Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов (1071029), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При малых деформациях П есть однородная квадратичная форма от х. Уравнения Лагранжа в переменных 9 и а имеют вид [22) с(, д с)с — [А(9) Я вЂ” 0,5 — [А (9)4, сн = Д(9, 9, с) — С(а)х; (7.46) ' а9 М = — Р' (а) С (а) х (х = 9 — / (а)), (7.47) (7.50) определители которых равны О. Выражения (7.52) и (7.50) показьсвшот, что собственные частоты (сос) и амплитудные векторы (срд зависят от конфи~урации манипулятора (ао) и от положения груза (9~), а так как величины ао и 9о зависвт от вРемени С, то и вс н Чс, зависят от с.
рассмотрим пример динамического анализа двухзвенного Упругого плоского манипулятора с точечным грузом (Рнс. 7.6) аснмптотическим методом; л = )с/ = 2. Углы относительного повоРота жестких звеньев обозначим а, и аз. 333 где К и Х вЂ” матрица и вектор с элементами порядка единиш с. При сделанных предполо;кениях динамика упругого манипулятора описывается уравнениями (7.46) — (7 48), Системы подобного типа исследовались с помощью асимптотического метода усреднения. В работе [22) получены уравнения колебаний упругого манипулятора с медленно изменяющимися параметрами в виде А (9о) + К (,хо) с = еК (с) Дс ~ Д.1 дс где а' = сс'(с); 9' =/'(а'(с)); с = ет; ссо(с) — закон изменения углов в шарнирах при кинематическом управлении; т = с/я— «быстрое» время; с(с) — быстро изменяющееся слагаемое, описывает упругие колебания, период которых порядка е Собственные частоты со, и амплитудные векторы ич опРеделяются из задачи о собственных значениях.
Для этого следует рассмотреть колебания «замороженной» системы при е = 0 и фиксированном с и решить характеристическое уравнение вида йеС [К (ао) сосА (9о)1 0 Это уравнение имеет л положительных корней и ич частот собственных колебаний (! = 1, ..., л). Амплитудные векторы срь соответствующие частотам аь есть ненулевые решения однородных систем алгебраических уравнений [К ( „о) сА ( о) ) (7.52) Переходя к координатам Р)с и Р)„получим матрицы входящие в выражение кинетической энергии: А лг(о. С(а) = )Р'(йс) Со(аг) Г(йс); соя ас зсп йс~ Г(ас) = | |; ь = )РР); )')" = 1, -яп а, соя ас~ где )' — матрица поворота системы координат на угол «Р' гв — единичная матрица размером 2 х 2.
Из соотношений (7.51) и (7.52) получим, используя мвт рицы А, С и )Р, с)е! [Св (аг) — ашг)] = О; фР = З" (ас) Ч;(аг); Со (аг) Ч~ = око~'ЧР (! = 1, 2). (753) З венья считаем прямолинейными стержнями постоянного се. чения одинаковой длиньс. Имеем: Р), =/, (сс) = !сова, + !соя(а, + йг); яг =/г (й) = ! аспас + ! згсг (йс + йг); — я!пас — я!п (а, + и,) — з!и (ас + аг) Г(й) = ! воза, +соя(а, + аз) соя(ас + аз) Углы а, и й, при заданных координатах груза с) н 4, выражаются так: й, = лс (Р!) = 2 асс!8 [В, (2Л, к Вг)]; ., =Лг(4) = — )гг(Ч)+2а !8[Вс(2Лг ~ Вг)]; Вс =(2Лс+Лс+ Лг) ' Вг [(Лс +Лг)(4 — Лс — Лг)] ~ ' Лс = яс! ' Лг = с)г! Потенциальная энергия двухзвенника с упругими звеньями подсчитывается при условиях, когда один конец его жестко закреплен, а на другом находится груз.
