Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Если имеетсн 1» совпадающих значений х, то в этом месте на диаграмме будет скачок, равный )»/и. Для величин х.мхи„з значение диаграммы накопленных частот равно 1. Соответствующая диагрзмма изображена на рис. 10.1. Отметим, что при и-иа» Рп (х) Р (х) . (10.2) 3. Построение гистограммы выборки (эмпирического аналога функции плотности распределения /(х)). Гистограмма представляет собой ступенчатую кривую, значение которой на интервале (х„, х + +Лх), т= 1,..., й„ постоянно и равно 4/у ЗД 2,гУ уф Рис.
10.1. Диаграмма накопленных частот. /„(х) =и~/и. Для построения гистограммы необходимо: а) найти предварительное количество кпантов (интерналов), на которое должна быть разбита ось х. Это количество й определяется с помощью полуэмпирической формулы й = 1 + 3,2 16 и, (10. 3) причем полученное значение округляется до ближайшего большего целого числа; б) определить длину интервала; маис ми (!О 4) й Значение Л может быть округлена для удобства вычислений; в) выбрать середину размаха (области изменения) выборки (х„,„,+хива)/2 за цеатр одного из интервалов, после чего уточнить границы и окончательное коли. честно указанных интервалов так, чтобы в совокупности онн перекрывали всю область от х зз До хи»к»! г) подсчитать количество наблюдение и, попавших в каждый квант: и равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо х %,г <х +бх, (10.5] где х, х +Ьх — границы т-го интервала.
Отметим, что при испвльзовании формулы (10.5) значения го попавзцие на границу между интервалами х ь хи, необходимо отнести к интервалу с номером пи д) подсчитать относительное количество наблюдений, попавших в данный интервал: и /и. П р и м е р. Имеется выборка из 40 наблюдений. Соответствующий ей вариационный ряд имеет вид: х,пщ — — г, = 0,3; гз = 0,6; гы — — хмакс = 7,1. По формуле (10.3) получаем: й = 1+ 3,2 12 40 = 1 + 3,2-1,602=.6,13 7, тогда 7,1 — О,З Лх = ' =- 0,971.
7 Округляем значение Лх до 1. Находим: хманс т гмии 7 1 + 0 3 2 2 — 3,7, после чего легко определить границы ин. тервалов (рис. 102). Пусть после такой разбивки выяснилось, что в первый интервал попало два значения хпи п~ =2; во второй — четыре: пз — — 4; пз 9; из=13; из=3; па=3; пт 1. Соответствующая гистограмма изображена на рис. 10.2. Заметим, что при и — >»о /п(х) -»/(х), если Лх- О.
Оптимизация теплофизического эксперимента йг й! йг !г г,г ггггаг йг уг гг гг Рис. 10.2, Гистограмма, построенная по экс- периментальным данным. 4. Определение оценок среднего значения х, дисперсии з' и среднего квадратичного отклонения з по формулам и 1 1ьЧ х= — Д хг; (10.6) и зз = — ~~~, (х; — х)а; (10.7) и — 1,~ ~ э = р' зз .
(10.8) Оценка характеристик двухмерной совокупности случайных величин х и у. Обработка результатов наблюдений осуществляется по следующей схеме: 1. Строят лоле рассеяния. На плоскости с координатами х, у отмечают экспериментальные точки, Возможный внд такого поля изображен на рис. 10.8.
2. Вычисляют коэффициент корреляции> л 1 %1 Ряз = ~~~((х! — х)(У! — У) эх аз (а — 1) (10.9) где з„э„подсчитыва>от аналогично з по формуле (10.8). Между значением и знаком коэффициента корреляции, с одной стороны, и ви. Рис. 10 3. Поле рассеяния результатов на- блюдений двух случайных величин дом диаграммы рассеяния, с другой стоВоны, существует определенная связь. Вели оси координат совместить с х, у, то при р„» )О точки иа диаграмме рассеяния группируются в основном в первом и третьем квадраитах, а при р т«,.0 — во втором и чцгвертом; при р,„=О точки беспорядочно разбросаны во всех четырех квадрантах; прн р„»=~1 точки группируются иа прямых (находящихся либо в первом и треть. ем, либо во втором и четвертом квадраитах).
>ол,з. свонствл стлтнстических оценок Смысл статистических методов заклю- чается в том, чтобы по выборке ограничен- ного объема Л>, т. е. по некоторой части ге- неральной совокупности, высказать обосно- ванное суждение о ее свойствах в целом. Иначе говоря, по вычисленным так назы- ваемым точгчиы.ч оцгчкам х, з», которые сами будут являться случайными величи- нами, необходимо высказать определенные 3 суждения о величинах М(х) и и„. Для оцеинваиия одного и того же па- раметра 0 можно использовать разные ста- тистики (оцеихи), Поскольку оценки вво- дятся до некоторой степени произвольно, сами по себе они ие являются правильны- ми или неправильными.
Тем не менее неко- торые оценки можно считать «хорошими». или «лучшими» по сравнению с другими, если только указать некоторые требования к свойствам оценок, желательные с точки зрения практики, Такие требования харак- теризуются понятиями состоятельности, нс- смгщениогти и эффективности оценок. л Оценка 0 параметра 0 называется со- стоятельной, если при неограниченном уве- личении объема выборки >у ее значение с полной мерой достоверности (с вероятно- стью единица) стремится к своему теорети- ческому действительному значению В, т.е.
