Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов (1071029), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ции выражается линейно через элементы матрицы жестко. сти: где С, — матрица жесткости й-го модуля. Умножая обе части последнего равенства на обратную матрипу Сг', получим Сг Ег = ггг, или ггг = Хггг, где )г — матрица податливости )г-го модуля. Выражение для матрицы жесткости модуля можно полу. 'чить применив метод конечных элементов, считая при этом перемещение модуля перемещением узловой точки. В методе конечных элементов узловые перемещения принято нг. зывать степенями свободы элемента, а расчет деформаций узловых соединений проводится из условия неразрывностя взаимного перемещения элементов.
Перемещения всех точек конечного элемента выразив через перемещения и их производные в узловых точках. Вве' дем матрицу формы элемента, для получения которой пс' пользуются интерполяционные функции Эрмита [Ц. Получим матрицу формы для моцуля, который мо'к"с представить в виде стержневого элемента (рис.
6.3), В маня пуляторах деформация такого элемента под действием сп" приложенных вдоль оси х, мала по сравнению с изгибогг и кручением, поэтому ею можно пренебречь. Представим линейные е(х) и в(х) и угловые ц(х), В(2) у(х) перемещения от деформации элемента полиномамя п(х) = а„+ а,гх+аг х + а,гх; г з, г г. Ф( гл)=а„+аггХ+аггХ +а,4Х; з(х) азгх ' (И„) = дв/дх =' агг + 2аггх + Заггх; г. 7 (х) = де/дх = а„+ 2а2эх + Заг4хг.
)гоэффициенты ац определяются нз. начальных условий: г(0) = в (0) = и (О) = В (0) = у (О) = 0; „(О =;; в (() = в;; ()) = а„' И) = А; у (О = уе После подстановки начальных условий в выражения сгя перемещений и решения системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов получим компоненты матрипы формы стержневого элемента: ч Ю2 гч В, Зхг 2хг г(й (г (г 0 0 0 и хг хг 2 хг хг 0 (2 Зхг 2хг 0 (2 (г г(г> 0 0 0 (; 2х Зх' о бх бх' В (4) 0 5 (В бх бхг 7(0 )2 Вг 0 2х Зхг 0 0 Для построения матрицы жесткости элементов воспользуемся уравнением потенпиальной энергии элемента: гг Рис. 6.3 70' П = — (Е!р — х г(х+) Е1, з г(х+ (61р " Ох где 1„!, — моменты инердии площади сечения относитеяь. но осей у и х; Š— модуль продольной упругости; 6 модуль сдвига; 1 — полярный момент инерции относитеяь но оси х.
После подстановки в выражения для о, ш, а элементов матрицы формы и интегрирования получим выражение для П через узловые деформации оь шо нн ро у; в квадратнъ ной форме: (Ь~» К()(), 1 2 где К вЂ” матрица жесткости элемента; для стержневого зяе- мента (рис. 6.3) матрица жесткости имеет такой впд: и, и, и» т Р 12Е1 /1з О О О 6Е1 /1з и О 12Е1 /19 О 6Е1 /!з О м ' О О 61р/1» ΠΠ̄Π— 6Е1,/Р» О 4Е1 „/1; О м — 6Е! /1х О О О 4Е! /1.
Каждый элемент матрицы К представляет коэффициент жесткости, характеризующийся значением перемещения я направлении действия единичной силы. При этом все остань. ные переме;ценив полагаются равными нулю. )Ыа»пряна лодаглливос»ли получается обращением матрицы жесткоспп Определение контактной податливости узлов соединена" модулей. Имеющиеся в опорах зазоры и контактные дефор' мации ведут к дополнительному сме:цению конца ру" робота, снижаю:цему точность позиционирования. Радиаяь„' ная податлшюсть подшипника равна сумме податливосте 292 Рп Р„ 1з/(ЗЕ1,) О в, О 1з/(ЗЕ1») а, О О Р, Π— 1'/(2Е!х) ъ 1~/(2Е1,) О м„, М„ ΠΠΠ— 1з/(2Е1„) 1/(61,) О О 1/(Е!„) О О 1'/(2Е1 ) О О О 1/(Е1.) Радиальная податливость контакта наиболее нагруженно„е тела качения с дорожкой качения в подшипнике с предварительным натягом 5г' = р Его* где (З вЂ” коэффициент, учитываю:ций натяг или зазор в подшипнике; исходя из необходимости обеспечения безлюфтовости в роботах применяют подвижные элементы с предварительным натягом; Ьго — радиальная податливость контакта наиболее нагруженного тела качения с дорожкой качения при нулевом зазоре, мкм — зависит от типа подшипника.
