Крутов В.И. - Техническая термодинамика (1062533), страница 91
Текст из файла (страница 91)
189. График показывает, что при некоюром значении скорости' нн функция распределения имеет максимум, Эта скорость и'„называется наиверояпзнейшей, так кан скорости, близкие к тв„, чаще всего встречаются в массе частиц. Следует при этом заметить, что число частиц с очень большими и очень малыми.скоростями оказывается сравнительно небольшим, но они тем не меяее всегда имеются в любой системе. 427 Для определения () можно воспользоваться уравнениями, приме' няемыми для определения давления гара на стенки сосуда, в котором он заключен.
Так как р)т = й/йТ, то р = пйТ, где п = Ы)т. С другой стороны, давле- Для определения наивероятнейшей скорости ово достаточно прн. равнять нулю производную от функции распределения! — го(ш) = — (шое- '«"г1) =О, дм — дм откуда 2ове-~о'аоот) [1 — тао)(2йТ)) = 0 гво (ю) = — ( аР)о (в) бш = [т((2пйТ)о~' ~ во е-о'"'и юг> йш = 8ИТ(т и нлп )/ 2яТ/т. (887): редняя ш и среднеквадрау)дная (во]ох скорости частиц ансамбля определяются соотношениями ы= — ) ~ ~ 1д =! л2 Йо1 ) Р— мо пй =у~ът~~ ~. и о о . гз (888) = Фи Следовательно, (пл)' ~о = )/ 8АТ(т, (889) Сравнение лолученных выражений показывает, что значения всех трех характерных скоростей близки между собой и определяются соотношениями ов,: ои: (аР) ив = 1: 1,13: 1,22. Закон Максвелла описывает распределение частиц по скоростям', ~ в предположении, что полная энергия частиц совпадает в их кинетической энергией поступательного движения.
Однако на практике ветре. чается много случаев, когда ансамбль частиц находится во внешнем силовом поле. В этом случае полная энергия частиц Е = Еоооо + Еооо~ где Е„„тиР!2 — кинетическая энергия поступательного движения; Е, — потенциальная энергия во внешнем силовом поле, зависящая от координат. С учетом действия внешнц» потенциальных сил выражение (888) получит вид г" (ов, г) =п [тl(2пйТ))зло во е о'~*иыг'+еоооног1„ ) Распределение, удовлетворяющее этому выражению, называется распределением Максвелла Болоцмана. Следует заметить, что это распределение можно рассматривать в качестве произведения вероятностей двух независимых ' событий: 428 вероятности данного значения скорости ) (цг) и (ги)(2лй)"))о/2 гво е - 'изот! ! (890) и вероятности, отвечающей.
данной величине иогсггцнальной энер'гии, ! (Е) — и е еооомотг (89!) Здесь ио — плотность частиц в плоскости г = О. Выражение (890) описывает распределение частиц в пространстве скоростей и является уже известным распределением Максвелла. Вы- ' ражение (89!), описывающее распределение частиц в силовом потенциальном поле, называется распределением Больцмаиа. Одним из наиболее часто встречающихся случаев больцмановско. го распределения в силовых внешних полях является распределение частиц в поле силы тяжести (Е„„= гней). В этом случае й=йое — ~топот! (892) Полученное соотношение называется барометрической формуоог). Она описывает распределение плотности- или давления газа по высоте и. Распределение частиц газа по скоростям на каждой высоте (при й = сопз!) при этом подчиняется максвелловскому, Распределение атомов нли ионов по возбужденным состояниям и =ио ~' е= ьи (893) яо где Е, — энергия возбужденных электронных уровней атома илн иона; д„я — статистические веса возбужденного и основного состояния атома или иона (обычно дь до ж ! —: )О); и„— концентрация ча - .
тиц в невозбужденном состояний. Распределение заряженных . частиц- в,электростатических полях имеет вид и=и е — аггот~ о (89!) где Š— разность потенциалов, . Приведенные примеры больцмановского распределения частиц з силовых внешних полях свидетельствуют о большой практической значимости полученных соотношений. 5 ИУ.
Квантовая статистика. Распределение Гиббса В классической механике состояние любой системы полностью определяется,координатами н импульсами всех ее частиц. Если для ко кого-то момента времени этн параметры заданы, то состояние системы - этот момент будет определено однозначно. В квантовой механике дело обстоит значительно сложнее,.так как в этом алучае координата и импульс, энергия и время, а также другие пары динамических вели. чин, характеризующие состояние любой микрочастицы, не могут одновременно иметь строго определенные значения. Зта ситуация объос няется так называемым принципом неопределенности Гейзенберга смысл которого характеризуется известнымн соотношениями Арах й и Лейт й, гдето — постоянная Планка; Лр, Лх, Ле, бт — мера неопределенноет импульса, координаты, энергии и времени соответственно.
