Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В данной задаче мы использовали рандолеизацию, которую можно рассматривать как прием планирования эксперимента. Схему эксперимента здесь составляют заранее, исходя из какой-либэ одной статистической концепции. 71 1 $ В РАИДОМНЗАЦПЯ, ДНСПРРСПОНПЫК АНАЛИЗ Однако далеко не ьо всох слученш рандомичаци удается осуществить гак просто. Часто па рапдоиизаци приходится налагать ограничения, обусловленные осо бенностями той или иной экспериментальной ситуации. Допустим, напргы1ер, что нам нужно несколько раз повторить цикл экспериментов, состоящий из четырех различных опытов, причем в течспие рабочего дня можно выполнить только три опыта.
В этом случае можно воспользоваться так называемым яеиааноблоч1!1ем сбаллнсирова1иеым пианол!, приведенным в табл. 3.1. Здесь буквами А,,%, К' и Таоиипа 3! Припер пеколпоблочкого ебалапсироиаппого плака Вариан"ы иеиыеаииа Сериа (бабки! + + + и! обозначены различные варианты испытаний, а цифрами $, 2, 3, 4 — номера последовательных серий, обычно называемых блоками. Знак а+» обозначает, что испытаппе проводилось, знак а — э — что испытанпе не выполнялось. Втот план называется неполноблочным потому, что в ко!ядом блоке опущено по одному варианту испытания, и сбалансированным потому, что варианты испытаний распределены симметрично относительно блоков.
Например, испытания 4 и 93 совместно встреча!отея дважды: в тротий и четвортый день; аналогично, испытания ге' и Ю встроча1отся совместно в первый к второй день п т. д. Порядок проведения испытаний по дням (блокам) полностью рандомизирозан. Такая схема проведения опытов позволяет производить раидомиеацкю с, налобкенным ограничением — в блоке вместо четырех все! о трв варианта испытанпй.
К планам подобного типа приходится обращаться 72 мктоды, ОснОвАнные НА иэу'1вн1 и Расскяния !Гл !!! и в других ситуациях. Может, иапример, оккэатьсн, что материал для эксперимента поступает малыми лвртпямя, и поэтому на кал!дой партии можно осуществьть всего три варианта испытаний, а всего лх надо сделать четыре. Тогда опять можно обратиться к схеме, приведенной в габл.
3.1, но здесь блоками слуящт уже партии матери ала. Для представления результатов, полученных ио олой схеме, испольвуется линейная модель уя = р -(- 1>! + Т)+ с;;. Здесь у>, — результат эксперимента, относящегося к той клетке табл. 3.'1, которая находится на пересечении (-й строки и )-го столбца; )2 — математическое о>кидалие для среднего по всей таблице )2 = >н (рн); >х! — матоматическоо ожидание эффекта 1-го блока; Т, — математическое ожидание эффекте )-го варианта испытаний; ем — ошибка эксперимента в клетке с индексами !), Предполагается, что случайная величина е имеет нормальное распределение, пулевое среднее и дисиерси!о а'(е); это аапнсывается в виде Л' (О; а>(е)). Цель исследонання закл!очается в выявлении межблокового эффекта и эффекта, связанного с изменением вариантов испытаний.
Обработку результатов пабл>оделий производят л!етодом дисиерсионпого анализа: оцелива>отся дисперсии, характеризующие рассеяние, связанное с ошибкой эксперимента, межблоковое рассояние и рассеянно, определяемое эффектом изменения вариантов испытания. Для этого вычвсля>от следу>ощие суммы квадратов: 1) общу>о сумму квадратов о '>'>ссщ, хаРактеРизУюЩУ>о обЩее Расселине РезУльта>ов наблюдений относится ьно среднего по всей таблице; 2) сумму квадратов б>',Уав, определяющую рассеяние средних по блокам относительно общего среднего (различие в вариантах испытаний при этом игнорируется); 3) сумму квадРатов Озрвсп, опРеДелЯк>ЩУю эффект изменениЯ ваРиантов испытаний, скорректированный по блокам (симметричность табл. 3.1 позволяет легко выполнить такую коррекцию).
