Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Во втором слагаемом с учетом интерполяционной формулы величина dy/dx равна: [B(e)] {Y}, следовательно искомый интеграл равен:XjXj[B(e)] T[B(e)] {Y} dx =1-1 [-1 1] {Y} dx94L21XiXiТаким образом, первый интеграл в (17.7) взят.Второй интеграл в искомой системе (17.7) с учетом (17.8) равен:XjL6[N(e)] T N (e) [i j] T dx =211 [i j] T2XiОкончательная система уравнений для е-го элемента примет вид:-1L1-1-11{YiYj}-L62112{ij}=0Подставляя числовые значения, получим систему уравнений для 1-го элемента:-1301-1-11{1-1-11Y1Y2}-3062112{-0,000794-0,000635}= 0или:{Y1Y2}={0,333450,30960}}={0,261900,23805}}={0,190500,16710}}={0,119250,09540}}={0,047700,02385}Для 2-го – 5-го элементов:1-1-11{Y21-1-11{Y21-1-11{Y21-1-11{Y2Y3Y3Y3Y3Объединяя все системы по методу прямой жесткости, приходим к системе (13.48), которая была получена в разделе 13.6.II.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЭВА95ВВЕДЕНИЕЦелью настоящего раздела курса АП ЭВС является изучение математического аппарата системного анализа конструкций и технологических процессов (ТП) ЭВА, применяемыйпри решении задач анализа точности и стабильности параметров конструкций и ТП, а такжеопределения закономерности изменения свойств указанных параметров при длительномфункционировании;Общей базой решения указанных задач являются методы преобразования случайныхвеличин и процессов, применяемые с учетом связей между входными и выходными параметрами ТП или конструкций ЭВА включая внешние воздействия.Освоение данного математического аппарата позволит перейти к изучению следующихшироко применяемых на практике методов экспериментальных исследований при конструировании и разработке ТП ЭВА: методы обработки результатов наблюдений; методы формального принятия решений; методы прогнозирования состояния и качества ЭВА; методы планирования экспериментов.1.

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ И ТП ЭВА1.1. Основные определенияТочность ЭВА характеризует степень приближения истинного значения выходного параметра функционального узла ЭВА к его номинальному (расчетному) значению при отклоненияхвходных параметров в переделах производственных погрешностей. Например, выходным параметром цепочки из двух последовательно соединенных резисторов (R1 и R2) может выступать их суммарное сопротивление (R), равное R= =(R1+ R2). В результате производственных погрешностей (R1 и R2) изготовления резисторов R1 и R2, возникающих в результатенестабильности ТП и неоднородности исходных материалов, формула для R принимает вид:R +R = (R1+R1 + R2+R2),где: Ri - абсолютная производственная погрешность i-го резистора цепочки, под котороймы будем понимать разность между измеренным значением i-го резистора (входногопараметра) и его номинальным (расчетным) значением.С учетом данного определения, величины R1 и R2 представляют абсолютные производственные погрешности (ПП) входных параметров, а величина R представляет абсолютнуюпроизводственную погрешность выходного параметра этой цепочки.Поскольку реальное значение любого параметра становится известным только послеего измерения, то при измерениях необходимо добиваться, чтобы погрешность самого измерения не влияла на результат.

Это достигается выбором измерительных приборов, соответствующего класса. Далее будем полагать, что погрешность измерения не влияет на оценку величин погрешностей измеряемых параметров.Кроме абсолютной погрешности на практике часто пользуются понятием относительной ПП (i) i-го параметра ТП и ФУ. Относительной ПП называется отношение абсолютнойПП параметра к его номинальному значению. В соответствии с этим определением относительная производственная погрешностьi-го резистора рассмотренной выше цепочки составит:96Ri = Ri / Ri(1.1)Например, относительная ПП выходного параметра цепочки равна: R = R / R.В результате наличия ПП в партии из n1 резисторов, сходящих с конвейера, измереннаявеличина R1 для i-го резистора (Ri1) будет величиной случайной.

Аналогично, в партии из n2резисторов каждое i-е из n2 измеренных значений номинала R2 тоже будет величиной случайной (Ri2). На практике разброс значений Ri ограничивают интервалом, называемом производственным допуском.Основная задача, которая решается в процессе анализа точности конструкций и ТПЭВА сводится к определению допуска на выходной параметр изделия или ТП при заданныхдопусках на входные параметры (задача анализа). На практике часто решается и обратная задача: расчет допусков на входные параметры при известном допуске на выходной параметрэлемента или ТП (синтез допусков).Как правило, выходной параметр функционального узла ЭВА (например, коэффициентпередачи операционного усилителя, компаратора и др.) зависит от достаточно большого (более 10) числа входных параметров (номиналов питающих и опорных напряжений, резисторовобратной связи, делителей и др.).