Таким образом, в квантовой механике нельзя точно определит состояние системы, в связи с чем определяется лишь вероятность нкг хождения системы в каком-то одном состоянии из числа многих воз' можных. Кроме того, квантовое рассмотрение систем в отличие от класси ческого позволяет учесть дискретный характер энергетических соя. таяний системы. Это очень важно, так как попытки применения ста.
тистнки Больцмана для квантовых про)хессов приводят к количествен-. но н качественно неверным результатам. - Пусть в большой системе, состоящей из У подсистем, осуществляется обмен различными формами' энергии, но не слишком интенсивно. В этом случае каждой из подсистем можно приписать свое, индивиду- ' альное значение Ез и тогда полная энергия системы Е = ~Р,Ея Однако из-за принципа неопределенности макросостояние любой: подсистемы, а следовательно, и всей системы в целом в каждый момент времени не может характеризоваться каким-то определенным значе- " нием энергии Е. Поэтому можно только утверждать, что значение .
энергии подсистемы (или системы) определяется каким-то достаточно". узким интервалом между Е и Е + ЬЕ, где Е )) АЕ. Кроме того, вса' ' состояния с различной энергией характеризуются и различными вероятностями. Если нескольким различным состояниям системы отвечает одна и та же энергия, то такие состояния называются вырожденными, з число состояний с одной и той же энергией называют кратностью вырождения или статистическим.весом.
Величйна ЛЕ достаточно мала, поэтому в интервале энергий Е -Е ЬЕ все состояния системы равновероятны. Пусть Я вЂ” вероят- 'ф ность нахождения подсистемы (или системы) в определенном энерге. тическом состоянии. Эта вероятность будет равна отношению числа возможных состояний, при которых система имеет энергию в интервале Š— (Е ~ ЬЕ), к общему числу состояний системы: (е = т) (Е; ЬЕ)/т) (Е; ЬЕ) = ехр [!и т) (Е„) — !п и' (Е)!, или Я,„= я, ехр ( — фЕ,„)%Е, ехр ( — рЕ„) = й, е-затух, (895 где г = ~д, ехр ( — рЕ ).' езб Параметр г называется статистической суммой термодннамнческой системы„которая определяется суммированием по всем со тояниям; г=Хд,е а»=Хд,е р' '+ '+ "+ /~ (896) '.
илн Различным уровням внутренней энергии атома ее, е„..., е соответствуя/т различные злектроннтяе конфигурации и статистйческая сумма по возбужденным электронным состояниям гх /дое — а" +мхе-Е' +... +д„,е-а'л~. ' (899) Для многих задач можно ограничиться только первым членом, соответствующим .основному состоянию (е, = О). В этом случае . г;=д,е- ° =д,.
-ее, Тогда для одноатомных газов г = йо (й//п) (2ипйТгйх)х/г = хх,д/,(йТ/р) (2лтйТ(йх)з/г (9()9) где Ф вЂ” числа атомов;(молекул) в системе; и — плотность аточов (молекул)„йм —.статистический вес различных состояний; Й,.й — постояиные План.ка н Больцмана; т — масса атома (молекулы). Для систем, состоящих из двухатомных .газов, где Е, и ń— энергии вращения н колебания .молекулы. 3 этим слу'чае )' 3/2 аегьт г = в аь ЬТ ( 2итаТ гх~ = 6т /ехр ~ — — ) г/ — тй е — ея ж фх Здесь / — момент инерции молекулы; ч — частота )холебаний. х чз1 г = гхгх ...го где Е,, Е„..., Е; — энергии, соответствующие различным степеням ° свободы системы.
Свьредеяим, напрнмеу, статистическую сумму для,систем, сосгоящкя . мз одиоатомншх н двухагамных газов. )гля аднватомных газов г=г,г,=Ей,е 'Вахе-'еач (89/) где Е„ и Е, — энергия поступательного движения и энергия возбуж/денных электрангнык состояний сисеемы соответственно..' Статмсвневскня сумма по,состояниям„соответствующая поступа-. тельному движению, г„= (2лтйТ//Гх)х/х(/ = (2ятФТ/и')'/х (й//и)'. (898) Статистическая сумма квантовых состояний й! подсистем обра.
зуется из'параметров, полученных для одной молекулы, путем возведения в степень: г = г~~/й!! 1/)Ч! (г„г,г„г;)". (901) Распределение вероятности, как следует нз определения, должно быть равно единице: ~9„= 1; - Рассмотрим две взаимодействующие друг в другом подсиетемы, ко-. торые находятся в тепловом равновесии и, следовательно, обладают одинаковой температурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
