Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 143
Текст из файла (страница 143)
|е.т.з. |ТлАНИРОВАнни зкстримдльных эксинриминтов Планирование экстремальных эксперимйнтов позволяет решать задачу оптимизации объекта исследования, которая сводится к отысканию таких значений управляемых переменных х|, хз, .„, х„| при котоо е о ых целевая функция достигает экстремума. и экспериментальном поиске стационар. иой точки хз в факторном пространстве переменных Х осуществляется локальное изучение поверхности ат)глина по результатам ряда экспериментов, специально спланированных вблизи текущей точки. Экстремальное значение 'отклика достигается с помощью многократной последовательной процедуры изучения поверхности и продвижения в фактарном пространстве (3].
Ниже рассмотрены два типовых метода планирования экстремальных экспериыенхйр, отлича|ощнхся способом определения направления движения к экстремуму н организацией самого движения. 1. Метод крутого восхождения (метод Вакса — Уилсона) Планирование эксперимента в соответствии с этим методом, со. 3!з стоящее нз двух взаимосвязанных частей— пробных движений, предназначенных для выяснения направления и скорости движе- ния, и рабочих, осуществляющих прадвиже. ние или «крутая восхождение», к экстрему- му, производится в следующей цоследова| тельности| 1.
С центром в начальной тачке х| про- водится ПФЭ или ДФЭ с целью оценки гра- диента функции угаду(х,). Поскольку ка- ордянатами вектора градиента ! ду ду ду Х йгабу(х) =1 —, —, ..., — 1 (дхя ' дхз ' дхл! (1О. 37) служат, как известно, коэффициенты при ли- нейных членах разложения функции у(х) в рид Тейлора па степеням х| (1=1, 2,, л), то соответствующие компоненты вектора градиента могут быть получены как коэф- фициенты Ь~, Ьз, ..., Ь линейной аппрокси-.
мации поверхности отклика вблизи исходной точки хи А у(х) Ь, ] Ь,„Х(Ь...+...+Ьлх.. (10 38) Проведение эксперимента, вычисление . коэффициентов линейной модели и стати- стический анализ результатов проводят в соответствии с рекомендациями, приведен- ными в п. 10.2.2.
2. Вычисляются произведения Ь,Ьхь где Ьх, †ш варьирования параметра х| при проведении ПФЭ, и фактор, для которого это произведение максимально, принимает- ся за базовый, т. е. шах (Ьз Ьх,) = ЬЗ Ьхз . (10.30) 3. Для базового фактора выбирается шаг варьйрования при крутом восхождении Х„ =Ьхз или вводится более мелкий, 4. Определяются размеры Х„ по осталь- ным переменным процесса хг(]ее|). По- скольку при движении па градиенту варьи- руемые параметры должны изменяться про. порционально коэффициентам Ьг=ду/Ьхг (компонентам вектора угаду(х)], то соот- ветствующие Х|зз находятся по формуле Х)юз = Х„, (10АО] Ь)Ь 7 ] Ьз Ьхз ! где Хзз и Ьх| всегда положительны, а коэффициент Ьг берется со своим знаком, 5. Производится так называемые мысленные опыты, которие захлючаются в вичислении «предсказанных» значений выхо. д да урра(хл) в определенных точках хь факторного пространства (рис.
10.5, о). Для этого дезанисимые переменные линейной модели объекта изменяются с учетом (10.40)' таким образом, чтобы изображающая точка х совершала шаговое движение в направлении вектора угаду(х), полученного выше, занимая пасяедовательио положения хз, хз, ..., х,„. Оптимизация уеилофитичесиого эксперимента Равд. 10 речение пе лч йя» 'у) Рис.
10.5. Метод крутого восхождения. и — иллюстрация двнжсвня к экстремуму, 'б — срзввсявс ярсдсквзвккмк е(хт к нвбзюдснямв знв. всяка евка (х). Ут ь = Ьв+" ) —, Ь=1, 2, ..., ш. л Ьх) ! ()чевидно, 1-я координата Ь-й точки будет( 'хьу = х(1+ Ь)э(кв', г' = 1, 2,:, и,(!0.41) тогда (10. 42) Вычисления по формуле (10.42) можно упростить, заменив (10.42) выражением Л Л упри = Ь упр( (Ь вЂ” 1) Ьвэ Ь = 1 ° 2э ° ° ° ° ш, (10.43) или еще более удобным рекуррентвым соотношением л л 'гл' Уирл = Упри-(+ (Упит Ьэ) Ь = 1, 2, ..., т.
(10.44) 6. Мыслешсые оцыты продолжаются до тех пор, пока выполняется неравенство Л Упри < (1: 2) Уывкс (10 45) где умз — максимально возможный вы. ход, определяемый из физических соображений. Если условие (10.45) нарушается при Ь(3, то шаг Лмв следует уменьшить, и, наоборот, когда Ь слишком велико, нада шаг увеличить.
Таким образом, мысленные опыты помогают подобрать подходящий шаг (( в. 7. Некоторые из мысленных опытов (обычно через каждые два-три мысленных шага) реализуются на объекте для проверки со((тветствия аппроксимации объекта ги- перплоскостью.
Наблюдаемые значении д Уэвс» сРавинваютсЯ с пРедскаэаниыми'Уяр (рис. 10.5, 6). 8. Точка х, 'где в реальном опыте получено максимальное значение выхода, принимается за новую начальную точку, в окрестности которой снова проводятся ПФЭ и ДФЭ, и цикл крутого восхождения, описаит ный выше, повторяется. 9. Поскольку каждый цикв крутого восхождения приближает нас к области экстремума у(х), где крутизна поверхности отклика меньше, то для каждого последующего цикла Хв1 выбирается равным или меньшим, чем для предыдущего. 1О, Поиск прекращается, когда все коэффициенты Ьэ (1=1, 2, ..., и) линейной модели объекта получаются иезиачимыми.