Эту энер. гию удобно вычислить в системе координат гсгг, повернутой относительно системы х, у на угол и. В этом случае потенциальная энергия ие будет зависеть от угла и,. В результате подсчета получим П = О 5 (Со (аг) Г !); ! = Ц» Ц) где 6Е! 2+ бсов аз + 8сов' а, в!иаг(З+8сояйг) СО(аг) = г . г 7! з)п аг Я!п аг (3+ 8соз аг) 8з!и аг г решая биквадратное характеристическое уравнение (7.53), найдем частоты нормальных колебаний: свг г(аг) =(6/7)Е!! 'си 'ясп аз[5+Зсозаг+ х (18+ ЗОсоя аг + 16соя' а,)н" ]. Из (7.53) найдем векторы т), и Чг: ', (йг) = Ч с (йг) = з!и аг (3+8сов йг); (7.5»! = 3 — Зсоя йг — 8соягаз+ (18+ЗОсоза + 16сояга )"г. В равенствах (7.54) и (7.55) для индекса 1 следует брать знак « †», для индекса 2 — «+»; первая частота— низшая.
Амплитудные векторы (ф,) определяются соотношенивяии (7.53). Рассмотрим применение* асимптотического метода к определению динамических характеристик манипулятора с двумя степенями свободы, выполненного по схеме пантографа; длины звеньев пантографа равны ВС = ОВ = ОК = =НЕ= а; ОВ = ОС = ОН = КЕ= АВ Ь. При этом контуры ОВСО и КОНЕ всегда являются параллелограммами, а стержни выходного звена ЕМ, КМ всегда горизонтальны, что обеспечивает плоскопараллельное перемещение груза Усилия со стороны силового привода приложены к точке А. Конфигурация пантографа в произвольный момент времени однозначно определяется заданием двух независимых Углов сР, и фг (Рис.
7.7, а). СвЯжем с неподвижным шарниром О систему координат Оху и поставим в соответствие координатам центра масс груза хс = х„, хг = у„углы поворота звеньев ф„фг. Заметим, что через хс, х, могут быть определены декартовы координаты шарнира Е: х = х, — Р(; ус— - хг — Н/с, (7.56) где Р! и Н вЂ” постоянные величины: ЕМ =Р), МЖ = Н. Проасции пепи ООК на оси х и у: хс= асов ср, + асояср,; уск аз!пфг — аз!пф„ где ср = ф + р; фс = (с — О; (Р = 2вгс18 ([а — О 5 (хг + уг)ссг]/[а + 05 (хг + уг)]) ссг. В = вгс!8(Ус/х ), Р Р " Р *» Р РРРВ 'Р, ~,Р ~„О.Р.Р Движение манипулягзр с Упр)'гимн звеньями может быть представлено в виде суммы основного (медленного) движения и малых упру. гих колебаний.
При этом перемещение центра масс груза представим в виде а) б) йг« 2О хг(г) = х,(2) «- иг(2), 22 336 з где иг — колебательная со. ставляющая, причем иг «х. Ф Ввиду того что скоростй основного движения на осот цз оз оз ро я новных участках траектории значительно меньше характерных скоростей колебаний Рис. 7.7 (хг « йг), можно использовать квазистатический под. ход и считать, что в каждый момент времени силы тяжести гад и инерции — шйг уравно. вешены усилиями привода, приложенными к точке А.
В данном положении манипулятора„характеризуемом «заморо. женными» углами ф„фг, точку А можно считать шарнирно закрепленной. Тогда возникающие в ней реакции соответ. ствуют усилиям привода. Квазистатические составлшощие упругих колебаний от силы тяжести б = »2д отнесем к компонентам основного движения. Полагая, что масса рычагов значительно меньше массы груза (безынерционные звенья), рассмотрим колебания массы вй считая ее упруго закрепленной в данном положении (хг). получающаяся одномассная плоская система обла дает тремя дополнительными упругими степенями свободы и характеризуется обобщенными координатами дг = 52' чг = иг' Чг = О. Коэффициенты упругой податливости подвески апреле лим как перемещения точки М от приложения к ней единичных обобщенных сил попеременно в направлении каждой из обобщенных координат. Заметим, что в механизме пантографа (рис.
