Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов (1071029), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Координату г можно считать погрешносзью механической системы продольного привода. Первая вторая производные погрешности движения портала по времени равны г, = у, — з; 'г, = 'у, — 'з„. Подстановка вы. ражений г,, г, и 'г, в уравнение (7.75) дает дифферен циальиое уравнение погрешностей движения портала где у, и 'уз — первая и вторая производные по времени продольной координаты положения центра масс суппорта; я — коэффициент затухания; с,„— жесткость связей суппорта с порталом. Погрешность продольного положения центра масс каретки суппорта относительно воспроизводимой траектории равна г, = у, — з„; как и раньше, погрешность положения портала г, = у, — з„. Из этих выражений можно получить соотношения Уг = гг+ ззг1 Уг — Уг = гг гг' Уг — Уг = гг — гг (7.80) Подставив (7.80) в (7.79) и преобразовав, получим дифференциальное уравнение движения центра масс суппорта: 'гг + 2"ггг + "ггг = 'зз+ 2лггг + 1:ггг (7.81) где йг = )/сз/пгг — частота свободных колебаний суппорта, как консервативной системы.
Правая часть уравнения (7.81) явно зависит от погрешности г, и ее первой производной. Определению погрешностей движения суппорта должно предшествовать определение погрешностей движения портала Решение уравнения (7.81) аналогично решению уравнения (7.77). Уравнение погрешностей поперечного движения суппорта 'хг + 2лзхг + )гзхг = — 'з, + йз Ьз„+ Р,„/тг, (7.82) где хг — погрешность поперечных перемещений суппорта; з„ вЂ” координата идеального положения суппорта; Йз = = *1 с,„/ягг — частота свободных колебаний; с,„ = (1/с . + + 1/с,) ' — приведенная жесткость привода суппорта в поперечном направлении; Бз„ вЂ” кинематическая погрешность привода; л„ вЂ” коэффициент затухания; Р,„ — кинематические силы сопротивления. Решение уравнения (7.82) аналогично реггению (7.78), Роботы с разными компоновками приводов можно сравнивать по частотам собственных колебаний.
Чем выше собственная часгота колебаний каретки с резаком, тем выше динамическая точность робота. Динамическая расчетная модель и уравнения движения вертала с односторонним приводом. Некоторые зарубежные и отечественные роботы для термической резки имеют олносторонний реечный привод перемещения портала. ИнтеРесно сравнить динамические свойства роботов с двусторонним и односторонним приводами. Портальный робот для кислородной резки «Искра» имеет односторонний реечный 355 привод. От сползания с рельсов его удерживают две пары направляющих роликов.
Они установлены на той же каретк портала, что и приводной редуктор. Вторая каретка порта ла имеет только опорные катки. Расчетная схема робот этого типа может быть представлена в виде системы абсолютно жестких тел с распределенными массами, соеди пенными упругими связями. Перемещения суппорта вдох портала и погрешности этих перемещений принципиальи не отличаются от соответствующих характеристик портвль ных роботов с двусторонним приводом. Расчетная схема робота с односторонним приводом принципиально отличается от расчетной схемы робота с дву сторонним приводом (рис. 7.11). На схеме: с,...с, — приве денные жесткости связей портала с направляющими рель сами; с„— жесткость привода от двигателя до рейки.
Определим частоты и формы собственных колебани робота с односторонним приводом без учета диссипацв энергии колебаний. Движение портала в процессе колебани характеризуется тремя координатами х, у и йп х — поперечные перемещения центра масс портала; у — продольные перемещения; !р — угол поворота рамы робота относительно вертикальной оси.
Можно считать, что центр масс робот! расположен симметрично относительно портала: Яг = а,!Рсг; дг = аг!рог, гьз =(у 11!Р)с. С учетом этих выражений выражение для потенциальной энергии можно записать в виде П = аг!ргс, + 0,5 (у — 1,!Р)2 с. Используя уравнения Лагранжа, получим систему дифференциальных линейных уравнений второ~о порядка: у + 8!1у + бгг!р = 0; (7.83) !Р + бггу + бгг!Р = О, где Ь„= с/т,; Ь!2 = — 1,с/т,; 8, = — с)(т!р ); 822 = = (2аггс, + 11су(тгР'). Решение уравнений (7.83) ищем в виде у = А!э!в (8!); !р = Аг з!п(й!), (7.84) где А, и Аг — амплитуды колебаний; )г — собственная частота.
Будем считать, что процесс колебаний состоит из двух взаимно не связанных процессов: первый — поперечные пе ремещения портала по координате х, второй — продоль"ые перемещения по координате у с поворотом !р, Наибольший интерес представляет второй вид перемещений. 35б Продольно-поворотные колебания портала представим как колебания с двумя степенями свободы. Уравнения движения составим в форме уравнений Лагранжа д 12 дТ'! 'дТ дП вЂ” — — — — — (!' = 1, 2, ..., и), бг ~, д2)1) дрй да! где и — число степеней свободы; 1 — порядковый номер обобщенной координаты; а! — обобщенная координата; а!— обобщенная скорость; Т- кинетическая энергия; П вЂ” потенциальная энергия системы; ! — время, В качестве обобщенных координат принимаем координату продольного перемещения у и угол поворота !р.
