Слюсарев Г.Г. - Расчет оптических систем (1975) (1060808), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Ч! г4); проведем через центр 0 ось симметрии 00,. Рас. сечем сферу рядом 4, параллельных плоскостей, перпендикуляр. 2 ных оси 00, н разделсннмх равными промежутками Ь = — . Бо. т ковая поверхность полученаых таким образом,секций одинакова дчя всех и равна 2кЬ. Если обозначить через и угад, образуемый радиусом г, секдаи с осью 00„ то боковую площадь Ь5 секции можно представить в виде Ь5 = 2я (очи и, — соз и,); прн бесконечно малом изменении плаигади 5 имеем л5 =- — 2ил (соз и) = 2п згп или Эта величина определяет н телесный уюл, ограни геиимд двумя коническими поверхностями с образующими, угол между «оторымв равен Ли.
Проведем через ось 00,4т пласностей, образующмх между 2я собой равные углы —. Например, ~р» зт = 24 угол между пло. з, скостями равен (б . Такггм образом мы разделили с(юру, нли те. леспый угол 4п, «а 4,4, равных участков; каждому такому учв4я стку соответствует телесный угол —. Через середину каждого щщ ' участка, т. е. в точке, апреаеляемов координатамн: з, а соя и, 1 — —; огни,= ! —; сози,= ! — —; 2а — г, сози,= ! —: е, та, З, З, зк — Г пропускаем лучи, прокодящие через точку О. Направяяющне косинусы этих лучей определяются формуламнг Х = соз и; р == юп и соз 8; т = з(п и з(п 8, где 8 — угол между осью р и проекцией АМ луча на плоскость, перпендикулярную оси ООи Лучам, исходящим иэ элемента поверхности источника (илн поверхности Я), определяемьщ изложенным способом, соответ- ствуют равные телесные углы.
Из этого свойства вытекает следую- щей ерием расчета освещенности Е. 44Э Согласно первому методу (прямой ход), необходимо составить имитацию светового потока, нскодящего из источника нли по- верхности б', определяемого формулой Ф = ~ Вбб соз б,ба, где 65 — площадь элемента источника нли поверкности О, — угол между лучом и нормалью к элементу;  — яркость, соответствующав элементу 4$ в направлении распространения луче с направляющими косинусами д, р н т. э д Рас. У1.14 После того как все луч», исхоаящие из центра элемента АЯ и определяемые по указанным выше формулам, рассчитаны и по. лучены координаты их точек пересечения с поверхностью энрана илн иной иалучаемой поверхности, следует кажлой точке пересечения придать коэффициент, иропорииональный произведению В соз В.
Тогда освещенность Е некоторой площадки 3 на экране пропорциональна сумме коэффициентов всех точек, попадающих в э плогцатку, деленной на площадь 5. Р ри использования первого негода н изложенного на стр. 446 приема выбора лучей оказывается, что лучи, соответствуюпгпе первой и иногда второй зоне (соз и, = ! — †; соз и, =- !в Зт зь ' — 1, пересекают экран группами точек, очень близко распо.
те l' ложейнымн вдоЛь окружностей, отделенимх друг от друга боль. шими проыежутклми. Б результате при делении числа точек (с учетом их козффицяентов) на площадь участив эирана, для Которого определяется освещенность, получаемые значения осВещеиностей могут довольно заметно отличаться друг от друга для соседних участков, Этою можно избежать следующим образом. Ближайшему к осн кольцу, через которое проходят дэ лучеб 1 и для которого соз и, = ! — —, оютветствует иа поверхио«ти нц ' Ит экрана некая кривая, близкая к окружности; радиус втой окружности примем равным единице. Те Вз точек, которые расположились вдоль упомянуюй кривой, ва самом деле заполняют круг радиусом Р'2 н прГпом почти равномерно,дак нак в цситральяой области аберрации очеяь малы и освещенность мало отличается от равномерной.
Поэтому мы получим более правильное представлю иие о распределении освещенности в рассматриваемой области, сели 6, упомянутых точек перераспрелелкм равномерно в круге радиусом ) 2. Зю перераспределение можнопровести «иа глазок», ибо допустимо довольно грубое приближение. Впрочем, для ускорения работы удобно испольэовать заранее подютовленные трафареты, пригодные для наиболее употребительных значений 6,: 12,24,36 н т.д. Аналогичный расчет можно провести для следующего кольца, распростраияющеГося от окружности радиусом )Г 2 до окружности радиусом 2, если в этом иыестся надобность, т, е.
если заметив слншко большая «о пен рация точек иа онружиости г= угЗ. Такой прапесс есглаживаиия» нужен главным образом в тех случаях, когда на экран попадают лучи от различных источников н надо производить сложение осэещеннжтей. ВВВВВВВЩВВГЬ, ВНВНВВЯГВВ 336$6636ЩВЮ ЩГЯВВВВ 66 666666 Пусть Б — источник саста, размеры «оп!рого малы по сравнению с расстоянием з, до оптической системы, так что можно считать источник точечйым. Предположим, что сила света Г всточивка $ в направлении, составляющем угол и с осью снсгемы, равна Г (и) = Г, (1 — с э1п' и), где"с — некоторый коэффициент, определяемый из измерений; обозначии через 5; параксиальиое нзоб аженне источника 3.
