Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Действительно, поскольку она не содержит сведений о действительной нагрузке стержня, мы должны получить:T1= T2 =T3 =T4=40оСПо условию температура T1= 150оС, следовательно, первое и второе уравнение системыдолжны быть преобразованы. В частности, первое уравнение: (77,8150 – 42,8 T2 =1376) не должно зависеть от величины температуры T2 , что возможно в единственномслучае, когда: (– 42,8T2 = 0). Эта цель достигается принудительным присвоениемпервому коэффициенту вектора сил системы уравнений, полученной в пункте 12, величины F1=(77,8150 =11670). Второе уравнение также нуждается в преобразовании:после подстановки в него значения T1=150 оно принимает вид:(– 42,8150 + 123,2T2– 21,6T3 = 2323)откуда: F2=(2323+42,8150)=8743.14.

Приходим к окончательной системе уравнений:77,8 -42,80015011670-42,8 123,2 -21,60T28743=0-21,6 72,4-8,8T3166000-8,826,7T471015. Решением системы с точностью до десятых долей градуса является вектор:[T] T = [150 80,1 52,3 43,9] (oC)Результаты расчета приведены на рисунке 12.3 пунктирной линией.КОНСПЕКТ “ Автоматизация проектирования ЭВС ”. Часть 2.13. Уравнения метода конечных элементов: Теория упругости.13.1 Терминология и определенияОсновная задача теории упругости состоит в том, чтобы по заданным действующим натвердое тело внешним силам определить:- изменение формы, претерпеваемое телом;- внутренние силы упругости между частями тела.Под твердым телом будем понимать такое однородное тело, в котором свойства вещества непрерывно распределены по всей его структуре.

В отсутствии нагрузки на тело егоформа и объем остаются неизменными. Такое состояние тела называется естественным. Далее будем рассматривать только такие нагрузки на твердое тело, которые вызывают обратимые изменения его объема и формы, причем явление гистерезиса учитываться не будут. Самиизменения структуры тела под действие приложенных сил отнесем к малым величинам. Реально этим условиям отвечают, например, железо и сталь (не чугун).57Состояние, в котором находится тело под действием приложенных к нему сил, будемназывать напряженным состоянием (по аналогии с термином установившегося тепловогорежима, который мы использовали при решении задач переноса тепла).Будем различать два рода сил:- силы, действующие по поверхности, которые возникают в результате давления натело других тел (поверхностные силы, – например, ветер);- силы, распределенные по объему (объемные, или массовые силы – сила тяжести идр.)Под термином сосредоточенная сила будем понимать такую силу, которая действуетна площади значительно меньшей площади самого тела.Рассмотрим рисунок 13.1, на котором изображено тело, находящееся в напряженномсостоянии под действием приложенной к нему внешней осевой нагрузки – силы Р.

Мысленноразрежем тело по плоскости А -А, правая часть тела будет оставаться в равновесии. Силы,которые его удерживают в этом состоянии, будем называть внутренними силами.Введем ряд определений.Напряжение. Рассмотрим элементарную площадку S (мм2) в сечении А стержня нарисунке 13.1, к которой в точке k приложена внутренняя сила F (кГ). Предел отношенияF/S при F 0 называется напряжением ( [кГ/мм2]) в точке k в сечении А. Учитывая,что 1 кГ/мм2 = 9,81 Мпа, будем измерять его в мегапаскалях..Рис.

13.1Рис. 13.2Перемещения. Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец – в соответствующей точке деформированного тела - называется вектором полного перемещенияточки. Его проекции на оси координат носят название перемещений по осям. Далее ониобозначаются u, v и w соответственно по осям x, y, и z.Среднее удлинение. Линейная деформация. Для того, чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела применяется термин «деформация». Пусть отрезокL, берущий начало произвольной точке М объема стержня, в результате деформации стержняоказался равным L+L. Отношение СР=L/L называется средним удлинением стержня наотрезке L.

