Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 141
Текст из файла (страница 141)
1О Для проверки указанной гипотезы применяется Г-критерий (дисперсионное атно. шение) Е = И~/ зз, (10.2!) распределение ноторого (Р-распределение Фишера) зависит лишь от числа степеней свободы ш=а1 — 1 и тз=из — 1. При проверке нуль-гипотезы (ог — аз — — О) о равенстве 2 двух генеральных дисперсий нужно различать два случая. 1.
Когда с нулевой гипотезой конкурирует альтернативная гипотеза а1,.» озз, то в 2 качестве критической области выбирается область больших положительных отклонений. Для выбранного уровня значимости у граница критической области находится нз таблиц Е.распределения (табл. 10.4 и 10.5). Если найденное из наблюденяй значение Р-критерия оказывается меньше табличного Р«(ть тз), то нуль-гипотеза о равенстве двух генеральных дисперсий ве отвергается, и наоборот. 2. Когда с нулевой гипотезой конкурирует альтернативная гипотеза аз~ох, то 1 2 критическая область для Е-критерия состоит из двух интервалов: интервала «больших» значений, удовлетворяющего неравен.
ству Р)Р», и интервала «малых» значений 0(Р(Еь причем границы области Е, и Ез подбираются так, что прн уровне значимости у Р[Р)Р) = 2 ' Р (Е < Е'1] = —, (10.22) 2 Поскольку левая критическая точка Е-распределения соответствует правой критической точке Р'= 1/Р-распределения, то для определения Р| и Еь необходимо най. ти только правые точки для Р и Е'. Ввиду указанного свойства табулированы только правые критические точни Р-распределения (см.
табл. !0.4 и 10.5). Принято отбрасывать гипотезу, когда Р(Е) 1) превосходит верхнее критическое значение для уровня значимости 1/2 —, 100' при этом вся критическая область критерия будет отвечать уровню у/100. Процедура проверки гипотезы о равен. стве дисперсий ананогична рассмотренному выше случаю.
Приме р. Имеются две выборки объемом л,=17 и и»=13, для которых рассчитаны оценки зз — -0,0295 и зг — — 0,0139 (э~=16, 1 2 тз-- 12). Проверить гипотезу о равенстве дисперсий при 57ь-ном уровне значимости. Находим диспереионное отношение: Р =- зз/з21 = 0,0295/0,0139 = 2,12. По табл. 10.4 для т,=!5 и Т2=12 Р„, = Рз зИ =-3.!8; = 2,12 < Рнгз — —. 3,18, следовательно, данные выборки не противоречат принятой выше гипотезе. Рассмотренные в настоящем параграфе методы позволяют решать широкий спектр задач, связанных со статистической обработкой данных теплофизического эксперимента: вычисление среднего значения, дисперсии, построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и т.
д. Все эти методы понышают достоверность и надев«ность выводов, делают сопоставимыми результаты отдельных исследований. Типовые статистические методы обработки опытных даняых имеют самостоятельное значение, а также широко используются при планировании эксперимента. 102, ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА 1а.2.1. хАРАктеРистики ОБъектОВ ИССЛЕДОВАИИЯ И РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью [1, 2]. Планирование эксперимента обеспечи.
вает оптимальное исследование разнообразных объектов в смысле: 1) минимизации числа опытов и, следовательно, времени и затрат; 2) реализации специальных планов эксперимента, предусматривающих одновременное варьирование всеми переменными; 3) использование аппарата математической статистини, позволяюшего формализовать многие действия экспериментатора и принимать обоснованные решения после каждпй серии экспериментов. Методы планирования энсперимента могут быть применены для объектов, про.
цессов, теплотехнических установок различного типа (см. равд. 8 и 9). Однако эффективность этих методов существенно ловы. шается в случае, сели характеристики объекта исследования удовлетворяют определенным требованиям. Все множество факторов, определяющих работу исследуемого объекта, можно разделить на (рис. !0.4, а): а) контролируемые управляемые переменные кь хз, ..., х, которые в процессе экспериментирования могут изменяться в соответствии с некоторым планом.
Будем в дальнейшем считать, что эти переменные взаимно независимы и точность их установки достаточно высока; б) контролируемые неуправляемые переменные ш гз .. в) неконтролируемые возчушения Аь й», ..., Аг; г) выходные переменные, целевые функции уь уз,, уь Элемент»1 планирования эксперимента, 479 5 10.2 Рцс, 10.4. Структурное представление объ. екта нсследования. На рис.
10.4, б дана преобразованная схема объекта исследования с одной целевой функцией у,=ц~ч-аь где ц» — истинное значение выхода при 1-м кспернменте; в~в адднтивная помеха, соответствуюшая 1-му эксперименту, образованная за счет суммарного действия неуправляемых переменных. Предполагается, что зависимость Чг(х) «гладкая», т, с.
