Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов (1071029), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Я Найдем кинетическую Рг зиеРгию механизма как сум- Х, му кинетических энергий я Х2 звеньев 1, 2, 3; Х Т=Т +т +тз. (7.1) 313 Кинетическая энергия звена 1 Т, = 0,5У!>ф,. Кинетическая энергия звена 2 72 = О 5тз(у«2 + О 5 (1узв>кз + 1у2а>у + Уу2с>у) Определим скорость центра масс звена 2 — точки С 2 тается, что она лежит на оси Сз): КСЗ =фг>'2+ ф>>25>П 92 2 22 '22 2 где уз — расстояние от точки В до центра масс звена Проекции угловой скорости звена 2 на оси х,у,з, ге*2 >Р2,' с>>2 = 91 5!П >Р2, 6>уз = ф! Соз >Р2 тогда кинетическая энергия звена 2 Т = 0,5>из(фз + фз 5!пз 92) Уз + 0,5(1121фз + 112>фз !йп29 + Уз>92созз >р ) Кинетическая энергия звена 3 Тз=Тз+Тз (7.7) где Т', — кинетическая энергия звена 3 в поступательном движении со скоростью центра масс в новом положении точки С',: Тз = 0,5тз)УЗ, ' скорость К, найдем в проекциях на оси системы Вх,у,2.: К,=(ф!5 >п р +3'.)'+(ф, +1'„)2; Т", — кинетическая энергия звена 3 во вращательном движении; определим ее как энергию жесткого звена; Тз = 05тз ((ф>55!П>РЗ +А) + (фзз+~у) + 5 ] + + 05 (Уззфзз + 1>зз>фз! зшз 92 + Уз>фз созз >р ) Кинетическая энергия механизма с учетом изгибнов упругости звена 3 Т= 0,53>у!>фз> + 0,5тз (фз + фз 5>ПЗ >рз) у2 2+ 0,5 (У22>ф~ + + 1)З>9',5>п'>Р, +1фР',соз'>Р,)+0,5тз ((9!Зтп>РЗ+А) + + (фзз+'Ду) + 5 ~ + 0,5 (11'з>фз + 1~~2>йгйп >рг + 314 отенциальная энергия деформапии изгиба Руззз 0,5су' = 0,5с (Ху' +Ху) с= ЗЕ1>>(5 — 1,)' — жесткость звена 3 на изгиб ()2— а звена 2 — величина постоянная).
ункция Лагранжа Т вЂ” П. пределим частные производные от функции Лагранжа бобщенным скоростям: 11~>ф> + тзу2915>п >РЗ + 1уЗ 9! 5>п 92+ 2>>Р> соз 92 + и>з (915 51п >Р2 +2) 5 5!п >Р2 + Уз >Р> Р2 + з>. з >р> со5 92,' = тзфзуу+ lу292 + тз (925+.>у) + "392' д1 ~сŠ—.= тзз; —. = тз (ф>5 5>п9! +И' дз д7'„ д7'у Определим частные производные от функции Лагранжа по обобщенным координатам; — = 0; — — = 1изф> 51п 92 соз 9222 + 1уз ф1 51п 92 со5 92— 2 11> 2 д>Р, ' д92 — 1 29! 51п92 со59 + тз (91551п92 + 1) 915 со592 + + Уу>ф 51П >рз Соз >рз — Х зф! 51П92 СО592 + 9 Е1 2 — — (у'2 + 7' ). 2 (з — 12) д1. = >из (ф ! 5 51п 92 + 1 ) ф> зш >РЗ + тз (925 + 1 у) ф2 у д1.
ЗЕ1 ВЕ ЗЕ1 у ду'„( — 1)' *' Ю ( — 12) Определим производные по времени от частных про>аз~одных функции Лагранжа по обобщенным координатам! — = 9,(11 + тзуз>йп >рг+ 1>2 92 01, „н 2 2 12> 51п2 '(> дф ) +1','2'соз'>р, + Уфмп'>р, + 1>зз>соз'>р,)+ >р! >Зтзуззш>р, х со592'фз) + 2(1у~~и + 1~~з)5 П'РЗ СП592'фг 2(1Ы+ 315 а!зизак Е) — )'„= — Р, соз >Рг. !з) а) 0) щсг ЦО 76,0 6) 39 10 ч 42 ьзи азс 300 ~ бА,,=-Р, >пф,бУ„; >44 Рз яп ср2 30,0 Рис.
7.4 3!6 317 + ~Уз)5!п ср2 со5 ср2 Ф21 + тз (ь 51п ср2 + 5созфг 'фг) х х (фсз 51п ср2 +1 ) + тзз 51п фг (ф>5 51п фг + Фсз ып срг + + Ф,зсоз ср, ф, +')У); ср2 (л>2>2 + РУ2 + 4>43) + тз5(фгз + Ф25+ ) )+ + тз(фгз+);)5; с! >с д.й тз!Р15 5!п ср2 + тзср! (5 51п ф2 + 5соз фгфг) + аз ! с! >У д1Л вЂ” — ) = тзфгз+ тзфгз + тз)у. У Определяем обобщенные силы. Составим выражение суммы элементарных работ сил на возможных перемещениях системы: ,'У бА = М>„бф,. Отсюда обобщенная сила Дс= М>,. Сумма элементарных работ на возможном перемещенви по обобщенной координате фг ~.
