Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Уравнение Шредингера (1076133), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Напомним, что вектор плотности потока веро"ятности j определяется через волновую функцию Ψ следующим образом:"i!ψ ⋅ gradψ * − ψ * ⋅ gradψ  .j=2m 0С учетом вида волновых функций (20а, б) получаем###" !k###" !k k − ik 2 !k#####"11121jпад =, jотр =, jпрош = 0.=m0m0 k1 + ik2m0Таким образом, в случае высокого порога коэффициент отражения R=1,коэффициент прохождения D = 0, и тем самым выполняется условие R+D=1.Рассмотрим теперь случай низкого потенциального порога, когда энергияналетающей частицы Е превышает высоту порога U0, т. е. Е>U0.

Решая уравнение Шредингера, находим волновые функции для областей I и II:k −k(23a)Ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1 2 e − ik1 x ,k1 + k 22k1 ik2 x(23б)e ;Ψ 2( x ) =k1 + k 2здесь k1 и k2 определены соотношениями2m02m0k1 =E и k2 =( E − U 0 ).2!!2Представленные волновые функции описывают падающую на порог волну деБройля (первое слагаемое в (23а)), отраженную волну (второе слагаемое в (23а))и волну, проходящую через порог (23б). Векторы плотности потока вероятности для этих трех волн имеют следующий вид:###" !k###" !k k − k#####" !k2k12jпад = 1 , jотр = 1 1, jпрош = 2.m0m0 k1 + k2m0 k1 + k 2Коэффициент отражения частицы от порога R и коэффициент прохождениячастицы через порог D с учетом соотношений (22), (23) естьk − k2R= 1k1 + k 2D=22 1 − 1 − U0 E = , 1+ 1−U E 01 − U0 E4k1 k2=42( k1 + k 2 )( 1 + 1 − U 0 E )2Таким образом, и в случае низкого порога выполняется соотношениеR+D=1, что естественно ожидать с точки зрения сложения вероятностей: падающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область II.Отметим, что классическая частица не может отразиться от низкого порога, в области II меняется лишь ее кинетическая энергия.

Квантовая частица, какпоказывает проведенный анализ, с вероятностью, определяемой коэффициентом отражения R, может отразиться не только от высокого, но и от низкого порога. Физическая причина такого явления заключается в наличии у частицыволновых свойств, благодаря которым частица, как и обычная волна, испытывает отражение от любой неоднородности силового поля.Прохождение частицы через потенциальный барьер. Потенциальнымбарьером называется область пространства, в которой потенциальная энергиячастицы U больше, чем в окружающих областях. Рассмотрим простейший слу-чай одномерного прямоугольного потенциального барьера (рис. 8, а), для которого потенциальная энергия частицы имеет вид0 , x < 0 − область Ι ,U( x ) = U 0 , 0 < x < 0 − область ΙΙ ,0 , x < a − область ΙΙΙ .Будем считать, что частица приближается к барьеру со стороны отрицательныхзначений x,т.

е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера,т. е. будем считать, что Е < U0U(x)U0E0x0aa)U(x)U0E00x1xx2б)Рис. 8(случай Е > U0 рассмотрен в задаче 8).Волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (3), дляданной задачи имеют видΨ 1 ( x ) = e ik1 x + B1e − ik1 x − область I ,(24)Ψ 2 ( x ) = A2 e k x + B2 e − k x −область IIΨ 3 ( x) = A3eik1 x −область III22где k1 =2m0 E2m0 (U 0 − E )и k2 =.2!!2Основное внимание в данной задаче сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер.

Условие непрерывности (условие сшивки) волновыхфункций и их производных на границах барьера, т. е. при x=0 и х=а, позволяетнайти коэффициенты B1, A2, B2, A3. В частности, для амплитуды A3 получаемвыражение4ik1 k 2 e ik1aA3 =.(k1 + ik 2 )2 e k2 a - (k1 - ik 2 )2 e k2 aВекторы плотности потока вероятности для падающей на барьер и прошедшейчерез него волн с учетом (24) имеют вид"""!kj пад = 1 ,m0"!k2j прош = 1 A3 .m0Подставляя j пад и j прош в выражение для D (22), находим коэффициент прохождения частицы через барьер:"j прошD= "= A3j пад−12 k 12 + k 22 2= 1 + shka,22kk1 2 1где гиперболический синус sh k 2 a = (e k2 a − e − k2 a ) .

В случае, когда ширина барь2ера а удовлетворяет условию k 2 a >> 1, e − k2 a << 1 и гиперболический синус1можно заменить экспонентой sh k 2 a ≈ e k 2 a . С учетом выражений для k1 и k222коэффициент прохождения частицы через порог D принимает вид 2a(25)D ≈ D0 exp  −2m0 ( U 0 − E )  . !E E Здесь коэффициент D0 = 16  1 −  является медленно изменяющейся функU0 U0 цией отношенияE, численное значение которой по порядку величины сравU0нимо с единицей. Основной вклад в зависимость D от параметров задачи даетэкспонента, поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохождения частицы через потенциальный барьер полагают D0 ≈1.

