Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина (1060852), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Обобщенное увеличение и инвариант Лагранжа-ГельмгольцаИспользуя понятие обобщенного предмета и изображения можно ввестипонятие обобщенного увеличения:y′ A0(7.3.9)V ==y A' 0102где y – обобщенная величина предмета, y ' – обобщенная величинаизображения, A 0 – обобщенная передняя апертура, A' 0 – обобщенная задняяапертура.Для любой оптической системы существует обобщенный инвариантЛагранжа-Гельмгольца, выраженный в реальных величинах (Параграф 5.3.6).Однако, в отличие от параксиальной оптики, его инвариантность не строгая, априближенная.

Инвариантность нарушается из-за наличия аберраций и явлениядифракции в оптической системе. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца черезобобщенные характеристики можно записать следующим образом:y ⋅ A 0 = y ' ⋅ A' 0(7.3.10)1038. Аберрации оптических систем8.1. Формы представления аберраций (поперечная, продольная,волновая)8.1.1. Общие положенияВ идеальной оптической системе все лучи, исходящие из точки A ,пересекаются в сопряженной с ней точке A0′ . После прохождения реальнойоптической системы либо нарушается гомоцентричность пучка и лучи неимеют общей точки пересечения, либо гомоцентричность сохраняется, но лучипересекаются в некоторой точке A′ , которая не совпадает с точкой идеальногоизображения (рис.8.1.1). Это является следствием аберраций. Основная задачарасчета оптических систем – коррекция (уменьшение) аберраций.Полное устранение всех аберраций в оптической системе невозможно, таккак условия исправления одних видов аберраций противоречат условиямисправления аберраций других видов.

Поэтому при коррекции аберраций воптической системе ищется некоторое компромиссное решение, котороеопределяется областью применения оптической системы. Одновременноеисправление многих видов аберраций в оптической системе возможно приналичии в конструкции оптической системы большого числа преломляющих иотражающих поверхностей и/или при использовании таких дополнительныхвозможностей, как асферические поверхности и материалы с экстремальнымизначениями показателя преломления и числа Аббе.A'A' 0AРис.8.1.1. Идеальное и реальное изображения точки.Для вычисления аберраций необходимо определить точку референтного(идеального) изображения A0' , в которой должно находиться изображение позаконам гауссовой оптики.

Относительно этой точки и определяют аберрации.8.1.2. Поперечные аберрацииПоперечные аберрации (Δx ′, Δy ′) – это отклонения координат точки A′пересечения реального луча с плоскостью изображения от координат точки104A0′ идеального изображения в направлении, перпендикулярном оптическойоси (рис.8.1.2):Δx ′ = x0′ − x ′Δy ′ = y0′ − y ′(8.1.1)Если точки A′ и A0′ совпадают, то поперечные аберрации равны нулю(Δx′ = 0, Δy ′ = 0) .y'A'Δy ′ A0′x′z′Δx ′AРис.8.1.2. Поперечные аберрации.Различают поперечные аберрации в сагиттальной плоскости (Δx ' ) и вмеридиональной плоскости (Δy ' ) .

Поперечные аберрации для изображенияближнего типа выражаются в миллиметрах, для изображения дальнего типа – вугловой мере. Для изображения дальнего типа поперечная аберрация – этоугловое отклонение Δσ ′ между реальным и идеальным лучом (рис.8.1.3).y′A'Δσ ′yA0 'z'O'Рис.8.1.3. Поперечные аберрации для удаленного изображения.У каждого луча в пучке своя величина поперечной аберрации. Для всегопучка поперечные аберрации – это функции от зрачковых координат:Δx ' = Δx ' ( Px , Py )(8.1.2)Δy ' = Δy ' ( Px , Py )где ( Px , Py ) – реальные зрачковые координаты.105Зрачковые канонические координаты.Зрачковые координаты определяют положение луча в пучке.

