Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Интегрируя обе части по всему объемустержня, получим:=2dV(13.13)VСила P приложена к узлу U3, поэтому ее работа равна:W= PU3Таким образом, потенциальная энергия всего стержня составит:П =dV - PU32(13.14)(13.15)VМы получили исходный функционал, минимизация которого позволит нам решить не только текущую задачу, но и задачу с любыми геометрическими и физическими характеристиками стержня.Проведем предварительные преобразования функционала (13.15).

В левомстержне: (1)= 1, dV(1) =S1dx, во втором: (2)= 2 , dV(2) =S2dx, поэтому можно записатьвыражение (13.15), предварительно разбив его на два интеграла:L2L63П =Е12S1dх +20Е22S2dх - PU32(13.16)LЗдесь дополнительно проведена замена произведения ( )на эквивалентное выражение (Е2) в соответствии с законом Гука (13.1).

Подставляя выражение для  по (13.6) ивычисляя производные искомых перемещений по длине конечных элементов, имеем:du(1)U2du(2)U3 -U2(13.17)=;=dxLdxLПодставляя полученные выражения в (13.16), замечаем, что в заданных пределах интегрирования ни одно из подынтегральных выражений не зависит от переменной х,поэтому вычисление интегралов становится тривиальным.

В результате получаемследующее выражение потенциальной энергии через узловые значения перемещений:ЕS1 U22ЕS2 (U3 –U2)2П =+2L2L- PU3(13.17)Вычисляем производные полученного функционала по узловым значениям:dПdU2dПdU3==ЕS1 U2L+0+ЕS2 (U3 –U2)LЕS2 (U3 –U2)L(-1)(13.18)- PПодставим в полученные выражения значения S1 =S и S2 =2S, обозначим и вычислим выражение:=ЕSL=200109[н/м2] 210-4 [м2]1[м]= 40 [н][м]Приравнивая далее правые части обоих уравнений (13.18) нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений вида: U2 + 2 (U2 –U3) = 02 (U3 –U2) –P = 0Выражая из первого уравнения U2,: 3U2 - 2U3 = 0, то есть U2 = 2U3 /3, и подставляянайденное значение во второе уравнение, получим:U3 = 3P/2=350103[н]/240 [н/м] = 1,87 мм,что совпадает с полученным выше значением.Общий случайВеличина d в общем случае определяется выражением:1d ={}T {}2(13.19)64называется приращением плотности энергии деформации, относительно известнойначальной деформации ИТО.Вектор столбец {} в выражении (13.19) представляет собой полную деформацию, которая для двумерного случая плоской деформации имеет вид:{}T =[XXYYXY](13.20)где соотношения связи между деформациями и перемещениями du и dv соответственно в направлении осей OX и OY записываются как:XX = du/dx, YY= dv/dy; XY= du/dy + dv/dx(13.21)Вектор столбец {} в выражении (13.19) представляет собой вектор напряжений,который для двумерного случая плоской деформации имеет вид:{}T = [ XX  YY XY](13.22)Выражения (13.20) и (13.22) связывает закон Гука вида:{} = [D] {}(13.23)где матрица [D] содержит упругие константы материала.Компоненты перемещений, как было показано ранее, можно выразить через узловые значения следующим образом:{u} = [N] {U}(13.24)Применяя формулы (13.21) можно выразить вектор деформации {} через узловые значения перемещения { U } и матрицу [B] производных компонентов матрицы{U} по координатам соответствующих приращений:{} = [B] {U}(13.24)(е)Энергия деформации  отдельного (е-го) конечного элемента получается интегрированием выражения (13.19) по его объему:(е) =1{U}T[B(e)]T[D(e)] [B(e)]{U}dV2(13.25)V (e)Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три части: 1)работа (WС), совершаемая сосредоточенными силами, 2) работа (WS) поверхностныхсил, 3) работа (WM) массовых сил.Работу сосредоточенных сил (вектор {P}) наиболее просто определить, если вкаждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел.

Эту работу определим, умножая величину этой силы на длину пути (вектор {U}) ее действия, то есть:(WС),= {U}T{P}Рассмотрим случай, когда WС >> WS+ WM. Запишем выражение для полной потенциальной энергии:1TП={U}T[B(e)]T[D(e)] [B(e)]{U}dV - {U} {P}2(e)VЕДифференцируя это выражение по {U} и приравнивая результат к нулю, имеем:П(е)= [B(e)]T[D(e)] [B(e)] dV {U} - {P} = 0(13.26)65{U}(e)E VРассмотрим применение полученных формул на конкретных примерах.13.3 Кручение стержня некругового сечения .Поле напряжений, возникающих внутри стержня некругового сечения, не удается рассчитать традиционными методами сопромата. Причина заключается в том, что для некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, оказывается неприемлемой.

Рассмотрим аспекты общей теории кручения стержня. Изложение будем сопровождатьконкретным примером расчета сдвиговых напряжений (ZX, ZY), возникающих при кручениисплошного стержня квадратного сечения со стороной а=1 [см], показанного на рисунке 13.6а, под действием крутящего момента М по оси OZ. Пусть приложенный момент закручиваетстержень на величину =1 [градус/м]. Модуль сдвига материала стержня: G=8 МПа =8106[н/м2].Известно, что сдвиговые напряжения связаны с неизвестной пока функцией напряжений (x,y) в каждой точке стержня, соотношениями:yZX =ZY = -x(13.27)Рассмотрим физический смысл сдвиговых напряжений, для чего определим напряжения, возникающие в элементарных кубиках с центрами в точках А и В стержня на рисунке13.6-а, примыкающих к поверхности боковой грани стержня.