Это свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции. П, Симилексный метод оптимизации. Основной особенностью симплексного метода поиска является совмещение процессов' изучения поверхности отклика и перемещения по ней. Это достигается тем, что эксперименты ставят только в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплексов.
л-мерный симплекс — это выпуклая фигура, образования и+1 точками (вершинами). Так на плоскости си)гплексом является треугольник, в трехмерном пространстве — тетраэдр и т. д. Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны. В основе испо,пьзования симплекса для целей оптимизацей лежит следующее„его важное свойство: из любого симплекса мож. но, отбросив одну из вершин и использовав оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всега лишь одну точку, Путем последовательного отбрасывания вер. $10.2 Элементы планирования эксперимента 'Сто=к -(-р(рЬх,, 4Ьк„. чбкн); Сз х + р (йбхт, рбмз, ..., 4Ьхн); .(10 46) С„+, — — х +р(4Ьхт, о убха, ° °, РЬхн), где р= — (л — 1+3~ и+1 ); пФ 2 д= — 1 (Г' и+1 — 1).
п1' 2 (10.47) 1\ля двухфактоо1зиой задачи координаты вершин сч, Сз, Сз начального симплекса о при р=! приведены в табл. 10.9. Положение начального симплекса в факториом поостранстве для этого случая дано на рис. 10.7. пгяи можно осуществлять перемещение симплекса в факториом пространстве, причем эта перемещение будет происходить с каждым экспериментом; Если произвести эксперименты в верши.
нах симплекса, то очевидно, что направление максималыюго подъема поверхности отклика, определенное на осповании сделанных замеров, будет проходить из центра снмплекса через грань, противолежз|цую вершине с минимальным значением выхода у, Поэтому для продвижения к экстремуму естественно перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более вщ(экого значения отклика, путем отбрасыйания вершины с минимальным выходом у и построения регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным отображением отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным откликом и построения нового симплекса повторяется, в результате чего формируется цепочка симплексов, перемещающихся в фзкторном йростраистве к точке экстремума (рис.
10.6). Снмплексный метод оптимизации осуществляется в следующей последовательности: 1. Из априорных сведений о процессе задается шаг варьирования Ьх; (1=1, 2, ..., ..., н по каждому фактору хе. . Задается размер симплекса р, т. е. расстояние между двумя вершииамн в едн.
ницах (шагах) варьирования соответствующях факторов. 3. Производится Рриентация первоначального симплекса. Для этого одна из вершин С, помещается в исходную точку хо 'о Положение остальных вершин начального симплекса определяется с помощью векторол: Рис. 10.6. Оптимизация симплексным методом. Т'а б л и ц а 10.9 Коордянаты вершин симплекса со 1 х„ м„ ьо «,.+еЬ», х»+мах, пзо м„+ЕЬм, (ко+Рель 4. Реализуется эксперимент в вершинах симплехса, т.р. при значениях варьируемых параметров хь соответствующих координатам вершин Сь Сь„,, С„+ь Наблюденные значения выхода в соответствующих точках будем обозначать ун, где 1— номер симплекса, а 1 — номер вершины 1-го симплекса. 5. Точка Сн в которой наблюдается минимальный отклик, т.ес выполняется условие уг) = ш1п ум, отбрасывается и находиуся вершинаСо+пг следующего симплекса — зеркальное отображение Сп относительно оставшейся грани.
Координаты хз (1 1, 2, „,,п) точки ия с ьг г Ьау 0 Ьжг Рнс. 10.7, Определение координат вершин регулярного симплекса, Оптимизация твллофизическога эксперимента Равд. 10 Си обозначим хи<, тогда для Си+<и имеем: 2 х<РР<ц<= (хы +хи +" ° +хц)-О -)- + Х 1<и+1 1<) —:«, 1 = 1 2, ..., и. (10. 48) Если в результате эксперимента в двух вершиаах симплекса окажется одинаковое минимальное значение выхода, Т.а ц<1 = ц<А пип цО, (10. 49) ао решение о дальнейшем движении сим.
плекса принимается случайным образом (например, бросанием монеты). , 6, Нроизводится эксперимент в вершине С<1+ш нового симплекса Со+пи Си+из< Са+,12; ..„. Си+и< то и его результаты у<+, солоставлянпся со значениями выхода в остальных вершинах.
Затем повторяется процедура отбрасывания вершины с минимальным выходом. Если значение выхода у«+<11 во вновь определенной вершине снова окажется минимальиыы, то осуществляют возврат и исходному симплексу н отбрасывание вершины со следующим по порядку минимальности значением выхода. 7. Критерием выходи в район интиму. ма служит прекращение поступательного движения симплекса. Он начинает вращение вокруг одной из вершин (т.е. одна и та же точка встречается более чем в а+1 последовательных симплексах). Подобная ситуация может возникнуть в двух случаях. а) более высокий отклик в указанной точке получился в результате влияния ошибок эксперимента. В этом случае повторный эксперимент проясняет картину и поиск точки экстремума продолжается в прежней последовательности; б) если повторный эксперимент в сомнительной точке вновь даст самое большое значение отклика, то, очевидца, данная вершина находится в непосредственной близости от точки экстремума и поиск прекращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