Далее по разности находят сумл>у квадратов для ошибки опыта: б> Уев, = .УО'сс>щ — >">'сл — й>'с(ьтв. Поделив суммы квадратов на соответ1:твующие степени свободы (степенью свободы называется число лаблюдений минус ! !! РА117!Омя!!Аинл. дпсикРсионнып АНАлиэ число оцениваемых параметров), находят средние квадраты (дисперсии) и, пользуясь )г-критерием, проверя!от гипотезу о статистической значимости дисперсии, заданной эффектом испытаний, а затем, проделав такую же процедуру с корректировкой по испытаниям, проверя>от значимость дисперсии, связанлой с рассеянием по блокам. Напомним, что сравне>ше двух выборочных дисперсий 22 и 22, найденпыхсо степовяив свободы й в )и провзводнтся с помощью ' 2' д-крвтервя: с ((2, )!) =- 22(22.
Воля эмппрв>сскв найденное зпаченпо с превосходит пскотороо критическое значенпе, то првнвмаетсл ш>потеза о том, что выборки взяты пз двух разных совокупностей, причем аз ~ аз; нуль-гвпотоза формулпруотсл так: ие: аз — - а> з—— — О.
В лпсперснопном анализе ощвщсля!от две дпсперспн: одна пз ввх с вуясвт оценкой для рассеяпвя, задаваемого оп>пбкой опыта 22 а'(з), вторая задаотсл рассслнвем взучаеиых факторов, В простейшем случае 22 ат(е) + яаз(Т>, где Т вЂ” изучав>шй фактор, в — чпсло параллельных определшп>й. В помощью днсперсиолпого отяо!покоя Д (й, й) =- 2~~(221 проверяется пуль-гипотеза аз(Т) = О. ()ту процедуру можно еще вите(шретвровать сл! ду!ощвм образом. ((с,.п! фактор Т взрьвруегся на й уровнях в ва каждом уровне лопается в параллельных опытов, то ваи нувшо сравввть двсаероию, зада- ВаоМУЮ РаССЕЯНИЕМ й СРЕДНПХ й>, Уы ..,, Ух, С ДВСПЕРСпой а) (С)(Я, оаределясиой о>авбкой опыта.
Ыы можем ваавсатьйе 22 ае(в)(в+а','Т> аз(е)+па'[Т) 22 аз (е))я са (з) Вслв првввмается нуль-гипотеза )72 ! оз —.—. а>, то аз(Т) = О, н, слодоватсльао, рассеяние между среднпин задается только ошибкой опьгга, б>ор>!улы длн вычяслеппя 22 п 22 построены так, чтобы онн дзсалн дес лсзавпспиые оцопкп аз>е), когда взучаомый фактор 7' остается постоянным. Если результаты дисиерсионного анализа показывают па существованио значимого различия в средних для раз лых испытаний, то дальше распределя>от средние но столб цам, ран>киру я их по величине, и выясняют, между какимл средниии существует значимое различие. Здесь от обобщенного анализа — анализа дисперсий, переходят уже к индивидуальным срппнениям всех средних не>иду собой.
ирнчсм ! бьшно и!пользуется хорошо известный критерий Дункана )33!. 74 мктод11, Огповлпнык кл пзучегпп! Рлсс!'яник !Гл. 1п ! !! РЛПДОМПЗЛЦИЯ ДПСПК1НЗ!СПП! !и ЛПЛЛПЗ Возможны ситуации и с более сложными ограничениями на рандомизацп!о. Пропил!острируем это на примере из книги Хикса (331. Допустим, что имеется четыре марки шин А, %, гз, Ю, которыо нужно испытать на четырех различных колесах четырех !!щпин разного типа. В этой задаче ужо имеется дв1 ограничения на рандомизацкю— положение колеса и марка гпппины.