ЕАа = Рг>'2 Б>П фгбфг + !'з» Б>П сргбфг + Мгпбсрг ' откуда сзэг — — Рггг Яп фг + Рзз Б!и срг + Мг4. Определяем обобщенную силу Дз, ,'> ЬА = — (Рг + Рз) соз фг бз + Дзп бз! х.з (Р2 + Рз) соз ср2 + (434 Определяем обобщенную силу Д» по координате)у: Обобщенная сила Дз по координате ),' 05 = — Рзсозфг. Таким образом, дифференциальные уравнения движени" механизма В3 В2.
П с учетом изгибной упругости звена 3 имеют такой вил: (зс~>+ тзггг яп фг + ()~~21 + ггз) Бсп фг + (>*г + 5)з) х озг фД + фс (2тгс» Яп 2фг соя фг ' Фг + (зуг + Ууз) х х ф яп2фг — (42 + Уз~) фг Б п2фггс + тз(5 5>п фг + + 5 сов срг ' Фг)'(фсз5!и срг +)У) + тзз яп срг (ф>55>п фг + + ф,зяпср, + ф,зсозср,.фг+ ) ) = М>4! ф,(а,уз+ зуг'+ )уз>)+ тзз(фгз+ Фгз+ )у)+ + щ (ф 5+)') з — 05>п ф,гг яп2ф — 05фг яп2фг х х(у 22 +у'3 '>зг () +) =(Рггг + Рзз) Б!и срг + Мг ' щ,з — т,(ф,зяпср, +~У)фсяпсрг — тз(фгз+)У) Фг =. = — (Р + Рз) соз фг + Ь„; щзср,з яп срг + тзф, (5 яп срг + 5 соз срг срз) + Е! +3 )'„= — Р, Яп срг ', (5 !2) щзфгз+ тзфгз+ тзХ + 3— У (5 Полученные уравнения лают возможность опрелелнть влияние изгибной упругости руки на ее движение при различных программах движения и выбрать ее жесткость исхоля из допускаемой точности позиционирования.
Собственные частоты колебаний руки манипулятора с грузом можно определить, используя модель балки на двух опоРах (рис. 7А, 0). Обозначим через у поПеречное перемещение, тогда инерционная сила, приходясцаяся на единицу азины балки, будет равна О = -ту, где т — погон"ая масса. Так как Е)1 = У = и, отсюда полУчаем дифференциальное уравнение по„ ных колебаний балки: Е!'" = — в1у. » Решение ищем в вице, у ув!п ои, (7.9) где у = 1'(х) — собственная форма колебаний; я — собствеи. ная частота. После подстановки (7.9) в (7,8) получаем У' — "У= О, (7ЛО) где а" = вив'/(Е1). Общее решение уравнения (7ЛО) для трех участков бачки запишем в виде 1; = А, яп ах + В, сов ах + С, ьЬ ах + Р, сЬ ах; 1» =Аг янах+ Вгсоьах+ СгвЬах+РгсЬах; Уз = А, Япах + Вз сов ах+ Сз сЬах+ Р, сЬах.
У»=О; У!"=О; (7,1Ц на шарнирно опертом конце равен нулю прогиб, в изгибающий момент и поперечная сила равны соответствующим усилиям на левом конце 2-го участка; кроме того, на левом конце 2-го участка про~иб равен нулю: У, = О; У, = О; У, = У,; У", = Уг; (7Л2) на границе 2-го и 3-го участков Уг = О' Уз = О' Уг = Уз' Уг = Уз' (7.13) на правом конце 3-го участка имеется сосредоточенная масса М,: 2Е!у"' = — я»МУ; М = Р(д, так как 2Е!у"' = Му"; езгм е»»М у»4 = — — у, ГдЕ 2Е1 ' 2Е1 144 тогда У ().
У 1,4У (7.14) Найдем предварительно значения требуемых- произвол' ных от у по х для всех у,: 3!8 Отбор собственных частот и соответствуюших им собственных форм осуществляется с помошью краевых условий задачи: на свободном конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила: -А;янах+ В;совах+ С»вЬах+ Р»сЬ ах; — А;а сов ах + В;а яп ах + С»а сЬ ах + Р»а ьЬ ах; — -А а' ьт ах — В аг сов ах + С аг »Ь ах + Р аг сЬ ах; ,» = — А;а' соь ах+ В аз вт ах + С аз сЬ ах + Р аз й ах; (7.1з) при х= — а ,1, яп а»( — В, сов а») — С, й ~Ы + Р! сЬ Ы = О; - А, сов а»( — В, яп а»1 + С, сЬ а»( — Р, »Ь а»( = О; (7Л б) при х = О 8 +Р! =О; Вг+Рг=б; А, + С! — Аг — Сг = О; — В, + Р, + Вг — Рг = О; (7 17) при х= Ь Аг яп аЬ + Вг сов аЬ + Сг вЬ аЬ + Рг сЬ аЬ = О; А»5!паЬ+ВзсоваЬ+СзйаЬ+РзсЬаЬ= О; Аг соь аЬ вЂ” Аз сов аЬ вЂ” Вг яп аЬ + Вз яп аЬ + Сг сЬ аЬ— (7.18) — С» сЬ аЬ + Рг й аЬ вЂ” Рз й аЬ = О; — А г яп аЬ + Аз яп аЬ вЂ” Вг сов аЬ + Вз соь аЬ + Сг ьЬ аЬ— Сз вЬ аЬ + Рг сЬ аЬ вЂ” Рз сЬ аЬ = О; при х= Ь+с где а = )с4 яп [а (Ь + с)) — аз сов [а (Ь + с)); () = 1с4 сов [а (Ь + с)) + аз яп [а (Ь + с)]; 7 = В4 »Ь [а (Ь !- с)] + аз сЬ [а (Ь + с)]; 9 = 1:4 сЬ [а (Ь Е с)] + аз й [а (Ь + с)].
