Слюсарев Г.Г. - Расчет оптических систем (1975) (1060808), страница 73
Текст из файла (страница 73)
и' Для поправочпых членов можно положить мп и' = — зш и. и После умножевия получаем с принятой выше точностью Е= — (" — ( — ", ) )! — (2 ( — ") — — ] в!при+46). (Ч!.36) Заменвем й его ныршкеннем через вторую сумму Зейделя по формулам (П,126) н (П.130) из (61: й = — —, где,! = л'и'!' = л'и' (л' — а') 3'. хп М' Если согласно п(гинятой в (6! меюднке вычисления сумм Зейделя полагать ир — — 1, то (Ч!.37] В рассматриваемой задаче удобна принять Р' = 1.
Тогда 7 = л' (х' — в') н г(в! з( г 2 ! ! з айна!в»! Š—,и')1 — ( — — — ) з!п и— Л* — "Р 1 («* 2) !"-'р")' Е Рр)ит — ~(2 — » ) +-.т-н — 1лпзи), (Ч!36! где Зп — — Юхзрр — удш» йт при и' = 1, Р' = 1. Из формулы (Ч! .36) для Е следует, что прн любом и и х' мажво найти такое значение о,г, при котором Е не зависит ат угла и. 22' 4Я рврейщщв ферйя е!рвудщ(ей ввврввевп, вввйввйей рвввеввриев ееввцевве Р ассмотрим навболее важный для практики случай отрюкаю. щей поверхмостн 2.го порядка, определяемой уравнеянем у' =- 2гх — (1 — е') х'.
Выражение „, ",, для случая такой поверхностн может быть вычнслено следующим образом. Пусть О (рнс. ()1.!б) — вершина отражающея поверхностн; 5 — нсточннк; 5' — его нзобрюкенне (паракснальными лучамн]; ЭЭ, — экран; 05 = ж 05' = з', 5'Э, = р. Найдем зависимость второй суммы Еп от з', р н экснентрнснтста з поверхности. 3 Напомним, что по формуле (П,бу) нз (б! Эп = =-ур — см, где у=хб = з' = (х' — »7 = р, Прн этом 1 — 1 — а» иг=- 'Р= Π— а)» ~1 .;- о) 4 + л (!+а)» 1, 4 Рнс.
Щ.1б где 6 = — с' Следовательно, — у-'=( М м )( — '," К) — а)' — (1+а)'Р)+а* — 1~. Велнчнна ч может быть представлена в внле с)= )1 — сс+ (а+ 1) с»вЂ” О.)-а) в †.Р-ь н- ((1 — а)с — зс (! + а)с!! н"! подставляя это выражение в формулу для Е, получаем Е = Е» (1 + р-н'»), ())1.39) где Е = 1 (з'-»') а А ас — 4+ (1 — сс) (1+ а)с '(1 — —,, (1 — а)1 + + (1 + а)» зс (1 + —,, (1+ а)1 . Равномерная освещенность экрана может быть 1юсгнгнута, когда А=о. Рассмотрим несколько частных случаев.
Особый интерес представляет случай отражающей сферы (еэ = О) прн х' = / -й-, когда освещенность, нан показывает точный расчет хола лучей, остается постоянно» до больюнх значений угла и (до бΠ— 70") с точностью ла несиольких процентов, причем зто постоянство наблюдается в широкой области значений велнчинм и. р .ш.ш Простые вычисления приводят к следующей формуле: зга и 0-а'д!-1-и) з откуда (Ч1.40) Форму.ча (Ч1АО) приводит н следующим выводам, Прн значениях а, близких к — 3; — 5, коэффициент при и' очень мал; сам угол и' также мал, н освещенность остаегся ирантнчески постояв.
ной прп условии, что сила света 1 (и) постоянна. Любопытна, что прн х' + 1 осеещенносп Е начинает сильно зависеть от угла и. Таким образом, можно получить весьма просше решение задачи осуществления равномерной освещенности с помощью сфе. рическаго зеркал». При значениях а порядка — 4; — Б углы и', начиная с некоторой высоты пересечения й на сфере, убывают и приближаются к нулю, т.