8»о Звп подшипника Шариковый радиальный олноряляый 4 О 10 - » )/'Дпо/17» то же, двухрядный сферический (7,0 10»/соя и) )/Я/гз„ Роликовый двухрядный сферический (2,0 ! О»/я)п а) Яз/)/1» Шариковый радиально-упорный, олкорялный (4,0 1О»,'соя а) Яо»/зз» Радиальный с короткими цилиндРическими роликами 8 О 10-» 2о,»/1о,в Радиально-упорный, конический (8,0 10 '/соя а) Яо'»/(о»») Здесь До — усилие, воспринимаемое наиболее нагруженным геком качения; 1З» — диаметр тела качения, мм; 1» — рабочая длина Ролика, мм; л — угол контакта полшипннха. Величину Его (мм) для подшипников различных типов можно определить в зависимости от чисто радиальной "агрузки, воспринимаемой наиболее нагруженным телом качения, по формуле ~ = 5Гг/(1х соз и), "Де 1 — число рядов тел качения; х — число тел качения а одном ряду; и — угол контакта, град.
"адиальная податливость контакта колец подшипника посадочными поверхностями вала и корпуса вычисляется по Формуле 293 верхностей контакта наиболее нагруженного тела качения орожкой качения и колец подшипника с валом и корпусом: 5г = Ьг' + бг". где )г = 0 05...О 25 (меньшие значения следует принимат~ ь прв повышенной точности изготовления посадочных мест, б „ оль. шом натяге, установке подшипников на конусную шей1, ), А 2) и  — соответственно внутренний и наружный диац ры и ширина подшипника, мм. Смещение охвата определяется по формуле Ьц —— ~Р/ь где бц — смещение охвата в Ьм направлении от действах у-й силы; д,— упругий угол от контактной деформация в узле соединения звеньев; (; — расстояние от центра узла соединения звеньев до схвата.
Суммарное смещение схвата находят как векторнуьз сумму смещений от контактной деформации всех узлов ссе. динения звеньев в трех взаимно перпендикулярных направ. лениях. При упрощенных расчетах контактные деформации можно не учитывать, увеличив собственную податливость звеньев на 20 г',. 6.3. Ч"очность нодуззей При разРаботке системы модулей одна из основных задач заключается в обеспечении такой точности модулей, чтобы погрешность позиционирования, приведенная к охвату, ке превышала заданного значения. Задача сводится к выбору допускаемых погрешностей модулей. Для решения этой задачи сначала установим связь между погрешностями молу.
лей и погрешностью модульного робота..Под погреш. постыл модуля будем понимать отклонение действитель. ного положения выходного звена модуля от его номииаль. ного положения. В общем случае погрешность позиционирования Ф-гс модуля может быть определена двумя векторами линейной ЛУ и угловой Лф, погрешностей. Рассматривая проекции этих векторов на оси системы координат х,у,г„выходного звена модуля в номннальнсы положении, получим шествмерный вектор составляюшя" [61: Лк = (Лх„, Лу„, Лг„, Ла„, Лб„, Лу„]', где Лх„, Лу„, Ля„— линейные погрешности модуля по осям " у, з, а Лп„, Л(3„, Лу„— угловые погрешности к-го модул" относительно этих же осей.
Малые угловые погрептнсс™ модулей суммируются как векторы. Поэтому результиру"' е угловое перемещение выходного звена робота может быть записано в виде Лф =ЕЛф ялн в матричной форме гЛ„) = 5 ПТ.,~Л Ц. -1 Каждое угловое перемещение выходного звена й-го модуля вызывает линейное смещение выходного звена робота у „, которое может быть найдено по формуле Лг „= Лфэ х У . (6.1) Тогда при наличии угловых погрешностей в каждом модуле линейная погрешность выходного звена робота Лг~ — —,'> Лфь х г„„, где г — радиус-вектор, определяющий положение начала системы координат выходного звена робота относительно начала системы координат выходного звена й-го модуля в номинальном положении.
Раскроем выражение векторного произвеления, входящего в последнюю формулу; =((Лфи,à — Лф Л )— Лг „= Лфг Лфь Лфм ~м гЬ, гь уг(Лфмг' — Лф м) + )г (ф .г( — Лфьггм). Здесь Лфм, Лф„, Лф, — пРоекции вектоРа Угловой погРешности й-го модуля на неподвижные оси; гм, гь„, гм — проекции радиуса-вектора гм.
В матричной форме проекции вектоРа Лгм могут быть записаны так: Сь„,3 = ~,„,ц,,1, "е (гьд — матрица, составленная из проекций вектора гм; 0 гг„— гь, 0 гм г» гм О 295 Столбец координат вектора Лгь линейной погреши~ ности положения выходного звена робота, обусловленной погрев, постами модулей, может быть найден по формуле [йгч) = 2. [гм) [т1фт). (6.2) Линейные погРешности Лг„модУлей пеРеносЯтсЯ без изменения на выходное звено робота, значит линейная по. грешность выходного звена робота от линейных погрець ностей модулей равна их сумме: цг, = 2'Ьгм (6.3) В матричной форме последняя формула имеет вид [бг.) =ХМщ[бгт), гд д — допускаемая погрешность робота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
