Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

При вычислении этой величины Бессель рассуждал так.Очевидно, что по результатам наблюдений может быть вычислена сумма:NN(Xi – ^X )2 =i=1(Xi – XИСТ + XИСТ – ^X )2 = …i=1Учитывая (1.7) и то, что (Xi – XИСТ) = Xi , имеем:N…={NXi ,+ XИСТ-1N(Xj – XИСТ + XИСТ )i=1j=1Проводя суммирование и заменяя (Xj – XИСТ) на Xj имеем:NN1…=XjXi ,+ XИСТ -(N XИСТ)/ XИСТ{}2}2103-Ni=1j=1Сокращаем на члены, содержащие XИСТ, и возводим результат в квадрат:Проводя суммирование и заменяя (Xj – XИСТ) на Xj имеем:NNNN212…=XiXj +(Xj)2(Xi )2 NNi=1i=1j=1i=1Группируем члены:NN NN(Xi – ^X )2 =(N – 1)N(Xi) 2 –{1N}(Xj) (Xj) = (N-1)(^X)2i=1i=1i=1 j=1Двойная сумма в полученном равенстве равна нулю, так как в ней сгруппированы члены (XjXj), и члены (XjXj) в случайном сочетании при сложении компенсируют другдруга.

С учетом сказанного приходим к формуле расчета оценки дисперсии наблюдений:N1(^X)2 =(Xi – ^X )2(N – 1)i=1Учитывая далее формулу (1.8) получим окончательную формулу оценки дисперсииоценки наблюдений ^X, полученную Бесселем: t - tд +tдN1(1.10)(^^X)2 =(Xi – ^X )2N(N – 1)i=1При этом, пользуясь при вычислении доверительной вероятности Рд формулой (1.10) –другой все равно нет, – не следует забывать, что величина Рд, как и (^^X)2 является случайной и завышенной, особенно при N<20, то есть формулой (1.10) можно эффективно пользоваться только при N>20. Тем не менее, существует строгий метод определения Рд без замены(^X) на (^^X).

В его основе лежит использование распределения s(t) случайной величины tвида:t = ^X– XИСТ(1.11)(^^X)Это распределение находится по известным правилам с помощью двумерного законараспределения Р(^X,^^X) = Р(^X) )Р(^^X). Все необходимые расчеты были выполненыбухгалтером Госсетом, который публиковал свои работы под псевдонимом Student. В результате полученное им распределение получило название распределения Стьюдента. Данноераспределение табулировано и имеет приблизительный вид, показанный на рисунке 2.Выделим на оси t интервал  tд, величина которого равна:tд =Xд(^^X)(1.12)104Тогда: P{ – tд < t < tд } =  s(t)dt. С учетом (1.11) и (1.12) искомую доверительную вероятность можно переписать в виде:Рд = P{ – tд < t < tд } = Р{^X–^^X tд < XИСТ <^X+^^X tд }Таким образом, зная из опыта N и определив по формуле Бесселя (1.10) – ^^X, можно,задавшись доверительным интервалом Xд, вычислить коэффициент Стьюдента – tд.

Далее, по таблице распределения Стьюдента можно определить Рд для любого N>1. Например,при tд=1 и N=2 по таблице 2 находим: Рд=0.5. В то же время формула 1.9 для нормальногораспределения дает:Рд = 2Ф(1)–1 = 20,8413–1 = 0,6826 > 0,5.NРд0,5 0,8 0,92 1,000 3,078 6,3143 0,816 1,886 2,9204 0,760 1,638 2,350Вернемся к методу Монте-Карло.Рассмотрим вначале первую из них - M(Y), которую обозначим через X. Введем определение: однократное вычисление случайной величины x по массиву(1.10) будем называть наблюдением случайной величины и обозначать Xi. Только обработав результаты всехN наблюдений, мы получим окончательный результат, который назовем оценкой истинногозначения величины Х, которую обозначим Х^.Рис. Гистограмма нормального распределенияРис.

Гистограмма распределения СимпсонаТеоретическое значение суммарного сопротивления из пяти последовательно соединенных резисторов со средним номиналом 5,5 кОм равно 27,5 кОм. Примем разброс сопротивлений в цепочке равным 0,5 кОм и вычислим среднее значение – M(R) – и дисперсию D(R) суммарного значения сопротивления методом Монте Карло (папы Карло).Программа расчета M(R) приведена ниже:USES Crt;105ConstN=15; {Число интервалов} NN=1000; {Выборка}Rin:Real=5.0; Rax:Real=6.0;var Min,Max,a,s:LongInt; m,zMin,zMax:array[1..n]of LongInt;dispOC,xOC,Derta,Mir,Mar,sum,r1,r2,r3,r4,r5:Real;MMO,OutPar:array[1..NN] of real; Key,i,j,k,Y:LongInt; Sym:char;BEGIN RANDOMIZE; {1.

