Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина (1060852), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Действие реальнойоптической системы сводится к следующим факторам:• преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) всходящийся,• ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта,• ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля,• нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волновогофронта, то есть изменение фазы проходящего поля.Рассмотрим поле U ′(Px′, Py′ ) на выходной сфере (в области выходногозрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее навеличину волновой аберрации.

Поле на волновом фронте U в′.ф. (Px′ , Py′ ).Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучейодинаковый, так как волновой фронт – поверхность равного эйконала.Поскольку для формирования изображения важна разность фаз междувыходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, чтофаза волнового фронта равна нулю ϕ = 0 . При отсутствии аберраций амплитудаполя единичная, следовательно поле на волновом фронте U в′.ф. (Px′ , Py′ ) = 1 .

Набегфазы от выходной сферы до волнового фронта:1342πiΔl ′⋅n ′λΔϕ = e(9.2.1)где Δl ′ – расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдольлуча.Поле на выходной сфере математически можно представить в виде:⎧⎪e 2πiW (Px′ , Py′ ) , внутри зрачка= f (Px′ , P ′)U ′(Px′ , Py′ ) = ⎨(9.2.2)⎪⎩0, вне зрачкаΔl ′ ⋅ n′где W (Px′, Py′ ) =– волновая аберрация, f (Px′, P′) – зрачковая функция.λВ выражении (9.2.2) учитывается одновременно ограничение пучков иналичие аберраций.Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптическойсистемы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета довыходного зрачка и в общем случае в канонических координатахописывается выражением:⎧⎪τ 12 (ρ , ρ ) ⋅ e 2πiW (ρ x , ρ y ) , внутри Ωxy0(9.2.3)f (ρ x , ρ y ) = ⎨⎪⎩0, вне Ω 0где (ρ x , ρ y ) – канонические зрачковые координаты, τ (ρ x , ρ y ) –функция пропускания по зрачку, Ω 0 – область зрачка в каноническихкоординатах.Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю наизображении.

Вблизи изображения геометрическая оптика не применима,поэтому для описания поля на изображении следует использовать теориюдифракции.(x ′p , y ′p )U ′(Px′ , Py′ )y′r′U ′( x , y )(x ′, y ′)rp′ = constx′z′плоскостьизображениявыходнаясфераРис.9.2.2. Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображенияприменим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля.Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис.9.2.2):U ′( x ′, y ′) = ∫∫ U ′(x ′p , y ′p )S ′pe2πin ′r ′r′λdS ′p(9.2.4)135Используя зрачковую функцию, выражение (9.2.4) можно записать в виде:U ′( x ′, y ′) = ∫∫ f (ρ x , ρ y )Посколькуe2πir ′n ′λdρ x dρ yr′r ′ = rp′ + Δr ′2πi(9.2.5)Δr ′ << rp′ , то множительиr ′n ′2πir p′ n ′2πiΔr ′n ′e2πir ′n ′2πiλможноr p′ n ′представить в виде e λ = e λ ⋅ e λ .

Множитель e λ = const ,следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как насинтересует только относительное распределение комплексной амплитуды.Тогда выражение (9.2.5) преобразуется так:U ′( x ′, y ′) = ∫∫ f (ρ x , ρ y )e2πiΔr ′n ′λdρ x dρ yr′Δr ′ можно выразить через x ′, y ′ и x ′p , y ′p (рис.9.2.3).(9.2.6)y′r′А′rp′σ ′pΔr ′О′z′плоскостьизображениявыходнаясфераРис.9.2.3.

Связь Δr ′ с радиусом выходной сферы rp′ и расстоянием r ′от выходной сферы до точки A′ .Отрезок OA = Δr ′ ≈ −а для остальных лучей:x ′x ′p + y ′y ′p, причем n′ sin σ ′A = A′ – для крайнего луча,rp′n′x ′pn′y ′p= ρ x A′ ,= ρ y A′ . Теперь интеграл (9.2.6) можноrp′rp′записать так:U ′( x ′, y ′) = ∫∫ f (ρ x , ρ y )e− 2πix ′ρ x + y ′ρ yλr′A′dρ x dρ y136(9.2.7)Введем канонические (приведенные) координаты на предмете иизображении:A′Aη x′ = − x ′ xηx = − x xλλ(9.2.8)A′yAy′′ηy = − yηy = − yλλТогда в канонических координатах получим:U ′(η x′ ,η ′y ) = ∫∫ f (ρ x , ρ y )⋅ e(2πi η ′x ρ x +η ′y ρ y)dρ x dρ y(9.2.9)Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрированиепроисходит внутри зрачка.