е. луча образуют почти параллельный пучок, так что при небольших перемещениях экрана освещенность практически ие меняется. Схема расположения источника, сферы н экрана показана на рнс. Ч1.!7. При радиусе кривизны 00 г = 1000 мм ОР = Б(Юмм,ОЯ = 400мм,ОБ' = 2000ммдля паракснальноголуча, 4Я. р !500 мм; диаметр равномерно освещенного экрана достигает !200 мм. Неластаток этой схемы — близкое расположение источника 5 от освицаемого экраны йв!ЩВЩ В феба ЩУЩЩИй ййй!ВЩЭ Практический интерес представлиет случай, когда источник находится в фокусе зеркала и выходящий пучок близок к параллельному, что обеспечивает постоянство освещенности яри изменении расстояния до экрана. Однако формула (Ч!.35) в ююм случзетеряет смысл, так как ба' обрмцзется в бесконечность вместе с отноюеиием —,.
Выведем формулу для освещенности Е в прелноложенни, что источник находится з фокусе системы. Для упрощения выводов арелположим, что система бесконечно тонка. Пусть !.!., (рис, Ч!.18) — оптическая система с переаним фокусом Р: Л, — высота гочки пересечения луча РА с главной плоскостью системы; и — угол перегячення луча с осью; з'— расстоянне ат экрана до задней главной плоскости системы Лбе Обозначим через бз' продольную сферическую аберрацию и через бу —, — Š— отступлеияе от фокуса, вычисленные в оба, эм и' ратном ходе, т. е. нз бескоаечносгн.
Пуси Л, — высота пересечения луча с экраном ЗЭо Освещенность'Е определяется,''как и ранее, формулой ! ми»м Но Л, = Л,— и'и', где и' — р —. С другой стороны, зг ма» Л, ) Ып»-1-бра(пи. Следовательно, Л, = (!'+бр 4- —,бз')з!пи. Полагая, как и ранее, б!' Выл'и, бз' = А Ип и и посту- пая аналогично предыдущему, получаем Лэбй, = у*э!0 и сов и (1+ 40), где Отсюда Е = -)гэ — - — (1 — 4г!). (Ч1.4!) С помощью этой формулы можно вычислить распределение освещенности на экране по нзвестныы бр и бэ', определяемым ив расчета лучей в обратном ходе. Интересен также случай, когда оптическая система предсгавкяет собой зеркадо, создающее равномерное освещение экрана, 4!4 Пусть ОА (рис. У1.!9) — сечение отражающей поверхности зер.
кала; р — его 4юкусг Э, — точка экрана на оси; и †уг .чуча с осью; НА й, — высота точки иересечеиия луча с поверхностью зеркала; З,В й, — высота тачки пересечения луча с плоскостью экрана. Тогда й, = ((' — и) !й и, где с достаточной точностью можно принять а = —,. з) 4!' ' Рес. РП!В Р г Пня Предположим, что пояерхносъв зеркала 2-го порядка н апре. делается формулай йз = йгк — (! — е') х', где х = а — отрезок ОН; г — радиус кривизны зеркзда замке О.
Из теории аберрапий 3-го порядка в применении к отражающим поверхностям 2аа порядка имеем и= — з1а и. 1-Ф в Поскольку л .=-,;. (с точностью ло членов высшего порядка), з) получаем йг=)'(1+-й-згпти) э!пи=уз!пи+ ( згпэи. С другой сюроныу йэ = й, — к'и'. С агчяосгью до членов Зеа порядка малости йэ=('зги и(1+ — з1а'и) — к'ппзи — —, 1 т, 1 — Ф Так как освещенность В=- —, 1 з1а ите з» езт после выполнения элементарных вычислений, удерживая точность, соответствующую теории аберрапнй Э.го порядка, получаем Е=, Ы( — 1 12 — с, (1 — ')1 з1псп) = = — „(1 — ~1 — а),- (1 — ез)) з(пз и~.