Отзичное от нуля решение системы (711)-(7Щ иочу чнтся при равенстве нулю ее определителя: 319 -Аз яп [а(Ь+ с)) — Вз соь [а(Ь+ с)] + Сз в" [а(Ь+ сП + + Рз сЬ [а (Ь + с)] = О; Аза+ В»Р+ С»7+ Рз! = О (7.19) '1з о о о о о о о Ив аЬ -соз аЬ яп аЬ вЂ” з(в[а(Ь4-сД Ах о о о о — 1 о яв аЬ о соз аЬ вЂ” з!паЬ о о в, соз ае( -йвав 1 0 Π— 1 0 0 0 0 О О с, с, -яЬив 0 сЬа1 О О 0 О 0 1 — 1 0 О 0 яЬаЬ О 0 0 сЬаЬ 0 зЬаЬ О О 0 О и, сЬ ав -явив 1 О 0 1 0 О О О О 0 ся О 0 О О О 0 О зЬ оЬ -сЬ аЬ -яЬаЬ зЬ [а (Ь ь с)] У Ое Ве 0 О О О О О 1 0 0 Π— 1 0 сЬаЬ О О сьаЬ 0 -зЬаЬ сЬ аЬ вЂ” сЬ аЬ О сЬ[а(Ьес)) О Г, Используя полученное выше решение, определим собственную частоту колебаний руки робота, принимая в качестве расчетной модели балку с грузом на конце, скользящую на двух опорах.
Примем 0 = 6 см, Н = 3 см, момент инерции балки (сме) 1, = яг (04 — е(4)/64 = 1215я)64; жесткость на изгиб системы, состоящей из двух горизонтальных балок, Е! = 2Еть где Е = 2,1. 10 космо; Е) = 2ЕУ, = 2 2,1 10 х х1215я/64 =40 10'я кг см'; плотность материала балх" р = 7,8 10' кто'; площадь поперечного сечения г = = я (0з — е(я)74 = я 6,75 смя; погонная масса балки лз = Рг' размеры участков е(= 25 см, Ь = 4! см, с = 138 см. Собственная частота колебаний системы с указанными размерами, нагруженной на конце грузом Р = 42 кг, го = 26,47 с Собственные частоты колебаний той же системы с грузом Р при изменении размера между опорами представлен" на рис.
7.4,6,в. 320 Ае 1 Я'и ок( 2 -сазак( 3 О 4 О 5 1 б 0 7 0 з 0 9 0 1О О ы о 12 О в, О 0 0 1 0 1 соз аЬ О вЂ” я(в аЬ -созаЬ О О .в, 0 О 0 0 0 О О соз оЬ Ии аЬ соя аЬ вЂ” соя [а(Ь + ~)) 73. Динамические модели двУхзвемиых ,~арнирных манипуляторов с учетом упругости звеньев Ыетодга анализа динамики двухзвенных упругих манипуляторов представлены в работах [2, 3, 131, рассмотрим динамику плоских движений двухзвенного упругого манипулятора, несущего груз.
Плоский манипулятор состоит из двух звеньев 00, и 0,0я, представляющих собой упругие стержни одинаковой длины и одинакового сечения, и трех вращательных шарниров 0„0„0я, оси которых перпендикулярны плоскости Оку звена манипулятора, совершающего движения в этой плоскости (рис. 7.5). Считаем, что тонкие упругие стержни 00„0,07 могут совершать поперечные и крутильные колебания малой амплитуды. Изменением их длины, а также продольными упругими смещениями пренебрегаем по сравнению с амплитудой поперечных смещений. Груз Р считаем абсолютно твердым телом с заданными инерционными характеристиками. Массу га груза Р считаем много большей массы манипулятора.
Последнее предположение позволяет пренебречь кинетической энергией манипулятора по сравнению с кинетической энергией груза, а также считать частоты собственных упругих колебаний стержней много ббльшими частот колебаний груза, обусловленных упругостью манипулятора. Наряду с упругой моделью будем рассматривать также вспомогательную абсолютно жесткую модель манипулятоРа, у которой углы в шарнирах и длины звеньев те же, что и в реальной упругой модели. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
