Башта Т.М. - Гидропривод и гидропневмоавтоматика (1067398), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рассмотрим процесс опорожнения баллона Ь объемом )со через отверстие площадью ! (рис. 222, б). Дифференциальное уравнение истечения газа из такого баллона составляют исходя из условия, что масса т газа, протека!ощего через заданное поперечное сечение отверстия за некоторый отрезок времени, равна изменению массы с(т = )со с(рс (где Уо — объем баллона, р, — текущее значение плотности газа) газа в баллоне за то жс время. Пусть в некоторый отрезок времени с момента открытия отверстия (насадка) опоражниваемого баллона абсолютное давление в баллоне было равно р, и плотность газа в нем рс. Элементарная масса с)т газа, прошедшая через это отверстие площадью) за отрезок времени с(1, равна согласно уравнению (80) с(т = т Ф = ор) )с'р, рс Л, (89) где р, и р, — текущие значения давления и плотности газа в баллоне, Выражай текущие параметры газа р, и р, через начальные их значения р, и Р„имевшие место в баллоне перед началом истечения, и полагая, что изменение этих параметров внутри баллона при его опорожнении (истеченин газа) подчиняется некоторой политропной зависимости с показателем политропы и, получим ! Рс = Ро ( —,) Рс Ро.
Р; Ро (90) ' Подставив уравнение (90) в уравнение (89), получим ! г с =о!а со ( — ') Й=оСФРоо )С ( — ') сс. Сос) Составим теперь выражение для изменения массы газа в баллоне за тот же отрезок времени с(д Эта масса в момент времени,1 равна и = (сор!, а следовательно, с(т =. ~'о с(рс, где )/о — объем баллона, С учетом уравнения (90) получим ! ! "=' 4-")'! = —" (-')' ( — ") Приравняв уравнения (91) и (92), получим (с учетом знака) дифферен- циальное уравнение опорожнения рассматриваемого баллона ограниченной емкости 1'о ! с п.о! — — ! — "соРо( — ) "( —,) = Я 1сроро 1с ( — ) ! Сократив на ( — с), получим Ро ! ! в оро ( Р ) ( Р ) — ф~ 3 роро( Р ) Для интегрирования этого уравнения (при ) = сопз() произведем пре- образование: 1 ! 1 ( Рс ) ф с ~/ Ро 1 ( —:.') (й) ' в результате чего после преобразований получим Аналогичным путем можем получить дифференциальное уравнение истечения в подкритической области для понижения давления до р, р с '2л г — 1) ггт = ри("г(( = 7р ~' 1 — — '' ~ г((, ь — 1 р,.
гг (98) где и — скорость газа, определяемая по уравнению (78). Решая дифференциальное уравнение (95) с учетом скорости и н функций х= — ' и — '=РТ„ т Рг Рг получим уравнение для элементарной массы г(т газа, протекающей через поперечное сечение ) струи за элементарный отрезок времени Ж: '(т= 7рг~ ф(х) ггг = 1рг йтф(х)ггг (96) г Рг Пт, где Т, — абсолютная температура газа, вычисленная по характеристическому уравнению (73). Составим теперь уравнения для изменения массы газа в резервуаре за тот же промежуток времени Ж: ит = Уг г((ги (97) 270 Ввиду сложности функции это уравнение обычно решается графо-аналитическим путем н здесь не рассматривается.
Наполнение резервуара ограниченной емкости. К случаям наполнения резервуаров ограниченной емкости относятся наполнение пневмоцилиндров пневмоснстем, зарядка газогндравлических аккумуляторов и пр. При заполнении сжатым воздухом какой-либо емкости воздух в начальный момент, когда давление в заполняемой емкости минимальное, течет, расширяясь с максимальной скоростью, которая по мере выравнивания давления в питающей магистрали и заполняемой емкости понижается, достигая при полном выравнивании этих давлений нулевого значения.
Очевидно, при этом будет переменной вследствие расширения воздуха и его температура, причем изменения ее могут происходить в широком диапазоне. Пусть к емкости г( с неограниченным объемом и постоянным давлением рг подключается емкость (баллон) с с объемом Уг и давлением р, < р,, (рис. 223). При этом допускаем, что объем источника расхода г( настолько велик, что изменением давления и изменением скорости перемещения частиц газа в нем при заполнении емкости с можно пренебречь.
Определим время повышения давления в подключаемом баллоне с р, до р; = р„т. е. определим время выравнивания давления между источником расхода и заполняемым баллоном. Пусть в момент времени ( давление в баллоне будет р,, плотность газа в струе р и скорость и. Масса г(т газа, втекающая в баллон через отверстие постоянного сечения ) за время Ж, составит Ре — возрастает, дости- Рт С уменьшением показателя политропы и значение гая при п=1 — "' = 0,607.
