Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов (1071029), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Например, в передаточных механизмах роботов часто встречается соединение валов через зубчатые колеса. В этом случае на соединяемых валах моменты будут обратно пропоршюнальны передаточным отношениям: Мг/М! — — ца„ где ц„— передаточное о~ношение от вала 1 к валу 1, Я углы закручивания упругих валов будут связаны соотио. шепнем Л<Р = ,'Г Ц!1Л!Р1, 1 1 где Л1р! = М,/с; — угол закручивания 1-го вала; цп — пеРг даточное отношение от первого к Ьму звену.
Подставляя выражения для 11<р! и ц,! в выражение дгп! /г!р, получим Л1р = ~, М,цг/с!. Приравнивая последние выражения, находим И а — Ь;цг„, или Ь„= ~' Ь,цг,. динамика передаточных механизмов с уирупяиа связями. В результате приведения масс и жесткостей по отдельным обобщенным координатам манипулятора могут получаться системы с различным числом масс. Простейшей системой является двухмассная система, которая часто используется в динамике машин (рнс. 7.1,а). Дифференциальные уравнения динамики двухмассной системы имеют вид Х!(рг + (1Р, — 1Рг) с = М; а!1(Рг — (1Р! 1Рг) с = О где 1р, и 1р, — соответственно углы поворота масс; эг и Хг — приведенные моменты инерции масс; М вЂ” момент двигателя; с — жесткость.
Уравнения получаются на основе метода кинегостатики цриравниванием моментов сил упругости и сил инерции масс. Приведем эти два уравнения к одному с одной переменной: для этого вычтем из первого уравнения второе, умножив первое на э'г, а второе на г„ получим 11"гг ((Р 1 — (рг) + с ( !! + !г) ('Р ! 'Рг) = М !г ' обозначая 1р, — 1рг = 1р, получим Ь+ с(А! + гг) эЛ А! 'Р = Последнее уравнение описывает относительные колебания масс Общее решение этого уравнения имеет вид Мгг 1Р = 4 з1П/с!+ В соя/!!+- с(71 + Уг) Кроме того, по определению имеем Л!р = М1/с„г.
Рис. 7.! 307 С учетом начальных условий при 2 О е = О, ф = О, А В = -М32,1[с(31+ 32)] имеем ~ = — — О~ — 11, М3, с(3, + 32) где /г' = с (31 + 32)/(3132) Последнее выражение позволяет определить максвмаль. ную деформацию упругой связи: щ„= 2М3ь [с (3, + 32)]. Эта деформация определяет амплитуду колебаний масс в относительном движении, т. е. динамическую ошибку по обобщенной координате 1р. Другой типовой системой, к которой сводится задача анализа динамики передаточных механизмов промышлевных роботов, является трехмассняя система (рис.
7.1,8), Дифференциальные уравнения движения системы имеют ввх 31(Р1 1'2 (1Р2 1Р1) ™ 321Р2 сз (1рз 1Р2) + с2 (гр2 1Р1) = О ' 321рз+ сз(1рз 1Р2) = О. Путем дифференцирования по времени и преобразоваввх эти три дифференциальных уравнения второго порядка можно привести к одному уравнению шестого порядка следующего вида: мп 31+32 32+32 1п 31+32+32 1рз = 1 2 3232 313231 — 2СЗ 31 7233 Общее решение системы: 1Р1 =А 11П )11+В СОЗ )112+ Г 21П )Г21 + Р СОЭ )121+ Ет~+ ЕГ+6 1.ДЕ 2 31 + 32 32 + 32 — 2 +— При разгоне и торможении механизма начальные уело вия имеют такой вид: при г = О 1Р1 = О (1 = 1, 2, 3), 1Р1 = ' 308 О ф, = О. С учетом этих начальных условий, испольф2 истему дифференциальных уравнений, получим: В, =М)3„.
Оз=Оз =О; М М (и-1рз'~=1рз" =О; 1Р[2 ~= — — х-сз, 1р)'э= сз; 31 ' 3132 ) )=О; О('"= Р~Р=О[п=о. С учетом начальных условий определяются постоянные коэффициенты в общем решении системы, 7.2, Динамические модели манипуляторов с учетом изгибной упругости руки Учет упругости основных звеньев при построении динамической модели манипулятора значительно сложнее, чем учет упругости передаточных звеньев. Это обусловлено пространственным характером движения основных звеньев.
