Bessonov2 (1063916), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1(этим нелинейные дифференциальные уравнения будут сведены к линейным). Каждому нелинейному уравнению будет соответствовать столько линейных уравнений, сколько отрезков прямых заменяют характеристику нелинейного элемента; 3) решение системы линейных дифференциальных уравнений. Каждому линейному участку характеристики нелинейного элемента будет соответствовать свое решение со своими постоянными интегрирования; ( ! 4) определение постоянных интегрирования исходя из согласования решения на одном линейном участке с решением на другом линейном участке Наиболее эффективен этот метод, когда характеристику нелинейного элемента с известной степенью приближения можно заме. нить отрезками прямых, расположенных таким образом, что когда одна величина, определяющая режим работы нелинейного элемента, например ток, меняется, то другая, например потокосцепление, неизменна.
Еще более эффективен метод, если отрезки прямых, заменяю- щие ~3АХ нелинейного элемента, могут быть взяты совпадающими с осями координат. Пример решения задачи для этого случая см. в ~ 15.51'~ — 15.53. ф !547. Аналитический (графический) метод расчета по первым гармоникам токов и напряжений. В этом методе по сложному закону изменяющиеся токи и напряжения на нелинейном элементе заменяют их первыми гармониками.
В расчете используют ВАХ по первым гармоникам в аналитической форме или в ниде графической зависимости. Основные этапы расчета в аналитическом варианте: 1) выражают аналитически ВАХ нелинейного элемента для мгновенных значений; 2) путем подстановки в нее первой гармоники напряжения или тока получают формулу, которая дает нелинейную связь между амплитудой первой гармоники тока через нелинейный элемент и амплитудой первой гармоники напряжения на нем!в качестве примера такой связи можно назвать формулу (15.19)1; 3) в уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму закону Кирхгофа, подставляют вместо мгновенных значений тока и напряжения на нелинейном элементе мгновенные значения их первых гармоник, а высшими гармониками пренебрегают; 4) уравнение разбивают на два уравнения: одно из них выражает собой равенство коэффициентов при синусных слагаемых левой и правой частей уравнения, другое — равенство коэффициентов при косинусных слагаемых обеих частей уравнения; 5) совместно решают эти два уравнения.
Основные этапы расчета в графическом варианте: 1) в качестве зависимости между амплитудой первой гармоники напряжения на нелинейном элементе и амплитудой первой гармоники тока через него берется нелинейная зависимость в виде графика. Эта зависимость может быть получена любым путем, в том числе и опытным; 2) произвольно задаются амплитудой 1, первой гармоники тока через нелинейный элемент, из графика находят соответствующую ей амплитуду первой гармоники напряжения на нем и затем путем построения векторной диаграммы по первой гармонике для всей схемы определяют амплитуду У, первой гармоники напряжения на входе схемы.
Построение векторной диаграммы производится так же, как и для обычных линейных цепей синусоидального тока, а именно; если не учитывать потери в сердечнике, то первая гармоника напряжения на нелинейной индуктивной катушке опережает первую гармонику протекающего через нее тока на 90', первая гармоника напряжения на нелинейном конденсаторе отстает от протекающего через него тока на 90', первые гармоники напряжения и тока на нелинейном резисторе по фазе совпадают; 3) путем построения нескольких векторных диаграмм для раз- 495 / личных значений У, находят соответствующие им У, и строячуВАХ всей схемы У, = Д1, ). Данный метод позволяет рассматривать такие нелине~йые явления, как преобразование постоянного тока в переменный~и обрат ное преобразование, явление резонанса на основной гармонике триггерный эффект на первой гармонике, некоторые типы автомодуляционных процессов. Но он не позволяет исследовать более сложные явления, как, например, резонанс на высших, низших или дробных гармониках и др.
Если пользоваться аналитическим вариантом этого метода, то решение можно получить в общем виде, что существенно, так как становится возможным исследовать решение при изменении любого из параметров цепи. Этот метод будет применен для анализа работы автогенератора (см. ~ 15.54) и для анализа работы разветвленной цепи с нелинейной индуктивной катушкой (см. пример 159). ф 15.48.
Анализ нелинейных цепей переменного тока путем использования ВАХ для действующих значений. В этом случае графический расчет проводят путем использования ВАХ нелинейных элементов для действующих значений, полученных расчетным или опытным путем. При этом полагают, что в действительности несинусоидально изменяющиеся токи и напряжения могут быть заменены эквивалентными им синусоидальными величинами (эквивалентность в смысле действующего значения).