Выходной параметр ТП изготовления элементов ЭВА также зависит от многочисленных входных параметров. Например, ТП формовки анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов является непрерывным вероятностным процессом, эффективность которого оценивается удельной емкостью заформованнойфольги (выходной параметр) при ограничении по току утечки. К входным величинам (параметрам) данного ТП относятся следующие девять: (1) напряжение формовки; (2) концентрация борной кислоты; (3-5) удельное электрическое сопротивление, температура и величинакислотности электролита; (6) наличие ионов хлора; (7) наличие гидроокиси; (8) коэффициенттравления фольги и (9) скорость протяжки фольги через агрегат.Из центральной предельной теоремы следует, что если некоторый параметр зависит от10 и более случайных величин, подчиненных любым законам распределения, то с точностью,достаточной для практических расчетов, он приближенно подчиняется нормальному законураспределения.Таким образом, если в пределах поля допуска величина входных параметров (резисторов Ri) подчинена нормальному закону распределения, то и закон распределения выходногопараметра (суммарного сопротивления R) будет нормальным.Известно, что для описания случайной величины (Y), подчиняющейся нормальномузакону распределения, достаточно определить математическое ожидание М(Y) и дисперсиюD(Y) этого распределения.

С этой целью разложим функцию R= =(R1+ R2). в ряд Тейлора вокрестности производственных допусков R=(R1, R2) номинальных значений входных параметров: R1 и R2:дRдRR +R= R1+ R2+R1+R2 +…дR1дR2откуда:дRдRR=R1+R2 +…дR1дR2Разделим обе части полученного выражения на R и умножим i-й член в правой егочасти на единичную дробь (Ri/Ri), получим:R2R1дRдR(1.2)R =R1+ +…дR2дR1R R2R97Выделенная часть этой формулы носит название относительного коэффициента влияния или просто коэффициентом влияния 1-го резистора (1-го входного параметра) на суммарную величину сопротивления (выходного параметр) и обозначается - B1. В общем случаекоэффициент влияния производственной погрешности i-го входного параметра (xi) на погрешность выходного параметра (y) записывается в следующем виде:дyx1Bi =(1.3)дxiyПоставим теперь задачу вычисления величины относительной ПП выходного параметра, если известны относительные ПП входных параметров ФУ или ТП.1.2.

Аналитические методы расчета ПП выходного параметра.Две следующие проблемы затрудняют вычисление R по формуле (1.3):- должна быть известна аналитическая зависимость выходного параметра (y) от входных параметров (x1, x2, …, xn), которая записывается в виде:y = f(x1 , x2, …xn)(1.4)величины Ri не известны точно, – в технических условиях задаются только минимальные и максимальные допустимые отклонения входного параметра от номинального значения.Все аналитические методы расчета ПП предполагают, что зависимость (1.4) известна.На практике широко используют следующие методы расчета R:- метод статистических испытаний (метод Монте-Карло);- вероятностный метод;- метод наихудшего случая.Последний метод часто используется на практике, поскольку позволяет определитьориентировочное значение R , причем такое, которое наверняка не превысит реальная величина ПП выходного параметра.Сущность метода заключается в непосредственном использовании выражения (1.2), влевую часть которого подставляются экстремальные значения производственных погрешностей входных параметров.

При этом вычисления проводят в два этапа: на первом – определяют максимальное (по модулю) отклонение ПП выходного параметра в сторону уменьшенияноминала, а на втором – то же отклонение, но в сторону увеличения номинала. Поясним сказанное на конкретном примере.Пример 1.1.По техническим условиям заданы следующие значения номиналов двух последовательно соединенных резисторов: R1=10Ком 20%; R2=1Ком5%.

Требуется определить относительную производственную погрешность суммарного сопротивления (R) этих резисторовметодом наихудшего случая.Решение.1. Вычисляем суммарное сопротивление: R= R1+ R2 =10+1 = 11 Ком.2. Вычисляем коэффициент влияния резисторjd на выходной параметр по формуле(1.8), в которой: y=R, xi=Ri.

Характеристики

Список файлов лекций