Кинетическая энергия системы Т= 0,5тг(уз + ргфг), где р =)/у2'т! — радиус инерции; у — момент инерции робота относительно центра масс. Потенциальная энергия а,!р аг!р у — 11!р П= й — '+ й — +)(з 2 ' 2 2 где Я,, гьг, )ьз — реакции в связях портала с базирующими устройствами при продольно-поворотных смещениях А1( йг+ 811) + Агб!г = 0 А!51 + Аг ( йг + Ьгг) = О.
Система однородна относительно амплитуд А, и Аг и имеет нетривиальное решение при равенстве нулю определителя из коэффициентов при А, и А,: — ! 8!! 81г = О. 82, — к +8!2 Развертывая определитель, получим частотное уравнение второй степени относительно йг. Решение, дающее две собственные частоты колебаний, имеет вид ~г,з 2 811 + 822 811 + 822 + ~)' (б!1822 812821)' 2 )) 2 Жесткости связей портала с базовыми поверхностями определялись экспериментально. Они оказались следующими: приведенная жесткость привода портала с = 4 кН/мм; приведенная жесткость направляющих при повороте портала 357 вокруг вертикальной оси сг = 0,44 кИ/мм.
Частоты соб. ственных колебаний )гз = 6,86 Гц; йз = 19,26 Гц. Частоты собственных колебаний портала с односторон ним приводом оказачись ниже частот собственных колеба ннй с двусторонним приводом; следовательно, динамическая ошибка в первом случае (при прочих равных условиях) выше. Ошибки иоснроиэведепии кругового контура. Выше рас сматривались вопросы влияния конструктивных особен. настей портального робота на точность движения резака, Иа точность воспроизведения контура заготовки влияют не только технологические ошибки изготовления и монтажа деталей и узлов робота, на и форма контура детали и ско. рость движения по контуру. Исследовать ошибки движения резака па окружности важно, во-первых, потому, что точ. ность воспроизведения кругового контура является критерием оценки класса точности роботов для термической резки, во-вторых, для кругового движения проще установить аналитические соотношения, связывающие динамические свойства робота, параметры траектории движения резака и скорость движения по контуру.
Выведем соотношения для определения ошибок движе. ння резака по окружности. Считается, что движение резака начинается вне вырезаемого круга. К расчетной окружности резак приближается по касательной (рис. 7.12). Обход окружнасти начинается из точки касания А или В.
При такой стратегии вырезания кругов можно пренебречь влиянием на погрешность переходных процессов в приводах при их запуске. г При движении резака по окружности радиусом Я с постоянной средней скоростью обхода с продольный и поперечный приводы портального робота должны воспроизводить каждый гармоническую функ цню з, = Я яп вз; з„= Я соз вз, Вторая производная от координаты продольных перемещений йу = -взй з(п(вг) (7.85) является правой частью дифференциального уравнении погрешностей движения портала (7.76).
Решение уравнения йг + 2лззг + йгз = вз)( Яп(вг) с гармоническои правой частью также гармоническое и имеет вид ° г гз = ры — ~ Яяп(вг — у„), (7.86) где р„— коэффициент динамичности: )згг = 1 )гг — — 'у/с«/лгг — циклическая частота свободных колебаний портала в отсутствие трения; у„— сдвиг фазы вынужден- ных колебаний: У„= агс18 (2влг/(йгз — взад Учитывая (7.85), (7.86), а также выражения з, = )згз (в/)гг)г вй Яп(вг — У„+ к/2); "з = г/с «/глг получим уравнение продольных погрешностей суппорта при обходе окружности: Правая часть уравнения (7.87) — сумма трех синхронно вращающихся векторов.
Суммирование векторов приводит к уравнению 22 + 2л222 + '«222 = в ~ 22 з)п (вг + уз) (7.88) 'гг + 2лззг + )згззг = в~Я з)п(вз) + 2лгйгг (в/йг) вд з)п(соз— — у, + я/2) + йз)гы(в/й~)г кяп(вг — узг). (7.87) Рвс. 7.12 358 где в = в/я — круговая частота обхода контура; з« и «,— координаты положения резак~ при идеально точных и абсо лютно жестких приводах пере мещений. где Вг = 1 + (Ргг(1/йг) Вг)* + 2Р«г(1/~,)' В«с в(-У + Узз)1 уз = агсзш1ргг(в/йг) 02 яп( — угз + узз)/)721' 722 = вгс18(2лгв/Йз); « «1«,, « « «з Решение уравнения (7.88) с гармонической правой часгьк, запишем через динамический коэффициент зз )ззз (ез/ 2) 02Я ззп (ан + Уз — 712) (7.89) где )ззз = 1 7„= агс18 12азлз/(Й вЂ” ез'Н.
Соотношения, необходимые для определения погрешив. отей поперечного привода, аналогичны уравнениям погрешностей продольного движения портала: кз = )зз з (<0Аз)' В соз (езг — Узз); )зз з = 1/)/(1 — езМ)' + 4лзез'М; Узз = агс18(2азлз/(Яз — ез )1; (7.90) "з = )/'с /язг. Опыт эксплуатации роботов для термической резки показал, что, как правило, циклическая частота движения по окружности значительно меньше частот собственных колебаний портала и суппорта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