Все этапы расчета рассматриваемым методом полностью совпадают с перечисленными в ~ 15.47 этапами графического расчета методом первой гармоники. Отличие между методами состоит только в том, что в данном случае используется ВАХ не для первых гармоник, а для действующих значений. Метод применен в дальнейшем для исследования простейших явлений в феррорезонансных цепях (см. ф 15.57 — 15.62). Если исследуют нерезонансные электрические цепи или резонансные, но для которых по тем или иным соображениям заранее известно, что в изучаемых режимах работы в них не могут возникать резонансные явления на высших и низших гармониках, то амплитуда первой гармоники тока, как правило, оказывается больше амплитуд высших гармоник тока. При этом действующее значение тока в цепи сравнительно мало отличается от действующего значения первой гармоники тока.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример: пусть ток в цепи содержит первую и третью гармоники и действующее значение третьей гармоники тока составляет 40 ~~ от действующего значения первой гармоники (1,=0,41,). Действующее значение несинусоидального тока будет ~Я+1~~= 1,075!„т. е. всего на 7,5 ",4~ больше действующего значения первой гармоники Р,.
Метод позволяет изучать некоторые свойства нерезонансных 496 электрических цепей, как, например, эффект усиления мощности. Для исследования свойств резонансных нелинейных цепей метод пригоден в ограниченной степени. Так, им можно приближенно исследовать простейший триггерный эффект(см. $15.59), но нельзя, например, исследовать резонансные явления на высших гармониках. Э 15.49. Аналитический метод расчета цепей по первой и одной или нескольким высшим или низшим гармоникам. Основные этапы расче1а следующие: 1) составляют систему дифференциальных уравнений цепи; 2) аналитически выражают характеристики нелинейных элементов и полученные выражения подставляют в дифференциальные уравнения цепи.
Искомую величину выражают в виде ряда, состоящего из первой и одной или нескольких высших или низших гармоник, например в виде х = х, ~э)п~1+ ~з~э1~(3~1+аз). Предполагаемое решение подставляют в уравнение системы. В результате этой подстановки оказывается возможным разбить уравнения системы на несколько трансцендентных алгебраических уравнений, составленных относительно амплитуды первой гармоники, амплитуд высших(соответственно низших) гармоник н их фаз. Число трансцендентных уравнений в общем случае в два раза больше числа учитываемых гармоник, поскольку для каждой из гармоник уравнение разбивается на два уравнения для синусной и косинусной составляющих. Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений.
Трудность состоит в том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит все неизвестные. Поэтому при решении часто используют метод последовательных приближений. Решение облегчается, если учесть последний абзац э 15.52. Расчет этим методом, как правило, громоздок. Однако метод позволяет исследовать такие сложные явления в нелинейных цепях, как резонанс на высших, низших и дробных гармониках и т. и. Рассматриваемый метод в литературе называют также методом гармонического баланса. Частным случаем его является метод первой гармоники (см.
Э 15.47). Э 15.50. Расчет цепей с помощью линейных схем замещения. Этот метод применим к расчету нелинейных электрических цепей, на которые воздействуют постоянные и синусоидально изменяющиеся ЭДС, если переменные составляющие токов и ' напряжений относительно малы, например во много раз меньше соответственно постоянных составляющих токов и напряжений. Последовательность расчета такова: 1) определяют положение рабочей точки на характеристике нелинейного элемента но постоянному току. В окрестности этой точки будет перемещаться изображающая точка под воздействием малой переменной ЭДС; 2) через рабочую точку по постоянному току проводят касательную к характеристике нелинейного элемента н производят замену учас~ка по характеристики отрезком касательной; 3) составляют линейную схему замещения для расчета переменной составляющей.
Вид схемы зависит от характера нелинейного элемента, а ее параметры — от тангенса угла, составленного касательной к характеристике и одной из осей координат. ЭВМ применяютдля: а)табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем алгебраических уравнений высоких степеней; б) табулирования решений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов; в) интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные уравнения при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов; г) численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых ВАХ нелинейных элементов предс1авлены аналитически, а также в некоторых других случаях.
г) Рис. 15.33 ф 15.5!. Расчет цепей, содержащих индуктивные катушки, сердечники которых имеют почти прямоугольную кривую намагничивания. Кривые намагничивания некоторых высококачественных магнитомягких материалов, например 65НП, 68НМП и др., близки по форме к прямоугольной: на участке Π— а (рис. 15.33, а) кривая почти совпадает с осью ординат, а на участке а — Ь расположена почти параллельно оси абсцисс. На рис. 15.33, а пунктиром показана предельная петля гистерезиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