Предел этого отношения при L0 называется линейной деформацией L в точке Апо направлению L. Если рассматривать деформации в направлении координатных осей x, y иz, в обозначение  вводится соответствующие индексы: X, Y, Z.Угловая деформация, или угол сдвига – это предел разности углов между отрезками L1и L2 в недеформированном стержне и теми же отрезками в деформированном стержне при L1 0 и L2  0.

В координатных плоскостях углы сдвига обозначаются YZ, XZ, XY.Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние вэтой точке.58Рисунок 13.2 показывает, что деформация и перемещение не являются одинаковымипонятиями. Участок стержня ВС получает перемещения под действием силы Р вследствиедеформации участка АВ, но сам не деформируется. Деформация совпадает с относительнымудлинением в однородном стержне.Закон Гука: в пределах малых удлинений для подавляющего большинства материаловнапряжение прямо пропорционально деформации:=(13.1)где Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Величина Е определяется экспериментально.

В табл.13.1 приведены сведения о моделях упругости некоторых материалов.Таблица 13.1МатериалЕ, ГПаМатериалЕ, ГПаМатериалЕ, ГПаСталь200Медь120Латунь100Алюминий75Титан100Алмаз1050Дерево10Стекловолокно80Вольфрам410Все участки растянутого однородного стержня находятся в одинаковых условиях, поэтому напряженное состояние в таком стержне является однородным.

Деформация стержня остается одинаковой и равной среднему удлинению: = LL(13.2)Кроме того, напряжение в таком стержне по определению равно:=FS(13.3)Подставляя выражение (13.2) и (13.3) в (13.1), получим равенство:L =FLES(13.4)Рассмотрим числовые примеры определения напряжений и перемещений в некоторыхпростейших случаях растяжения и сжатия.Пример 13.1. Ступенчатый стальной стержень, показанный на рисунке 13.3-а, имеетдлину 2L=2м и площадь поперечного сечения: в узкой части – S=2см2, в широкой– 4 см2.Стержень нагружен силой F=50 кН. Определить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине стержня, а также максимальное его удлинение под действиемприложенной силы F.Решение.1.

По табл. 13.1 определяем модуль упругости стержня: для стали Е=200 ГПа.2. Поскольку сила F по сравнению с собственным весом стержня велика, то вес стержняможно не учитывать.3. Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная силаFN в каждом сечении стержня равна внешней силе F. Построим график изменения силыFN вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются эпюрами. Эпюра нормальной59силы дана на рисунке (13.3-б) прямоугольником, поскольку FN = F = const.

Штриховка наэпюре проведена параллельно откладываемым на графике значениям FN.4. Формула (13.3) показывает, что для построения эпюры напряжений достаточно ординатыэпюры FN изменить обратно пропорционально S. При этом большее значение  равноMAX = FN / SMIN = 50 кН / см2 = 250 Мпа.5. Перемещение x–го сечения равно удлинению отрезка длиной x. Определим перемещениеu(x) x-го сечения стержня по направлению силы F. Для этого запишем формулу (13.4)для участка 1 и вычислим значение u(x=L):FхES50103[н]1[м](13.5)u1(х) == 1,25 мм=92-4220010 [н/м ] 210 [м ]Из (13.5) видно, что перемещение u(х) пропорционально x, поэтому эпюра является прямой линией с коэффициентом наклона =F/ES. Запишем формулу (13.4) дляучастка 2 и вычислим значение u(x1=L):FLu2(х1) =ES+50103[н]1[м]Fх1=1,875 мм; u2 (L)=1,25 +2ES2200109[н/м2] 210-4[м2]Рис.

13.3Пример 13.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободноподвешенного алюминиевого стержня длиной L=12м, показанного на рисунке (13.4) и нагруженного силами собственного веса.Решение.1. Расположим ось абсцисс вертикально и отметим по длине стержня отрезки х0 и L. Выделим элементарный диск объемом (dV=Sdx) на расстоянии х от начала координат. Напряжение в этой площадке создает нижняя часть стержня, поэтому, согласно (13.3) имеем:F[н]PgF[кГм]Vg(x) ===== gx =х222S[м ]S[м сек ]SSЗдесь: g – ускорение свободного падения [9,8 м/сек2];60 – плотность алюминия (2,7103 кГ/ м3); – удельный вес алюминия: 2,7103 [кГ/ м3]9,8[ м/сек2 ]= 26460 [н/м3]2.