77,а) нз изгиб работают только два стержня: АС и С(„При опРВ' делении упругих перемещений будем учитывать только изгибные деформации стержней, пренебрегая деформацяе" от растяжения — сжатия остальных стержней; вклад послед 2)22 (»В) = — а зги фг 1" 2 (чз) = а сиз ф2,' М,(го) = аз!и фг; Мг(ГВ) = а соя ф„' М, (~,) = О; А (ЬВ) = О. При приложении единичной силы Хг в направлении угловой координаты дз = 0 во всех стержнях, как показывают расчеты, возникают только продольные усилия ф„= = До = 122= 0), вследствие чего изгибающий момент М, отсутствует (Мг = 0). Используя интеграл Мора (Ь = 1, 2 — номер стержня) г ' Й)22Мго2 2=2 О получаем выражения для коэффициентов податливости: аг(а+Ь) /5)пгф2 5)пгф 3 1 Е1, Е12 аг (а + Ь) / созг фг созг фг 3 \ Е1, Е12 а'(а+Ь) /згпгфг згп2фггг Е1 Е12 ( (7.57) 322=3„=О (1= 1, 2, 3), где Е1, и Е1, — нзгибные жесткости соответвтвяино стерж- ней С1 и АС.
337 в полные перемещения, как известно, значительно еньше. Перемещения бд, равные коэффициентам податливости, пределим энергетическим методом с помощью интеграла ора Для этого предварительно построим эпюры изгиающих моментов Мг (1.= 1, 2, 3) в стержнях АС и С1. от диничных обобщенных сил, приложенных в точке М. Для остроения Мг требуется определить поперечные силы в лах 1., С, А. Эти силы находим путем последовательного ассмотрения равновесия узлов, начиная с выходного звена. нюры М, (Ч) и Мг (~) имеют вид треугольников с максиальными ординатами в точках АЗ и В.
Согласно расчетам, характерные значения М,(~) и М,(г) составляют: Равенство нулю коэффициентов угловой подат атливосд„ о учете означает, что в рамках принятого допущения об лишь изгибных составляющих деформации стержн жнеи груд не будет совершать вращательных колебаний (О = 0); — ); в случа же учета растяжения — сжатия получим мал»де з начеикя податливостей бдг и, как следствие, высокую частот оту вра. щательной формы колебаний. Это обстоятельство позволяе, рассмагривать систему, описываемую лишь двумя уравнениями колебаний (относительно и, и ид), и получить доста. точно простое аналитическое решение задачи. При действии на центр масс груза (при «заморожеиныи> углах ~р„<рд) сил Р„Р, его упругие перемещения и„ни очевидно, равны ид = бдгРд + ЬдгРг.
(7.58) Подставляя в выражение (7.58) в качестве Р, силы инерции Р; = — мал получим уравнения собственных колебаний груза в обратной форме: Бдгдвйд + бддидйг + ид = 0 (! = 1, 2). (7.59) Разрешая уравнения (7.59) относительно ускорений и приходим к стандартной форме уравнений колебаний длйд+с,,их+с;диг = 0 (/= 1, 2), (7.60) где через сд обозначены коэффициенты жесткости, выражающиеся через коэффициенты податливости 8: дг с„= 8„/А; с„=бы/Л; с„= 1„= -8„/А; А = 6„8„-бди (7.6!) Подстановка в уравнения (7.60) решения и;(г) в форме ид(д) = (/,з!п(«гг+ уи) приводит к линейным однородным алгебраическим авнеур ниям относительно амплитуд (/;: вкед (с„ - ) (/, + с„ (/, = О; с„ (/, + (с„ - ы') и, = О. (7.62) Из условия нетривиальности решения системы (7.62) — ра венства нулю ее определи~ела — получается авнение частот УР г д дв(сгд + сдг)ег + (сдгсдд сдг) 0 г г из которого определяются квадраты собственных часто~ системы: 338 ! 2ш г [с + сдд+ ( — 1)г (сгг — сгг) + 4сгг1 (к = 1' 2)' .
(7.63) Входящие в выражение (7.63) коэффициенты жесткости с, согласно (7.57), (7.61), зависят от углов <рд, др„однозначно г» определяемых положением центра масс груза. Таким образом, каждой точке из рабочей зоны манипулятор~ характеризуемой парой значений х„х,, соответствует пара значений собственных частот ег„агг. Результаты расчета на ЭВМ собственных частот тд = = егд/(2я) колебаний груза при положениях его в различйых точках зоны представлены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