из Течение газа в трубопроводе. Важным для практики является также расчет течения воздуха (газов) в трубопроводе. Для вывода дифференциального уравнения установившегося течения газа в трубопроводе выделим элементарный отрезок его длиной с(х Фх (рис. 224, а) и, применив к элементарному объему газа с('й =— а =(е(х, показанному точечной .о Ь штриховкои, уравнение количества движения (неравномерностью распределения скоростей по сечению трубопровода пренебрегаем), напишем — т а) ирз 4 (Р+ ирз +с1р) — — — - тепле(х = = — ° — - т(х, (99) ирз Нрриз 4 их (100) С учетом неразрывности — =0 йги йх уравнение (99) принимает вид йр 4 е1и — — = — т +ри' +()ра —.
ях=ро йх Лля турбулентного режима течения, при котором средняя скорость потока и давление в каждом его сечении сохраняются практически постоянными (соответствует установившемуся режиму течения), можно принять 1з == 1 и соответственно 4~ — =о. 272 ф Ряс. 224. Расчетные схемы течения газа в трубе- где Е> — диаметр внутреннего проводе сечения трубопровода; т, = Х вЂ” — касательное напряжение сдвига слоев жидкости; риз 8 р и др — давление в данном сечении трубопровода и элементарное изменение его на длине бх; 1з — коэффициент, характеризующий неравномерность распределения скоростей по сечению трубопровода; и — средняя по сечению трубопровода скорость газа.
Преобразуем правую часть уравнения: прз и з ире И 4 . и (Рри)тех= 4 — з,— Нрри)и)'(х= В результате получим Ир 4то йи — = — + ри— йх В . йх Подставив касательное напряжение сдвига слоев жидкости ри 2 т =А— ив получим дифференциальное уравнение течения газа в трубопроводе +Х вЂ” +2 — =О, 2 (1О1) где р, и р,; р и р — соответственно абсолютное давление и плотность газа в начальном сечении (а — а) и в произвольном сечении (Ь вЂ” Ь) (рис.
224, 6). Кроме того, из условия неразрывности потока и=и,— ', р1 Р где и, и и — скорости в сечениях а — а и Ь вЂ” Ь. Учитывая также, что р, = р — ', Р1 альной форме имеем и = и, — ', или в дифференцир~ р — + — = О. ги 4 и р В соответствии с этим первый член уравнения (101) примет вид 2 р,р,и~ р Кроме того, так как Ке =— ийр р в рассматриваемом процессе практически не изменяется по длине трубои провода (ир == сопй, р =- сопз1, относительная шероховатость трубы й =- сопз1), то постоянным по длине трубопровода будет также и коэффициент трения Х.
273 где Х вЂ” коэффициент сопротивления трения 1этот коэффициент можно рассчитать по выражению (17) при условии подстановки средних значений входящих в него параметров). Проинтегрировав приведенное дифференциальное уравнение с учетом заданного газового процесса, получим уравнение установившегося течения газа в трубопроводе с учетом трения. Расчеты и опыт показывают, что вследствие'теплообмена течение газа может быть близким к адиабатному лишь при очень коротких отрезках трубопроводов (в местных сопротивлениях) и при больших перепадах давления (расширениях газа).
При длинных же трубопроводах этот процесс в обычных условиях более близок к изотермному, а при известной длине трубопроводов является изотермным, т. е. температура газа в этом случае сохраняется практически постоянной по всей длине трубопровода. В соответствии с этим при длинных трубопроводах,и в особенности при малых перепадах давления, справедлива изотермная зависимость р1 р Р1 Р С учетом этого интегрирование дифференциального уравнения (101) по длине 7. отрезка трубопровода даст (рнс. 224, б) 2 2 2 / Л Рг г р, — Рг = рги1Р1 ~Л вЂ” — 2 1и — ) . п Рг Так как логарифмический член в скобках последнего уравнения мал Е по сравнению с Л вЂ”, то этим членом обычно пренебрегают.
В результате В' получим упрощенное выражение Р1 — Рг = Л вЂ” ргп1Р1. 0 Из этого уравнения следует, что прн течении газов падение давления по длине трубопровода выражается степенной зависимостью, а не линейной, как это имеет место при течении жидкостей, что видно из уравнения (16). Введя в уравнение (102) число Маха М = — ' ггг где аг = 1/я Р' — местная скорость звука (см. стр. 262), получим г Рг 2 2 221 7.
Рг 1 Рг — Рг = ЬМ1Р1 ~ Л вЂ” — 2!и — г), Г2 Р,)' (103) Л вЂ” '= —,', ~1 — ( — ')'~ 1 или Л= — ",, ~1 — ( — Р)'~. 1 С учетом числа Маха дифференциальному уравнению (101) можем придать иную форму, подставив г!Р г2Р И 12 При этом получим Л риг 20 (105) — — И Р Общий характер изменения давления р по длине трубопровода показан на рис. 223, б. Течение газа может существовать лишь на участке кривой а — Ь. Отрезок кривой Ь вЂ” с соответствует сверхзвуковому течению. Точка Ь называется предельной точкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