Удлинение в сечении х обозначим через u(х) и, поскольку деформация равна:  =du(x)/dx ,(13.6)а напряжение по закону Гука (13.1) равно: (х)= Е, то имеем:du(x)х = Еdxотсюда, удлинение выделенной элементарной части стержня равно:dxdu(x)=  хEв выбранном произвольном сечении к общему удлинению стержня L добавку создает именноудлинение du(x) верхней части под действием веса нижней его части длиной x. Итак, общее удлинение стержня L(x0) на участке от х0 до L составит:LL(x0) = х dx =Е х22ЕLx0=(L2 – x02)2Еx03. Подставляя численные данные и принимая x0=0 (для самого нижнего сечениястержня), получим значение максимального удлинения:LMAX =26460 [н/м3]  1[м]=275[ГПа]Рис.

13.426460 [н/м3]  122 [м2]150109[н/м2]= 0,0254 ммРис. 13.5Потенциальная энергия деформации (). Рассмотрим вначале статический процесснагружения стержня, при котором сила F увеличивается медленно и прямо пропорционально удлинению d(L) в соответствии с графиком на рисунке 13.5. В этом случаеработа внешних сил (W) целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации, то есть = W.

Из рисунка 13.5 непосредственно следует, что:61F L2=С учетом выражения (13.4) можно записать:F2 L2ES=(13.7)Пусть теперь закон наращивания нагрузки неизвестен. Получим выражение длядифференциала (d) потенциальной энергии, то есть той ее части, которая наращивается внутри элементарного объема (dV) тела при его удлинении на величину d(L).

Сучетом выражения (13.4) можно записать:d=F2 dL2ES=F F L dLF L dL=2ESL2L=F  dL=2F  dV2S= dV2Таким образом, показано, что:d =   dV(13.8)213.2 Решение задач теории упругости методом конечных элементов .Общепринятая формулировка метода конечных элементов применительно к решению задач упругости предполагает отыскание поля перемещений. При этом приотыскании узловых значений вектора перемещений стремятся обеспечить минимумпотенциальной энергии системы.

После определения перемещений вычисляют компоненты тензоров деформаций и напряжений.Справедлива следующая теорема:Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной энергии сообщают (чему?) ИТОте перемещения, которые удовлетворяют уравнениям равновесия.Полная потенциальная энергия упругой системы (П) может быть разделена надве части, одна из которых соответствует энергии деформаций () в теле, а другая определяется потенциальной энергией (WP) массовых сил и приложенных поверхностных сил:П=+ WP(13.9)Работа внешних сил (W) противоположна по знаку их потенциальной энергии:W= – WP(13.10)Следовательно:П=– W(13.11)После разбиения области на элементы равенство (13.11) примет вид:ЕП=е=1Е((е)(e)-W)=е=1(е)(13.12)62Одномерный случайПрименение теоремы о минимуме потенциальной энергии проиллюстрируем напримере осевого нагружения стержня из задачи 13.1.Пример 13.1.

Определить перемещение на нагруженном конце стержня из задачи13.1 с помощью метода конечных элементов.Решение.Целесообразно разбить стержень на два одномерных конечных симплекс – элемента,представленных на рисунке 13.3-д. Запишем интерполяционные полиномы для обоихконечных элементов:u (1) = N1(1) U1+ N2(1) U2 = N2(1) U2u (2) =N2(2) U2+ N3(2) U3Первое уравнение сразу преобразовано, так как левый конец стержня жестко закреплен, поэтому U1=0.Вычисляя выражения для функций формы, приходим к системе:u (1) = (x/L) U2u (2) =(2 –x/L) U2 – (x/L–1) U3Получим выражение для потенциальной энергии стержня, для чего воспользуемся уравнением (13.11). Поскольку распределение нагрузки внутри стержня не известно, для вычисления составляющей потенциальной энергии деформаций () воспользуемся полученным выше выражением (13.8).

Характеристики

Список файлов лекций