ля точки на осн оптическая система 00' обладает двумя аберрациями — сфернчссиой аберрацией бз' =. А з)пэ и я отступлением от закона синусов 6, определяемым Вюрмулой а' на в , — 1=В,=Взгптп, в эГи э' где п н а' — углы, образуемые параксиальным лучом, проходящим через Э и 5;; А а  — некоторые коэффициенты. Хрома. тической аберрапией можно пренебречь прн рассматривании вопроса об освещенности экрана. Обозначим через х' (рис. )Г(.1Ь) расстояние от системы до экрана, через э' — рассювние от нее до паракспальиаго изображения источника Я! величину х' — з' обозначим через р. ОсзыценГгость некоторой тпчки Э! зкраяа, отстовщей нафпасстояинн г от центра, может быть определена как отвошеине — эвсментарлл ноГо потока НГР, излучаемого источником 8 внутри поверхностей 4Щ двух конусов, образующих с осью углы и н и+ би, т.
е. йи!б (! — ежй) =- дну з!н нби к элементарной площади, освещаемой этим потокам 33 =- йпгбг, т, е. Е = з а . ((Г1.31) жг Величина г определяется формулой Г = УЭр Гй и' (Р— ба') Гй И' = (Р— А МП'И) Гй Нч (Ч!.32) р р. у!.рв Ив формулы для 3, получаем н' . ! ыв и' = — зш и и г+о,' Полагая б, малым по сравнению с единицей, можно написать з!п и' = — „зщ и (! — В,). (ЛЗЗ) Дмфференцнруя, получаем сочи'би'= — созндл — — ' — з!пи= — сози(! — 3 ми'и) би = аа, ' и' и о и = — "„сов и (1 — 33,) йл.
(71.34) Дифференцируя (7!.32) па л, исключая л' с помощью формул ()г1.33), (У!.34) и подставляя выражение для би' в (У!.32), иолу. чаем — „' = ~", — р (! — 3( — +3,)). Выражение — + 3, обычно обозначается череа ц, оио прови порцмэнально коме оптнчесной системы лля объекта 3 прн аыщ г, г. с .р ззв ладном зрачке, расположенном в плоскости зкраиа ЗЗ, !6, стр. 126, 127!. Выражение (21.32) лля отрезка г может быть написано в виде г=(р — бз')(би' (р — бз') й .
а' . 1 Но мп и' — з!п и —; следовательно, а !+3,' Вследствие малости величин 3»' н б, имеем мои а' з!и и - — р ~1 — ) (1 — б ) —, = — р (1 — ц) —, а сот ' а О~В а' Г!одставляя зто выражение дчя г в формулу (У).31), получаем (Ч) 33) Формула (Ч!.33) приводит к следующим выводам: 1) Е пропорциональна четвертой степени косинуса и", 2) поскольку величина ц пропорциональна коме оптической системы, подтверждаешв связи между освещенностью и комой системы; остальные аберрмгин на освещеншмть ие вяняют.
Несколько неожиданной является завнсимшть освещенности от †, нз которой следует, что в случае и' ( и освещевншчь Е ! оии' обращаетсл в бесконечшцть при и .== и!2, если только ч) не равно — -1- (случай параболондального зернала прн бесконечна большом рассшянии до экрана). Зто любопытное и малоизвестное явление может быть объяснено достаточно наглядно, если рассматривать зпланатическую оптича:кую систему, для которой бз' и 3, равны нулю. У такой снсшмы точно соблюдается отношеыие з)п и' = — з!п и, откуда соа и'би' = — соз нби, а би' = а' а' а а =- — —, би, т. е. при и = и!2 би' = О.
а' сез» а шза' Так как сферическая аберрация отсутствует и все лучи пере. секшотся в одной точке — в паракснальиом изображении источ. ныка 3', то в направлении й создавши концевтрацыя света (кау. стяни) в освещенность экрана в этом направлении становится бесхонечыо бшьшой (без учета дифракцыи). Зто происходит при а' Р— „ з)и и' '= —; г„= р 13 и' = чзо Таким образом, если оптпческая система впланвтнчна и й < < и, та на вкране образуется круглое пятка радиусом г; осве- щенность Е внутри етого пятна постепенна растет, достигая бес- конечности на краю пятна. За пределамн пятна освшценность Е равна нулю. Следует отметать, что если и'ш и, то иа вкране про. исходит посгепеимое умсныиевие освпвеннсмтн при удалекян от оси. рвемся к формуле ((г(.33) двя Е, 1редположим, что угол и не очень велик — не превышает 60 †60 .
Так как большой точности в вычислении Е ие требуется, заменим соз и и осе и' перемыв членамн разложения; »Ьгр», иа»' сози 1 — —; зази'=!в 2 ' 2 и, подставляя нх в выражение для Е,получим е =-г('! ( †„"-, )' ( 1 — ™,* " ) П вЂ” 2 ми* и )(1 + ая).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