Канонические(относительные) зрачковые координаты определяются следующим образом:PP′PP′ρx = x = x , ρ y = y = y(8.1.3)Ax Ax′Ay A′y(Px , Py ), (Px′, Py′ ) –координаты, (Ax , Ay ), (Ax′ , A′y )гдевходные и выходные реальные зрачковые– входные и выходные апертуры. Апертурыопределяют максимальные значения зрачковых координат.Таким образом, верхний луч пучка имеет координаты ρ x = 0, ρ y = 1 ,нижний луч пучка – ρ x = 0, ρ y = −1 , главный луч пучка – ρ x = ρ y = 0 ,сагиттальный луч – ρ x = 1, ρ y = 0 (рис.8.1.4).1ρyϕ-1главныйлуч1ρx-1Рис.8.1.4.

Канонические зрачковые координаты.Канонические зрачковые координаты можно выразить через полярныекоординаты ρ и ϕ :ρ x = ρ sin ϕρ y = ρ cos ϕ(8.1.4)где ρ = ρ x2 + ρ y2 .8.1.3. Волновая аберрацияВолновая аберрация – это отклонение реального волнового фронта отидеального (рис.8.1.5), измеренное вдоль луча в количестве длин волн:W=Δl '⋅n'(8.1.5)λИз выражения (8.1.5) следует, что волновая аберрация пропорциональнаотклонениям оптических длин лучей пучка. Поэтому влияние волновойаберрации на качество изображения не зависит от типа изображения, аопределяется тем, сколько длин волн она составляет.106n′A'A0′Δl 'O'AвыходнойзрачокR0′волновойфронтреферентнаясфераРис.8.1.5.

Волновая аберрация.Референтная сфера – это волновой фронт идеального пучка с центром вточке идеального изображения A0′ , проходящий через центр выходного зрачкаO ′ . При нахождении волновой аберрации с референтной сферой сравниваетсяближайший к ней волновой фронт.Для всего пучка волновая аберрация – это функция каноническихзрачковых координат:W = W (ρx , ρ y )(8.1.6)Поперечная и волновая аберрации – это разные формы представленияодного явления, они связаны между собой соотношениями:λ ∂WΔx ' = − ⋅Ax ∂ρ x(8.1.7)λ ∂WΔy ' = − ⋅Ay ∂ρ yТаким образом, поперечные аберрации прямо пропорциональны первымчастным производным волновой аберрации по каноническим координатам.8.1.4. Продольные аберрацииПродольные аберрации – это отклонения координаты точки O ′′пересечения реального луча с осью от координаты точки O ′ идеальногоизображения вдоль оси (рис.8.1.6):ΔS ' = S '− S0 '(8.1.8)где S ' – положение точки пересечения луча с осью, S0 ' – положениеидеальной точки пересечения.107y'Δy 'O'OS0 'z'O ''ΔS 'S'Рис.8.1.6.

Продольные аберрации осевого пучка для изображенияближнего типа.Для изображения ближнего типа продольные аберрации выражаются вмиллиметрах, для изображения дальнего типа (рис.8.1.7) продольные аберрациивыражаются в обратных миллиметрах:1 1ΔS ′ = − , [кдптр](8.1.9)z0′ z ′O'z0′O ''z′Рис.8.1.7. Продольные аберрации осевого пучка для изображениядальнего типа.Продольные аберрации связаны с поперечными, и, следовательно, сволновыми тоже:λ 1 ∂WΔS ' ≈ 2 ⋅ ⋅(8.1.10)A0′ ρ ∂ρгде A0′ – задняя апертура осевого пучка.Выражение (8.1.10) приближенное, оно может использоваться только дляслучая небольших апертур.Итак, из выражений (8.1.7) и (8.1.10) следует, что волновая, поперечная ипродольная аберрация – это разные формы представления одного явления –нарушения гомоцентричности пучков. При оценке качества изображения заисходную модель аберрационных свойств оптической системы берут волновуюаберрацию (по величине волновой аберрации судят о качестве оптическойсистемы).