Запуск генератра СЧ}For k:=1 To NN Do {2.Формируем массив наблюдений за Мат.ожиданием MMO}BeginFor i:=1 to NN Do {Цикл вычисления NN значений OutPar - суммарного сопротивления}begin r1:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535); {0..65535 - интервал рэндомизации}r2:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);r3:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);r4:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);r5:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);OutPar[i]:=r1+r2+r3+r4+r5 end;{Строим массив m - частоты попадания значений OutPar в i-й интервал}Mir:=OutPar[1]; For i:=1 To NN Do If OutPar[i]<Mir Then Mir:=OutPar[i];Mar:=OutPar[1]; For i:=1 To NN Do If OutPar[i]>Mar Then Mar:=OutPar[i];Derta:=(Mar-Mir)/n; For i:=1 To n do m[i]:=0; {reset of the m}sum:=Mir;For i:=0 To n-1 Do begin Mir:= sum+i*Derta;Mar:= Mir+Derta;For j:=1 To NN doif (OutPar[j]>=Mir) and (OutPar[j]<Mar) ThenInc(m[i+1])end;{Получаем и записываем в ММО очередное (k-e) наблюдение мат.ожидания}sum:=0; For i:=1 To NN do sum:=sum+OutPar[i]; sum:=sum/NN;MMO[k]:=sum;End;{Вычисляем оценку истинного значения мат.ожиданием X^}xOC:=0; For i:=1 To NN do xOC:=xOC+MMO[i]; xOC:=xOC/NN;{Вычисляем оценку CKO оценки истинного значения мат.ожиданием X^}sum:=0; For i:=1 To NN Do sum:=sum+sqr(MMO[i]-xOC);dispOC:=sqrt(sum/(N*(NN-1)));END.В результате расчета имеем оценку: M(R) = 27, 50032 кОм; данное математическоеожидание имеет следующий разброс: ^(^M(R))=0,00528, представляющий собой оценкуСКО оценки истинного значения математического ожидания M(R) суммарного сопротивления данной цепочки резисторов.M = 27.4947...27.5053D = 0.4111...0.4199Основы теории принятия решенийПринять правильное решение — значит выбрать такую альтернативу из числа возможных, в которой, с учетом различных влияющих факторов, будет оптимизирована некотораяценность.

Если оптимальное решение найдено в заданное время и при заданных затратах, тотакое решение называют инженерным. В общем случае задача принятия решения (ЗПР) возникает в том и только в том случае, если существуют: цель, которую нужно достичь, учитывая влияющие факторы различные способы достижения цели.Влияющие факторы могут влиять на целевую функцию в различных направлениях.Пример:106Повысить надежность системы можно за счет увеличения числа резервных блоков, нопри этом растет общий вес, поэтому принимаемое решение обычно является компромиссным.До тех пор, пока стоимость компромисса меньше либо равна количеству имеющихсясредств, с ним соглашаются.

В противном случае на смену качественному приходит количественный анализ с применением научных методов теории оптимизации.Постановка задачи оптимизации при решении ЗПР.Необходимо определить значения параметров (x1, x2, …, xn) целевой функции V(x) =V(x1, x2, …, xn), при которых V(x) достигает экстремального значения и одновременно удовлетворяет следующему ряду ограничений:f1(x1, x2, …, xn) = 0, f1 < 1f2(x1, x2, …, xn) = 0, f2 > 2m)fm(x1, x2, …, xn) = 0, fm < mСреди методов решения задач оптимизации рассмотрим следующие методы: метод прямого дифференцирования, метод множителей Лагранжа симплекс – метод , метод градиентаМетод прямого дифференцирования. Применим в тех случаях, когда отсутствуютфункциональные ограничения и целевая функция дифференцируется.Пример:Известно, чтостоимость изделия в эксплуатации обратно пропорциональна его надежности, т.е.(Т1).Чем выше вероятность безотказной работы, тем выше стоимость изделия в производстве, (Т2).Суммарная стоимость зависит от P: (Т3).

И суммарная (Т4)Cï   P 2 C ( P)  C0     P 2 C   0  PCý  C0 3îïòèìàëüíîåPP2Метод ЛагранжаМетод применим, если на целевую функцию наложены ограничения в виде равенств.МетодЛагранжа:Составляется функция Лагранжа:( x)  V ( x)    j f j ( x1 ,..., xn )j 1,где j — неопределенные множители Лагранжа.Составляется система (n+m) уравнений вида: ( x)0x1 ( x)0xn f1 ( x1 , x2 ,..., xn )  0 f m ( x1 , x2 ,..., xn )  0Пример:Определить минимальные веса резерва при заданном уровне надежности.107Пусть ЭВМ состоит из двух блоков.

Если отказ одного из блоков ведет к отказу всейЭВМ, то вероятность безотказной работы ЭВМ будет равна P=P1P2, где P1, P2 — вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно. Если q1, q2 — вероятностиотказа первого или второго блока соответственно, то вероятность безотказной работы всейЭВМ: P=(1-q1)(1-q2)=1-(q1+q2)+q1q2=1-(q1+q2).Пусть рассматриваемая ЭВМ будет высоконадежной, то есть Pi>0,9.Если ЭВМ состоит из n блоков, то при высоком уровне надежности можно принятьP=1-qi.Пусть ri — кратность резервирования i-го блока, т.е. количество дополнительных блоков, включенных параллельно c i-м.r 1Тогда вероятность отказа всего резервированного блока равна: Qi  qi . Таким образом,iQ (r )   qiri 1i 1.G p (r )   Gi rii 1Вес резерва, где Gi — вес нерезервированного блока.Так как по условию задачи задан уровень надежности, то Q является ограничением, аGp — целевой функцией.nn(r )  G p (r )  Q(r )   Gi ri    qiri 1i 1i 1Составим функцию Лагранжа:.Составляем систему из n уравнений, дифференцируя функцию Лагранжа по каждой неGiG(r ) Gi    ln qi  qir 1  0, i  1...nqir 1   ii   i ln qi  , гдеln qi .известной ri: ri, откудаiir 1Неопределенный множитель Лагранжа вычислим, подставляя qi в функциональное огnn1 nQ0   i ,  Q0   iiQ0 i 1 .i 1 i 1  .

Характеристики

Список файлов лекций