Комплексная амплитуда в изображении точки вканонических координатах, как следует из выражения (9.2.9), связана созрачковой функцией через обратное преобразование Фурье:U ′(η x′ ,η ′y ) = F −1 [ f (ρ x , ρ y )](9.2.10)Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурьепреобразование от зрачковой функции в канонических координатах.Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, аинтенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды U ′(η x′ ,η ′y ) .2Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение:h (η x′ ,η ′y ) = F −1 [ f (ρ x , ρ y )]2Оптическую передаточнуюканонических координатах:D (ω x , ω y ) = F [h (η x ,η y )](9.2.11)функциютакжеможновыразитьв(9.2.12)где ω x , ω y – канонические пространственные частоты:ω x = −ν xω y = −ν yλAxλAy= −ν x′= −ν ′yλAx′λAy= ω x′= ω ′y(9.2.13)лин мм⋅.

В этих координатахмм sinполучаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточнойфункцией:Канонические частоты безразмерные:2D (ω x , ω y ) = F ⎡ F −1 [ f (ρ x , ρ y )] ⎤⎢⎣⎥⎦(9.2.14)137Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можнопредставить через автокорреляцию зрачковой функции:1D (ω x , ω y ) =f (ρ x , ρ y ) ⋅ f * (ρ x − ω x , ρ y − ω y ) ⋅ dρ x dρ y(9.2.15)∫∫Ω0где Ω 0 – площадь зрачка в канонических координатах.9.3.

Дифракционная структура изображения9.3.1. Функция рассеяния точки в случае отсутствия аберрацийПредположим, что в оптической системе аберрации отсутствуютW (ρ x , ρ y ) = 0 . Тогда зрачковая функция оптической системы в соответствии свыражением (9.2.3) будет выглядеть следующим образом:⎧⎪τ 12 (ρ , ρ ), внутри Ωxy0f 0 (ρ x , ρ y ) = ⎨(9.3.1)⎪⎩0, вне Ω 0где Ω 0 – область зрачка в канонических координатах.Будем считать, что пропускание равномерно по зрачку, то естьτ12(ρ x , ρ y ) = 1.Тогда, поскольку в канонических координатах зрачок всегдакруглый, выражение (9.3.1) можно записать следующим образом:(())⎧⎪1, при ρ x2 + ρ y2 ≤ 1f 0 (ρ x , ρ y ) = ⎨(9.3.2)22⎪⎩0, при ρ x + ρ y > 1То есть зрачковая функция равна единице в пределах круга, и нулю на всейостальной области, и следовательно, математически описывается при помощифункции Circ(ρ x , ρ y ) :f 0 (ρ x , ρ y ) = Circ(ρ x , ρ y )(9.3.3)Чтобы получить функцию рассеяния точки при отсутствии аберраций,нужно взять обратное преобразование Фурье от безаберрационной зрачковойфункции, то есть от функции Circ(ρ x , ρ y ) :h0 (ρ x , ρ y ) = F−1[Circ(ρ x , ρ y )]где η = η x2 + η y2 , J 1 (2πη)2⎡ J (2πη )⎤=⎢ 1= Bessinc 2 (η )⎥⎣ πη ⎦2(9.3.4)– функция Бесселя первого рода, первогопорядка.Картина ФРТ для безаберрационной оптической системы (рис.9.3.1)состоит из центрального максимума диаметром 1.22 канонических единиц ипобочных максимумов – колец с шагом, постепенно приближающимся к 0.5канонических единиц.

Безаберационная ФРТ симметрично относительнооптической оси. Центральный максимум содержит 83.8% всей энергии (его138высота равна единице), первое кольцо – 7.2% (высота 0.0175), второе 2.8%(высота 0.0045), третье 1.4% (высота 0.0026), четвертое 0.9%.h0 (η )1.0ηyηx1.22η-1.62 -1.12 -0.6100.61 1.12 1.62б) общий вид распределенияинтенсивности (картина Эри)а) сечениеРис.9.3.1. Функция рассеяния точки в отсутствие аберраций.Центральный максимум ФРТ называется диском Эри (Airy).

Диаметрдиска Эри в реальных координатах на изображении:1.22λD=(9.3.5)A0′где A0′ – апертура осевого пучка.Диск Эри в общем случае может быть не круглым, если меридиональнаяA′y и сагиттальная Ax′ апертуры различны.Из выражения (9.3.5) следует, что поскольку апертура для изображенияближнего типа не может быть больше показателя преломления, изображениеточки для ближнего типа не может быть меньше длины волны.9.3.2.

Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТНа рис.9.3.2 показан вид ФРТ для различных функций пропускания. Еслипропускание уменьшается к краям зрачка (2), то центральный максимум ФРТрасширяется, а кольца исчезают. Если пропускание увеличивается к краямзрачка (3), то центральный максимум сужается, а интенсивность колецувеличивается. Эти изменения по-разному влияют на структуру изображениясложного объекта, и, в зависимости от требований, используются различныефункции пропускания, “накладываемые” на область зрачка. Это явлениеназывается аподизацией.139λAyh (η )1.0τ (ρ )11.022133ηρ-1.12а) функция пропускания по зрачку-0.6100.611.12б) функция рассеяния точкиРис.9.3.2.

Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ.9.3.3. Безаберационная ОПФ. Предельная пространственная частотаОптическая передаточная функция вычисляется при помощи выражениядля автокорреляции зрачковой функции (9.2.15). Для безаберрационнойоптической системы волновая аберрация W = 0 , тогда интеграл автокорреляциибудет выглядеть следующим образом:Ω(ω x , ω y )1(9.3.6)D (ω x , ω y ) =dρ x dρ y =∫∫Ω0Ω 0 Ω (ω ,ω )xyгде Ω⎛⎜⎝ω x , ω y ⎞⎟⎠ – область интегрирования, показанная на рис.9.3.3.(Ω ω x ,ω y)(ρyΩ 0 ρ x −ω x , ρ y −ω yωy0(Ω0 ρ x ,ρ yωx)ρx)Рис.9.3.3. Области зрачков, смещенные относительно друг друга на ⎛⎜⎝ω x , ω y ⎞⎟⎠ .Таким образом, безаберрационная ОПФ пропорциональна площадиперекрытия двух зрачковΩ⎛⎜⎝ω x , ω y ⎞⎟⎠ , которая является функциейпространственных частот.

Из рис.9.3.3 следует, что максимальнаяканоническая пространственная частота ω max = 2 . Для более высоких частотплощадь Ω⎛⎜⎝ω x , ω y ⎞⎟⎠ становится нулевой (рис.9.3.4).140Максимальной канонической пространственной частоте соответствуютпредельные реальные пространственные частоты:2 A′2 A′(9.3.7)ν lim x = x , ν lim y = yλλОПФ1идеальная о.с.безаберрационная о.с.ω02Рис.9.3.4.

Безаберрационная ОПФ.Таким образом, ОПФ реальной оптической системы при отсутствииаберраций не соответствует ОПФ идеальной оптической системы, и всегдаограничена предельными частотами, обусловленными дифракцией света.9.4. Критерии качества оптического изображения9.4.1. Предельная разрешающая способность по РелеюРазрешающая способность определяет способность оптической системыизображать раздельно два близко расположенных точечных предмета.Предельная разрешающая способность – это минимальное расстояниеσ R между двумя точками, при котором их изображение отличимо отизображения одной точки.Критерий Релея гласит, что при провале в распределении интенсивности визображении двух близких точек в 20% точки будут восприниматься какраздельные.

Для этого необходимо, чтобы центральный максимум визображении одной точки приходился бы на первый минимум в изображениидругой (рис.9.4.1). Для оптических систем при отсутствии аберраций σ R = 0.61канонических единиц.Разрешение по Релею удовлетворительно характеризует качествоизображения астрономических телескопов, спектральных приборов, длякоторых предметами являются близко расположенные точки или линии, а такжевизуальных приборов (предназначенных для работы с глазом).14120%ησRРис.9.4.1. Разрешение по Релею.9.4.2. Разрешающая способность по ФукоКритерий Фуко применяется для оценки качества изображения оптическихсистем, передающих объекты сложной структуры.

Разрешающая способностьR определяется как максимальная пространственная частота периодическоготест-объекта, состоящего из черно-белых штрихов (миры Фуко), в изображениикоторого еще различимы штрихи. Разрешающую способность обычноопределяют для миры единичного (абсолютного) контраста по графику ЧКХоптической системы (рис.9.4.2). Разрешающая способность R определяется длязаданного контраста (обычно для контраста k ′ = 0.2 ).k′10.20ωRR0 = 2Рис.9.4.1. Разрешающая способность по Фуко.Предельная разрешающая способность R0 для оптических системопределяется размерами зрачка, длиной волны и аберрациями. В реальныхпространственныхчастотахпредельнаяразрешающаяспособностьопределяется из выражения (9.3.7).9.5.

Характеристики

Список файлов лекций