Поэтому вначале рассмотрим способы учета упру~ости одно1о звена манипулятора, обладающего наибольшей податливостью. Выведем уравнения динамики манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат, типа В1 П2 П с учетом упругости одного основного звена 3 — руки (Рис. 7.2). Особенностью конструкции таких роботов является значительная податливость в направлении изгиба выдвигающегося звена [7].
Будем считать, что вся масса звена 3 робота сосредоточена в одной точке С, — центре масс звена 3, а звено 3 представляет собой упругий стержень, обладающий податливостью только на изгиб. 1 1'„г, Для определения относи- й тельно~о положения звеньев с'хжем с ними системы координат следующим образом: со 'ясном ! свяжем систему коорДииат Ах,у,з„ НаправИВ ОСЬ по оси вращательной паРы А; со звеном 2 свяжем систему координат Схзузз,, на- 1 "Равна ось 2, так же, как'и 2„".~ 1 — — — у а г, — по оси поступательной х~ ла аРы С; со звеном 3 свяжем Ряс. 7.2 309 систему С,хгугг, с осями, параллельными соответ вукь Щим Осам системы СхгУггг.
Основным гибким звеном исполнительного механизм зма таких роботов является звено 3 — рука. Составим уравнена евяе — динамики транспортных движений с учетом изгибной уп гости руки. Для составления дифференциальных уравнев; используем оператор Лагранжа в виде !) 3' дЬ'! дХ. — ~ — ) — =Д1 (1=1,2,3), Ж (ч дг)1) дг)! где Ь= Т вЂ” П вЂ” функция Лагранжа — разность кинетической и потенциальной энергий; Д! — обобщенная сила, Примем дФ; дд, ' где Д,„— усилие или момент 1-го привода; Ф = 2 (Ь,!),'!2)— =1 диссипативная функция Рэлея.
За обобщенные координаты системы примем:23! = !3!— угол поворота звена ! относительно стойки; 232 = 3,— перемещение звена 2 относительно звена 1; 233 = 33 — перемещение звена 3, как жесткого тела, относительно звена 2; 03 =3„ — отклонение центра масс звена 3 за счет югябг звена ПО Оси уг системы Сгхгуггз, 'ОЗ вЂ” †); — отклОненве центра масс звена 3 за счет изгиба звена по оси Положение центра масс звена 3 до изгиба считаем лежащим на оси звена. Изменением расстояния от центра С пары до центра масс С, звена 3 при изгибе пренебрегаем вви!гу малости.
Найдем кинетическую энергюо механизма Кинетическая энергия звена 1 Т1 — 0,53,ф21. Кинетическая энергия звена 2 Тг = 0,53,гф, + 0,5вгггг. Кинетическую энерппо звена 3 находим по теореме Кенвта' Тз =Тг+ Тз где Тз — кинетическая энергия звена 3 в поступательвои движении со скоростью центра масс; ТЗ вЂ” кинетическ кая энергия во вращательном движении вокруг центра масс 310 Кинетическую энергию Т', определим с учетом движений п„обобщенным кооРдинатам 33 и Т,. Имеем Т' =0,5вгг)сз = 0,5вгз [(зг +А) + 33 + (ф!33 +1~) ], где 1; и ); — скорости движения центра масс по обобщеным координатам 3; и уг Кинетическая энергия во вращательном движении вокруг певтра масс Тг — О 5333Ф!.
Потенциальная энергия деформации изгиба руки Л = 0,5сТ' = 0,5с (Т,' +3",), где с = 3Е!!333 — жесткость звена 3 на изгиб. Определяем обобщенные силы системы: (2! = М!и )2!4!' 02 = (32„— Ьггг — Рг — Р!,' 12, = Дм — Ь,1„- (У., = О; (2, = -Р,, где Рг, Рз — силы тяжести звеньев 2 и 3 Функция Лагранжа имеет вид Ь= 0,5игз ((32 + 1;)' + 33 2+ (ф!33 +3!)') + 0,532ф! + 0,5вгг12 + + 0,53,2фг — 1,5 (Г~ + 3 ~) Е!/~~ ~+ 0,53,~ф~г.