Вынесем оба элементарных кубика за пределы стержня и в увеличенном масштабе покажем возникающие на его гранях напряжения. Из рисунка видно, что в результате действия момента М в поперечных и продольных сечениях возникают касательные (сдвиговые) напряжения: ZX =XZ =M/(a3). На противоположных гранях возникают аналогичные компенсирующие напряжения: -ZX =-XZ =M/(a3).

В результате действия указанных пар сдвиговых напряжений кубик начнет деформироваться: удлиняться в направлении оси z и, следовательно, сжиматься по оси OX иOY. В результате уже в соседнем (ближе к центру стержня) элементарном кубике возникнетсдвиговое напряжение: - ZY, направленное к центру стержня. При этом чем больше становится градиент функции напряжений по оси ОХ, тем большее приращение получает сдвиговое напряжение по оси OY (выражения 13.27). Существенно отметить, что в точке В крутящий момент М вообще не создает никаких сдвиговых напряжений.а)б)Рис. 13.666Функция напряжений (x,y) описывается дифференциальным уравнением:2x22++ 2G = 0y2(13.28)Граничное условие записывается как:  = 0.

Вариационная формулировка задачи окручении стержня связана с рассмотрением функционала:11 2 2=  [()+() -2G]dV22xyVВведем матрицу-столбец сдвиговых напряжений:{}T = []xyи запишем функционал (13.28) в матричном виде:1 =  [ {}T{} - (2G)  ]dV2VРазобьем область определения этого функционала на Е конечных элементов и введемфункции (е), определенные на отдельных элементах:(е) = [N(е)] {Ф}(13.29)Представим далее (13.28) в виде суммы интегралов по отдельным конечным элементам и, учитывая, что:{(е) }T = [(N(е)/x) (N(е)/y)]{Ф}= [B(е)]{Ф}(13.30)по аналогии с выражениями (12.8-12.12) запишем систему уравнений для минимизациифункционала (13.28) в виде:{Ф}= ( [K(е)] ) {Ф} + {F(е)} = 0(13.31)где:[K(е)] ={В(e)}T{В(e)}dV(13.32)(2G) [N(е)]T dV(13.33)V(e)[F(е)] =V(e)Сформируем систему (13.30) для текущего примера.

Поперечное сечение стержня имеет 4 оси симметрии, поэтому целесообразно рассмотреть только 1/8 часть квадрата. Разобьем ее на 4 конечных треугольных симплекс – элемента и запишем для нихинтерполяционные полиномы (13.29), выразив их через глобальные узловые значения:(1) = N1(1) Ф1 + N2(1)Ф2 + 0Ф3 + N4(1)Ф4 + 0Ф5 + 0Ф6(2) = 0Ф1 + N2(2)Ф2 + N3(2)Ф3 + 0Ф4 + N5(2)Ф5 + 0Ф667(3) = 0Ф1 + N2(3)Ф2 + 0Ф3 + N4(3)Ф4 + N5(3)Ф5 + 0Ф6(4) = 0Ф1 + 0Ф2 + 0Ф1 + N4(4)Ф4 + N5(4)Ф5 + N6(4)Ф6Рис. 13.7Вычисляем матрицу жесткости для каждого конечного элемента, используя выражение (13.32).Для первого элемента матрица градиентов примет вид:{В } =(1){N1(1)xN1(1)yN2(1)xN2(1)y00N4(1)xN4(1)y000}0(13.34)Для треугольного симплекс - элемента, имеющего упорядоченную нумерацию узлов(i, j, k), ранее получено выражение (9.11) для коэффициента формы.

В частности дляточки k имеем:Nk = 0,5 А –1 [ak + bk x + ck y],(13.35)где коэффициенты ak , bk и ck рассчитываются с учетом обхода узлов внутри симплекс – элемента строго против часов, начиная с точки k по формулам:ak = Xi Yj – Xj Yi;bk = Yi – Yj;ck = (Xj – Xi)Учитывая, что площадь любого конечного элемента равна:А = (¼ ) ( ¼ ) ( ½) = 32 –1(13.36)и при дифференцировании по х выражения (13.35) в результате останется лишь коэффициент bk, получим верхнюю строку матрицы градиентов (13.34) в виде:[N(1)]x= 16 [b1 b2 0 b4 0 0]= [- 44 0 0 0 0]Рис.

13.8Значения для коэффициентов b получим по формулам:b1 = Y2 – Y4 = - ¼; b2 = Y4 – Y1= + ¼ и b4 = Y1 – Y2= 0.Нумерация индексов здесь принята в строгом соответствии с порядком обхода узлов,показанная на рисунке 13.8. Например, при вычислении коэффициента b2 в качестве k68– го узла в формуле bk = Yi – Yj; принят узел 2, за которым на рисунке 13.8-в следуетузел i=4 и j=1.Аналогично вычисляем нижнюю строку матрицы (13.34), в которой при дифференцировании по y выражения (13.35) останется только коэффициент ck:[N(1)]y= 16 [c1 c2 0 c4 0 0]= [0- 4 0 4 0 0]Как и в предыдущем случае, значения для коэффициентов с получим по формулам: с1= X4 – X2 = 0; с2 = X1 – X4= - ¼; и с4 = X2 – X1= - ¼ с соблюдением того же порядка обхода узлов.Таким образом, матрица градиентов для первого элемента примет вид:= -40 -44 00 40 00 00{В(1)}(13.37)В выражение (13.32) для матрицы жесткости элемента (МЖЭ) входит произведение: {В(1)}Т{В(1)}.

Характеристики

Список файлов лекций