дифференцируемз и может быть предстанленз разложением в ряд Тейлора. Помехн е; — незазяснмые случайные числа, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами М(в) =0 н а 3 .=сопз1 для каждой фиксированной комбинации уровней составляюп1их вектора х. Этим условиям удовлетворяет широкий класс объектов; промышленные агрегаты, полупромышленные и лабораторные установки.
Планирование эксперимента прнменяется прн решении следующих типовых исследовательских задач: 1) определение (отсеивание) наиболее значнмых факторов; 2) количественная оценка эффектов влияния отдельных факторов и их взаимодействий на целевую функцию; 3) поиск оптимальных условий; 4) построение математической модели исследуемого объекта; 5) уточнение коэффициентов, констант, теоретических модечей, описынающих механизм явленнй, и выбор нанлучшей модели из ряда конкурирующих. 1О.з.х.пОлный н дропныц Флктонные ЗКСПЕРИМЕНТЫ Целью полного и дробного факторного эксперимента является получение лянейной и неполной квадратичной статической модели исследуемого объекта, так называемого ураяненич регрессии Так, для трсхфакторной задачй вид модели (теоретического уравчения регрессии) будет иметь вид: 3 !1(У) = Ц = Рз + ~ыз Р! "» + + ~и ))1 хгхз + () х х х, (10,23) 1, 1=1 1«/ где Вь ()з, В» — коэффициенты, характеризуюшие эффекты влияння управляемых переменных на цезеву1о функцию (!О Вмз — коэффнцвенты, характеризующие эффекты влияния парных взаимодействий переменных и тройного взаимодейстцня соответственно.
Из-за действия помехи е результат измерення у прн фиксированных значениях управляемых переменных явцяется случайной величиной, следовательно, по результатам эксперимента мы можем вычислить лишь оценки йы — истнцных генеральных значений коэффициентов Ц,. Введя фицтивную переменную ха= ! ч перейдя к переменным з, запишем уравценце (10.23) в виде у= ~~ Ьзззы (10.24) Е!ахождевие математической модели вида (!0.24) состоит из ряда последовательных этапов 1. Планированче эксперимент а. Иа этом этапе выбирается экспернмен.
тальный план, позволяюшяй решить поставленную задачу — вычислить наилучшие оценкн коэффициентов уравнения (10.24). Экспериментальный план — зто некоторая совокупность эКспериментов, каждый из которых характеризуется набором фцксцронанных значений управляемых переменных. В данном случае нацлучшим планом явля. ется полный факгорныц эксперимент (ПФЭ), реалнзуюшнй все возможные пеповторяюшиеся комбинации уровней и независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций п=2". При планировании эксперимента проводят преобразование независимых переменных х» в безразмерные переменные: х,— х хш = (1Р 25) бх1 где хг — значение управляемой переменной, соответствую1цее начальцому базовому режим; бх1 — шаг варьирования.
6' ерсход к безразмерным переменным значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние н нижниЕ уровни варьирования хы и х, в относительных единицах будут равны соответственно х„= 4-1, х„= — 1. ПФЭ дтя п=3 представлен в табл, 1О б Трв столбца управляемых переменных образу!ит алан эксперимента, а остальные столбцы матрицы получаются псрсмнол»ецием соответствуюшнх значеннй управляемых переменных. Л(атриду планирования для и:=4 можно построить на базе планирования 2', повторив этот способ днажды: первый раз при значениях х«, находящихся на Разд. 10 480 Олтимизация гвагафизичвскага эксперимента Таблица 106 Полный факторный эксперимент (ПФЗ) типа 2г г, 1 г, ) г, [ гг г, ) г, ! г„ х„ ! х, ~ х, ~ х, )х,х, х,х, х.х, [х,хгхз 1 2 3 4 5 6 7 8 + + нижнем уровне, второй раз — на верхнем.
Аналогично могут быть получены планы для сколь угодно большого числа л независимых переменных. Матрица планирования для ПФЗ является ортогональной с линейно-независимыми вектор-столбцамш н грег!! О, р, 1=О, 1, 2, .-, Й! 1=1 (10. 26) р ч" 1, где Й+! — число независимо оцениваемых коэффициентов (в случае л=З А+1=8). !1. Проведение эксперимент а. С целью усреднения выходной веднчниы у каждая строка экспериментального плана дублируется несколько раз. В случае т параллельных опытов 1 %1 Ук — '~ Уаг, у=1,2, ..., !Н.
(10. 27) Если т=З, эксперимент делится на три серии опытов, в каждой нз которых полностью реализуется ПФЗ. Для исключения систематических ошибок прн вычислении оценок коэффициентов регрессии необходимо раидомизировать варианты варьирования в каждой из трех серий, т. е. с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел определить последовательность реализации вариантов варьирования переменных в каждой серии опытов. Рандомизацик проводится следуюшим образом. Из таблицы равномерно распределенных чисел (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