Для ее решения моек- но построить план, назынаемыи лая!инск!лм квадратом (табл. 3.2). В латинском квадрате ка1кдый париант испытания (в нэпам случае марки шин) появляется один и только один раз в каждом столбце (тип автомашины). Табл гци ЗЗ Пример латины ого квадрата раемером 4 к 4 1331 Лиген~осине ПО н н~ен ин ноле п! !н Рандомизация здесь заключается в том, чтодля каждой конкретной задачи латинский квадрат выбирается случайно из всех возможшзх латинских квадратов требуемого размера (таблиць! латинских квадратов можно найти, например, в !42!). Латинские квадраты могут применяться, конечно, не только в технологических, но и в чисто лабораторных ситуациях. Ничего пе изменится оттого, что в табл.
3.2 автомобили мы заменим четырьмя раэличпымп тяпал!и лабораторных приборов, в колеса — различными ва! адьами к ним (подробное о латинских кпадратах см. [431). Розуль таты паблк!доний, приведенные в гаол. 3.2, представляются линойной моделшо! Удн = Р,'- з', + Т! .1- !У! + гпг, Здесь каждой клетке приписано три индекса 1, 1 и /г, пос- пример греко-натовского книдоата 1331 Лнтонооиль Полон~ение нолнгн 1 ) ! 11!+~. ! ойи ЮЬ ньло зй!3 ,йб Яг '6а ,:йР .ЖЗ приводенныйв табл, 3,3.
Его неудооство — слишком большая насыщенность паучаемыми факторами малого числа кольку имеется три фактора: марка маши!и!, полол!ение колеса и марка шины. Вйн1тветствсппо с этим, в прову!о часть уравнения, кроме математического ожидания для среднего по всей таблице р, входят три члена, характеризующие эффекты, связанные с упомянутыми вьппе факторами: последний члон ее!и, как обычно, задает ошибку. Анализ экспериментального материала ведется почти так же, как н в предыдущем примере. Подсчитыва1от суммы квадратов для копкдого из зффсктоя и для опшбкп (по разности), затем пороходят к дисперсиям и с помощьн! Р-крнтерия оценивают их значимость по отпоя1еня1о к дисперсии, задаваемой ошибкой опыта. Планы подобного рода могут сколько угодно уело,княться в соответствии с теми или иными реальными ситуациями.
Мепкет оказаться, например, что в латинском квадрате придетсн опустить однц столбец — тогда он превращается в так паэьгваемый квздрат 10дена. Такой план может понадобиться, ко!да, скажем, изучается поведение четырех видов изделий на четырех приборах, каждый из которых имеет только по три насадки, Наконец, может потребоваться ввести третье ограничение — четвертый фактор с уровнями а, К '! и б. Можно сделзть так, чтобы они появлялись один и только один раз в сочетании с каждым из уровней основного исследуемого фактора А, зй!, 1е и Ю. Мы получим так называемый греко-латинский квадрат, Рнблица 33 ху я 76 ми!оды ООИОВАннь11, ИА пах~!гнпп РАсокяппп 11,п и! экспериментов: кал;доя пз пя!и дисперсий будет оцгяиваться здесь только с громи степенями свооодь!.
Следующий шаг — построение латинского куба (43). На рис. 3.1 приведен латинский куб для трехмерного пространства (й .=- 3), использовашпийсп при разработке нов ого полимерного материала ') (44 ) . В этой работе з программу последования были включены трк вида пластпфпцпрующвх светом (трз уровня фактора х,), трк вида стабзлпапрующих спетом (трз уровня фактора зь), копцоптрация одяого пз оснознь!х впгродвептоз — трехосповкого стеарата свинца, Рве.
3,1. Графвческое взображепио латинского куба, яспользозанпого прв разработке нового колпыерпого ыаторпала (44). вауьвРУемав также ка гРех УРозвлх (хз), и дозлгь виДов заполнителей, обозначенных па рпсупко бук вахш 6,,6, гб, Ю, М, Я', л, тг", .7. ') Здесь ивтореско обрат!Пь зппмакве ка то, что построокпо латпнскпх квадратов в зубов — зто давно пззгствыг задачи комбпкаторной магемапжп. Вып закпмалпсь как своеобразным пптоллектуальвым развлечением. Так, 1!плср еще в 1779 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