(Ч1.42) Из формулы для Е вытекает, что если е* = 1, то т. е. Е ие заввснт от х', что очевидно, так как все отраженные от параболического зеркала лучи выходят строго параллелыю осн и освещенность Е одинакова для всех сечений пучка. Формулу (Ч!.42) можно нолуу е чнть другиы способом, установив связь мсыьу днсторсней па объекте ь С' и коыой в эрачкак. Пусть А'В' — плоскость экране и г с и, для точки М' (рнс. Ч1.20), на которой мы определяем осаешеннопь Е; А — ее изображение; М вЂ” сопряженная с М' точка, находящаяся Рас.
И,тэ на расстоянии ! от осн. Обозначим через з н э' абспнс- сы точен М н М', пентром входного зрачке зеркала следует считать фокус 5 зеркала. Точку М' будем рассматривать нак точиу пересечеии» луча, исходящего из точка М, прошедшего через фокус В и отраженного из точки О повепхности зеркала, с плоскостью экрана А'В'. Пусть ОН =. Ь; ИМ = !' = Ь + бй', где Ьй' — дпсторспя в точке М, равная — — Яти, причем с я Вт - —, — ЬУ вЂ”,' )Р+ Р— (ЗЬ вЂ .ь, ) у'Р' у' у г а ьпэт ь ь ьт л «я') при а' 1; и' = 1; Рс = 1, тле Рс=( — ) Ьа =е —; йг= — Ьат', г ьо тс с (ьоз) ьо ='(Ь~) = ьзс ' = ьт У = л'асб = Г =- — а! = +а (з' — Е) и-РГ =Г; й — х'=-Г(1+а). После сооиеытвующнх подссвновок получается следующее выражение дпя Бтс Яг =, (Р' — ЫР + 2(1 + а)1.
Рс Выраяшя Р' и йт через а, находим ,-= ~( „к.-((! — а) (!+а)*е1— бт ! !!;а и (! -!-а)и 1 — — !! — аз) + 2+ 2а) . Величина Е по.прежнему определяется по формуле ! з!и и си Е = ГВи — . Здесь Г =- 1„' -1- бй', 1,' = — а1 =- а (х' — )') 12 и! бй' — З„и 1 ЗГ = а(х' — Г) —,„— — Яти Ни. ! После вычислений полччаем -«кГà — *')'зми 1! ь зхиы сея 1 ' а(à — и)) Подставляя в последнее выражение полученную выше формуду дая †, получаем после ряда сокращений ле Г ' Е = — „1 -!.
— (а — (!+а) еи))) нли, поскольку а=: —,— 1, к Е= 1, ~1 + з! ~" — 1 —" ез) й)! (У).4ги) зто результат, практически совпадающий с (й1.42), поскольку 3!п и' Е. Условие равномерности освещенности может быть прелставлено в виде к' Из формулы (Ч1.42) для Е вьпекают следующие выводы. !. При х' =О Е =- — „().— — и ) и форма зеркала не влияет на результат, так «ак й, ие зависит от е в пределак области аберрапий 3-х порядков. 2. Прн е' = ! Е не зависит от х' и равно Е=7ъ-)1 т ")" Зю свойство очевидно, так кзк все лучи выходят параллельно осн.
езт Точную формулу для Е можно получить следующим образом: для параболической поверхности имеем й = г !й р=г12 —, х ' а следовательно, гам~ г г ° и Š— = — „соз —. лш !' 2 В принятом ивин приближении зга формула дает Е= ', (! — -,'- ). (Ч!45') 3. Прн е* = 0 (сферическое зеркало) равномерную освещен- ность можно получить только прн к' )', т. е. в плоскости, со- держащей источник. Изложеянме алесь выводы, полученные на основании теория аберраций З.го порядка, верны лишь лля сравнительно иеболы ших углов н (ло 45 — 50'); при ббльшнх углах сиазывается влн».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