л 0-»0, когда 81-»оо л Оценка 0 называется несмещенной, ес- ли для любого объема выборки й( матемал тическое ожидание В равно оцениваемому параметру В. л Несмещенная оценка В называется эф- фективной, если среди всех оценок парапет. а В она обладает наименьшей дисперсией. общем случае эффективная оценка оп- ределяется как оценка, для которой эиаче. л нне М(( — О)') минимально среди всех оценок с заданным смещением.
Выборочное средиес х есть состоятель- ная несмещенная оценка математического о>кидании М(х), Для выборки из нормаль- ной генеральной совокупности эта оценка является также эффективной, Оценка дисперсии з' в формуле (10.7) является несмещенной, состоятельной и для Типовь!е методы обработки опытных данных 473 .$10.1 тогда а называется доверительной вероятностью, а интервал гх — уб хх+ут) — доверительным интервалом или, иногда, интервальной оценкой истинного значения хь. Величина д= (1 — а)-100, 027, называетси уровнем значимости.
В практике инженерных исследований величина д обычно задается равной б или 1 %, что соответствует доверительной вероятности а=0,95 и а=0,99. Построеиве доверительного интервала для М(х) при неизвестной генеральной дисперсии ог основано иа том, что величина нормальной совокупности она ие является эффективной. Точечные оценки х и 3! как случайные величины характеризуются плотностью вероятности г(х) и 7(зт) с определеинымн математическими ожиданиями и дисперсиями. В частности, известно, что х подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием М, и дисперсией о„ = о /и (среднеквадратичная 2 2 ошибка среднего арифметического з )ггп раз меньше среднеквадратичной ошибки единичного измеоеиия).
Можно сказать, что х является 8772 и раз более точной оценкой М(х), чем единичное измерение х,. Этот факт служит обоснованием необходимости проведения многократных измерений. В математической статистике погрешность определения х и з' задается в виде доверительного интервала для заданной доверительной еерочтности, Пусть найдено значение х, которое является точечной оценкой неизвестного истинного значения хь.
Зададим достаточно большую вероятность а и определим такие два числа у! и уь что --( х — М (х) распределена по закону Стьюдеита с ч= =и — 1 степенями свободы, если Х распределено нормально. Под числом степеней свободы т понимается разность между числом нмеюшихся статистических данных и и числом наложенных связси г: т = п — г. (10.12) В данном случае наложена лишь одна связь, обусловленная тем, что оценка дисперсии вычисляется с использованием оценки математического ожидания х, которая Р (х — уг ~ х,! ( х'+ уД = а, (!О.!О) Таблица 102 Зависимость (тч для распределения Стьюдента от числа степеней свободы ч и пределов вероятности д -е -сь 5 +74 +б 50 40 ( ЗО ~ 20 ~ 10 ~ 5 ~ 2 ) 1 О,г 60 0,5 0,2 1 2 з 6 6 7 е 9 и 11 12 1З 14 15 16 17 га 19 20 25 ,чо 40 60 шо О,З26 0,289 0,277 О.271 0.267 О,аб О, 263 О.252 Отаг о,ао ола О, 259 о',га О.
258 о,за 0,258 0,757 о,ат 0,257 0,257 о,за 0,256 о,га О, 254 о,'аб О, 253 6,7 27 0,617 о,'ба 0,669 о,'5 а 0,5 Я 0,549 0,546 0,543 0,542 0,5 40 о, ав о', бзе 0,5 37 о,'пн 0,5 35 О',ЗЗ4 О,'5 34 0,5' 23 о,'аз О,531 О. ЯО О,'5 29 О.'5 27 О,'5 25 0,524 1, 000 0.816 о,ттг огыв о.тн о.т ю 0,7 ОЗ 0,7 ОО 0,697 о',аб О,б 94 О, 692 о,аг О,б 90 О,б Ю О,б Ю о,в ю 0,687 о, ым О, 'бзв О,ВВ1 О б 79 0,677 0,674 1,376 1,061 0,978 0,941 0,9 20 0.906 О,б Вб о, за о,'ею 0,379 0,376 о,вш 0,870 О,'Збе о,'аб 0,665 О,ебв 0,862 о,аг о ао 0,856 О, И4 о.'Юг О,'84В О,'В45 0,842 1, 963 1,386 1,250 1,1 90 1',1 а 1,1 34 1, 119 1,1 08 1,1 ОО г,оа 1,03З 1',083 1, 079 1, 076 1, 074 1,071 1, 069 1, 067 1, Обб 1, 064 1,058 1;о а 1, 050 1.
046 1, 041 1, 036 3,077 1,%! 1,6377 1;баг 1, 4759 1, 439 1,4149 1;зва г,веЮ 1. 3?20 !гав 1,3562 гьааз 1,3450. 1,3406 1. 336 1, ЗИ4 !,Ш4 1,5277 1,3253 1,ЗЮЗ 1,'ЗЦМ 1, ЗОЗ1 1,2958 1, 289 1,282 5,313 2,920 г,гзгз 2,0!50 1,94З 1,8946 1,8595 1;Е331 1,8125 1,795 1. таз г,юа 1,7613 1,7530 1,745 1.7326 1,7341 1',729! 1,7247 1,7081 1,69ГЗ 1.6339 1,6706 1,658 1.645 12,706 4,302 3, 182 2,776 2,5706 2.446 2,3646 2, аго 2, 2622 2, 2231 2,201 2,1788 2,1604 2,1448 2,1314 2.119 2,'ЦВЕ 2, 1009 2.0930 оеа Оэвб 0211 0003 1гао 1.960 зг,еа б, 964 4,540 3, 746 з',ба 3,142 2',взз 8965 8214 жзб 2,718 6810 6503 6245 6025 2,583 5668 5514 а95 5280 4851 4573 42 а 3901 2,36 2,33 63,6% 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
