц, преодолевших потенциальный порог, R и D можно определить через отношение соответствующих потоков вероятности:####"#####"jотрjпрош(22)R = ###" , D = ###"jпадjпад###" ###" #####"где jотр , jпад , jпрош - векторы плотности потока вероятности соответственнодля падающей (первое слагаемое в (20а)), отраженной (второе слагаемое в(20а)) и проходящей (20б) волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