Определяем частные производные от функции Лагранжа по обобщенным скоростям. д1, д,! =И!3(!Р!33+ЯЗЗ+(321+322+ г*З)ф11 ф! дЬ ГЛЗ (32 +32) + Л!232 32 дЬ д Я!333' 13 дЬ = Я!3 (ф!33 +Я' У дЬ д! ~3(3' +3*)' Определяем частные производные от функции Лагранжа по обобщенным координатам: д!. дЬ ~ — =0; — =0„ "ч ! ' дз, г гЕ! — 3 (»Р з +.)!)»Р * — ()", +Х„') —,;, д»з 2 * " 33' Е! — 3 —,);; 33 ду'у д!.
Е! — 3 — 3;. 3 Определяем производные по времени от частных пр,„ изводных функции Лагранжа гю обобщенным координате». )»' л.~ / »г»3 (Ф»33 +Уу) 33 + »г»333 (Ч)»32 + '»2»Р! +/у) + »)! д»Р! + (уу! + )уг + 1*3) Ф!' — . / = шз(32+3!) + в!232 »1» д32 «»'и.\ / = лгз (»Р »зз + Ф гзз + 3 ) ' / ягз (32 + у*) й ~ д/;/ Дифференциальные уравнения движения механизма с учетом изгибной упругости звена 3 имеют вид (уу ! + 3а + !уз) !Р! + 2л»333 Ф »33 + л»ззз Ф ! + В»Ф3 + + л»3332»у = мгу ьгф! ' л»3(32 +угу) + лбгг = Ю Ьгзг — Рг Рз' г г в»333 — л»3(»Р»33+ )у)'Р! 2 ()! +32) г =(езг — Ьззг; зз Е! Улз(Ф»хз+ Ф»33 +32)+ 3 з !у =1»' зз Е! ьчз('3 +'3'.)+ 3 —,3; = О, 33 Полученные уравнения позволяют решать задачу выбор~ жесткости звена 3 робо~а для заданной программы двнжв ния.
Несмотря на значительные допущения, сделанные пР" построении динамической модели, полученные уравнен"" 312 п всывают сВязь действуюп!нх сил приводов с изменениями бобщенных координат робота, как жесткой системы, и его „другими колебаниями. Построим динамическую модель исполнительного механизма промышленного робота с двумя вращательными в одной поступательной кинематическими парами с учетом „пругости звена 3. Такие механизмы составляю~ основу промышленных робо!па, Работающих в сферической системе координат, например «Универсал-15»у. Механизм транспортиых движений этого робота схематично показан на рис. 7.3.
Наиболее гибким звеном рассматриваемого механизма является, как правило, звено 3 — рука. Составим уравнение динамики механизма с учетом изгибной упругости этого звена. Со звеньями механизма свяжем системы координат следующим образом. Со звеном ! свяжем систему координат Ах,у,г„направив ось г, по оси вращательной пары А, а ось х! — по оси вращательной пары В, со звеном 2 свяжем систему координат Вхгу,г„ направив ось х, так же, как ось х,, а ось г, — по оси поступательной пары В, со звеном 3 в недеформированном положении свЯжем системУ кооРДинат СгхзУ,гз, напРавив ось гз так же, как ось г,, а ось хз — параллельно оси х,.
Считаем, что точка Сз — центр масс звена 3 — в недеформированном положении находится на оси г . Вследствие деформации изгиба звена 3 его центр масс (точка Сз) смещается в системе Сзх,узг, и занимает новое положевие Сз. Положение точки С', можно определить в системе Сзхзузгз или Вх,угг, координатами!"„,3х Смещением точки Сг при изгибе вдоль оси 23 пренебрегаем ввиду малости. За обобщенные координаты примем: »Р, — угол поворота звена ! относительно стойки; »Рг — угол поворота звена 2 Относительно звена 1; 3— смещение звена 3 относи- гьгг г, тельно звена 2; 3'„— смеше- 3 "ие центра масс звена 3 при изгибе вдоль оси хз, !'— ! с У 3 мещение центра масс звена 33 пРи изгибе вдоль оси Уз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