При этом выражение для D принимает вид 2aD ≈ exp  −2m0 ( U 0 − E )  . !(26)Обобщение полученного результата на случай барьера произвольной формыприводит к следующему выражению для коэффициента прохождения 2a x2(27)−D ≈ exp  −2m(UE)dx,00∫ ! x1где x1 и x2 - значения координат, при которых U(x) = Е (рис.

8, б).Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которогопревышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта. Отметим, что туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полнойэнергии, отражается от него. Пройти через такой барьер она не может. Квантовая частица может пройти через этот потенциальный барьер, причем вероятность ее прохождения испытывает сильную зависимость от массы частицы m0,ее энергии, а также от вида потенциального барьера U(x).Туннельный эффект объясняет ряд важных физических явлений, таких,например, как холодная эмиссия электронов из металлов, радиоактивный αраспад ядер, контактную разность потенциалов и т. д.

Кроме того, туннельныйэффект находит очень широкое применение в технических приложениях. В частности, на его основе был создан сканирующий туннельный микроскоп, который произвел подлинную революцию в физике и технике поверхности и имеетширокие перспективы в связи с развитием нанотехнологий.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной ямес непроницаемыми стенками.

Найдите отношение разности энергий двух соседних энергетических уровней к полной энергии частицы в следующих случаях: 1) п=3, 2) п=10, 3) п= 100, 4) n→∞.Решение. Используя соотношение (6), находим разность энергий частицы для(n+1)-го и n -го энергетических уровней. Эта разность определяется выражением∆ E = En+ 1 − En =Поэтому искомое отношение естьε=π 2 !2( 2n + 1) .2m0 a 2∆ E 2n + 1=.Enn2Проанализируем, как зависит величина ε от значения квантового числа n. Расчет дает ε=0,77 для n=3, ε=0,21 для n=10 и ε=0,21 для п=100. Следовательно,искомое отношение ε уменьшается с увеличением значения квантового числа nи стремится к нулю при n→∞.Полученный результат означает, что с увеличением n, т.

е. с увеличениемэнергии частицы, дискретность энергетических уровней становится менее существенной, поскольку с ростом n и энергетическое расстояние между соседними уровнями уменьшается и при больших значениях n становится пренебрежимо малым по сравнению с энергией частицы. Это значит, что энергетическийспектр частицы в этих условиях можно считать практически непрерывным, каки у классической частицы. Поэтому случай больших значений квантового числаn называется квазиклассическим, т. е. почти классическим случаем.Задача 2.

Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциаль-ной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы в области0≤ x≤aa,0 < y ≤ , где а - сторона ямы,а также разность энергий второго и пер33вого возбужденных состояний.Решение. Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратнойпотенциальной яме, имеет видπn xπn y2ψ n1 ,n2 ( x , y ) = sin 1 sin 2 ,aaaа ее энергетический спектр описывается выражением (10)π 2 !2En1 ,n2 =n 2 + n22 ) ,2 ( 12m0 aгде квантовые числа n1, n2=1, 2, 3, ….

Первому возбужденному состоянию частицы отвечают квантовые числа n1=1, n2=2 (или, наоборот, n1=2, n2=1). Следовательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукратно вырожденным. Второму возбужденному состоянию отвечают квантовыечисла n1=n2=2 соответствующий ему энергетический уровень невырожден.Вероятность обнаружить частицу в области 0 ≤ x ≤aa,0 < y ≤ , определяется33выражениемa 3a 3P=∫∫004ψ 2 ,2 ( x , y ) dxdy = 2a2a 3a 3∫∫00212π x2π x3sin 2sin 2dxdy =  − ≈ 0 ,07.aa38πРазность энергий второго и первого возбужденных состояний частицы∆E =3π 2 ! 2π 2!2  2π 2!2222+−+=−=222185.()()() 2m a 22m0 a 2 2m 0 a 20Задача 3. Частица массой m0 находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а.

Найдите: а) разность энергий 6-го и 5-го уровней; б) энергию 6-го уровня; в) кратность вырождения 6-го уровня.Решение. Состояние частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновойфункциейπn xπn yπn z8ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y, z ) = 3 sin 1 sin 2 sin 3 ,aaaaа энергия частицы, согласно (13), может принимать значенияπ 2 !2E n1 ,n2 ,n3 =n 2 + n22 + n32 ) ,2 ( 12m0 aгде квантовые числа n1, n2, n3=1, 2, 3, ….

Основному состоянию частицы, т. е.состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа n1=n2=n3=1.Энергетические уровни возбужденных состояний определяются приведеннымвыражением для E n1 ,n2 ,n3 при последовательном увеличении суммы квадратов3квантовых чисел∑ni =12i(см.

таблицу).3Номер уровня∑nКвантовые числаi =11(1,1,1)32(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)63(1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)94(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)115(2,2,2)126(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)142iИз таблицы следует, что шестому энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная 14, тогда как для 5-го уровня эта суммаравна 12. Таким образом, разность энергий 6-го и 5-го уровней составляетπ 2!2π 2!2∆ E = E6 − E 5 =14 − 12 ) =2 (22m0 am0 aДля энергии 6-го уровня получаемπ 2 !2π 2 !2E6 =.⋅ 14 = 7 ⋅2m0 a 2m0 a 2Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме.

Характеристики

Список файлов книги