Однако, если аберрации велики, то более целесообразно использоватьдля оценки качества изображения поперечные аберрации.1088.2. Монохроматические аберрацииАберрации делятся на монохроматические и хроматические.Монохроматические аберрации оптической системы наблюдаются примонохроматическом излучении (на одной длине волны λ).Монохроматические аберрации делятся на несколько типов:• сферическая,• кома,• астигматизм и кривизна изображения,• дисторсия.Обычно в оптической системе присутствует комбинация аберрацийразличного типа. Рассмотрим каждый тип аберрации по отдельности.8.2.1. Разложение волновой аберрации в рядЕсли в оптической системе присутствуют все типы аберраций, то дляописания отдельных типов аберраций волновую аберрацию можно разложить вряд по степеням относительных зрачковых координат в следующем виде:((ρ + ρ )ρ(ρ + ρ )ρ)()()W (ρ x , ρ y ) = W00 + W20 ρ x2 + ρ y2 + W40 ρ x2 + ρ y2 + W60 ρ x2 + ρ y2 + ...+ W11 ρ y + W312x2yy(2)+ W51 ρ x2 + ρ y2 ρ y + ...3(8.2.1)22+ W22 ρ y2 + W42 x2yy +Kили в полярных координатах:W (ρ ,ϕ ) = W00 + W20 ρ 2 + W40 ρ 4 + W60 ρ 6 + ...+ W11 ρ cosϕ + W31 ρ 3 cosϕ + W51 ρ 5 cosϕ + ...(8.2.2)+ W22 ρ 2 cos2 ϕ + W42 ρ 4 cos4 ϕ + Kгде Wnm ( n – степень ρ , m – степень cos ϕ ) – коэффициент, значениекоторого определяет вклад конкретного типа (и порядка) аберрации в общуюволновую аберрацию:W00 – постоянная составляющая, которая может быть сведена к нулюсоответствующим выбором референтной сферы,W20 ρ 2 – продольная дефокусировка,W40 ρ 4 и W60 ρ 6 – сферическая аберрация 3 и 5 порядка,W11 ρ cosϕ – дисторсия,W31 ρ 3 cosϕ + W51 ρ 5 cosϕ – кома 3 и 5 порядка,W22 ρ 2 cos2 ϕ + W42 ρ 4 cos4 ϕ – астигматизм 3 и 5 порядка.В разложении могут участвовать и более высокие порядки, но мы ихрассматривать не будем.

Порядок аберрации определяется по степеникоординаты ρ в разложении поперечной аберрации в ряд. Этот ряд получаем109путем дифференцирования выражения (8.2.2). Таким образом, поперечнаяаберрация определяется следующим образом:λ ∂W λΔy ′ = ⋅=4W40 ρ 3 + 6W60 ρ 5 + K(8.2.3)A′ ∂ρ A′[]Разложение в ряд продольной аберрации имеет вид:λ 1 ∂WλΔs′ = 2 ⋅ ⋅= 2 4W40 ρ 2 + KA′ ρ ∂ρA′[](8.2.4)8.2.2. Радиально симметричные аберрации (дефокусировка исферическая аберрация)Радиально симметричные аберрации (расфокусировка и сферическаяаберрация) анализируются и изучаются при рассмотрении осевой точкипредмета. Для описания радиально симметричных аберраций достаточноиспользовать одну радиальную зрачковую координату ρ = ρ x2 + ρ y2 :W (ρ x , ρ y ) = W (ρ ) = W00 + W20 ρ 2 + W40 ρ 4 + W60 ρ 6 + K(8.2.5)ДефокусировкаW (ρ ) = W20 ρ 2(8.2.6)Дефокусировка не приводит к нарушению гомоцентричности пучка(рис.8.2.1), а только свидетельствует о продольном смещении плоскостиизображения.ΔS '= constплоскостьидеальногоизображенияплоскостьизображенияРис.8.2.1.

Характеристики

Список файлов лекций