Главная » Просмотр файлов » А.В. Гармаш, Н.М. Сорокина - Метрологические основы аналитической химии (DOC)

А.В. Гармаш, Н.М. Сорокина - Метрологические основы аналитической химии (DOC) (1060728), страница 4

Файл №1060728 А.В. Гармаш, Н.М. Сорокина - Метрологические основы аналитической химии (DOC) (А.В. Гармаш, Н.М. Сорокина - Метрологические основы аналитической химии (DOC)) 4 страницаА.В. Гармаш, Н.М. Сорокина - Метрологические основы аналитической химии (DOC) (1060728) страница 42019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для проверки значимости различия между средним и константой вместо вычисления доверительного интервала можно поступить следующим образом. Легко видеть, что выражение (17) эквивалентно выражению

. (18)

Величина, стоящая в левой части выражения (18), характеризует степень различия между и a с учетом случайной погрешности s(x). Она называется тестовой статистикой (и в общем случае обозначается в дальнейшем как ) для сравниваемых значений. Коэффициент Стьюдента, стоящий в правой части выражения (18), в этом случае непосредственно является критической величиной. Поэтому для проверки значимости различия между и a можно вычислить соответствующую тестовую статистику и сравнить ее с критическим значением, в данном случае табличным значением коэффициента Стьюдента. Если тестовая статистика превосходит критическое значение, различие между сравниваемыми величинами следует признать значимым.

Описанный способ сравнения случайных величин - вычисление тестовой статистики и сравнение ее с табличным критическим значением - является весьма общим. На таком принципе основано множество статистических тестов (или критериев) - процедур, призванных установить значимость различия между теми или иными случайными величинами. Тест, представленный формулой (18) и предназначенный для сравнения среднего значения и константы, называется простым тестом Стьюдента. В химическом анализе его следует применять всегда, когда возникает задача сравнения результатов анализа с каким-либо значением, которое можно считать точной величиной.

Пример 2. При определении никеля в стандартном образце сплава получена серия значений (% масс.) 12.11, 12.44, 12.32, 12.28, 12.42. Содержание никеля согласно паспорту образца - 12.38%. Содержит ли использованная методика систематическую погрешность?

Решение. Паспортное содержание никеля считаем действительным (точным) значением и применяем простой тест Стьюдента. Имеем:

s(x)=0.132, n=5, f=4, a=12.38.

 = = = 1.12 < t(P=0.95, f=4)=2.78.

Отличие результата анализа от действительного значения незначимо, методика не содержит систематической погрешности.

К этому выводу можно прийти и путем непосредственного расчета доверительного интервала среднего значения результатов анализа (формула (16)):

.

Паспортное содержание никеля попадает в доверительный интервал.

Сравнение двух средних. Модифицированный тест Стьюдента

При интерпретации результатов химического анализа возникают и более сложные задачи. Предположим, необходимо сравнить два результата анализа одного и того же образца, полученные разными методами, и при этом оба результата содержат сравнимые между собой случайные погрешности. В этом случае уже нельзя ни один из результатов считать точной величиной и, соответственно, применять простой тест Стьюдента. Математически задача сводится в этом случае к установлению значимости различия между двумя средними значениями и .

Для решения этой задачи используют модифицированный тест Стьюдента. Он существует в двух вариантах: точном и приближенном. Точный вариант применяют тогда, когда дисперсии соответствующих величин и различаются незначимо (что, в свою очередь, необходимо предварительно проверить с помощью еще одного статистического теста - теста Фишера, см. следующий раздел). При значимом различии и применяют приближенный вариант (приближение Уэлча).

В точном варианте модифицированного теста Стьюдента тестовая статистика вычисляется как

. (19)

Как видим, по способу вычисления она весьма похожа на тестовую статистику простого теста Стьюдента (см. формулу (18)). В выражении (19) n1 и n2 - числа параллельных значений, из которых рассчитаны величины и , соответственно, а - среднее стандартное отклонение, вычисляемое как

. (20)

Величины f1 и f2 - числа степеней свободы соответствующих дисперсий, равные n1-1 и n2-1. Критическим значением служит коэффициент Стьюдента t(P,f) для выбранной доверительной вероятности P (обычно 0.95) и числа степеней свободы

f=f1+f2=n1+n2-2 . (21)

Таким образом, значимое различие между и имеет место тогда, когда

. (22)

В приближении Уэлча тестовая статистика вычисляется следующим образом:

. (23)

Критическим значением вновь служит коэффициент Стьюдента t(P,f). Число степеней свободы в этом случае вычисляется как

(24)

и округляется до ближайшего целого числа. Приближенный вариант теста Стьюдента недостаточно достоверен, особенно при малых значениях f1 и f2. На практике тест Стьюдента-Уэлча применяют очень редко. Вместо него почти всегда можно использовать простой вариант теста Стьюдента (см. пример 4).

Сравнение воспроизводимостей двух серий данных. Тест Фишера

Для выбора между точным и приближенным вариантом модифицированного теста Стьюдента необходимо предварительно установить, есть ли значимое различие между величинами и , т.е. воспроизводимостями обеих серий данных. Разумеется, задача сравнения воспроизводимостей имеет и вполне самостоятельное значение.

Как и средние , дисперсии s2 тоже представляют собой случайные величины. Поэтому сравнивать их тоже нужно с использованием соответствующих статистических тестов. Тест для сравнения двух дисперсий был предложен английским биологом Р. Фишером и носит его имя.

В тесте Фишера тестовой статистикой служит отношение большей дисперсии к меньшей:

. (25)

Подчеркнем, что необходимо, чтобы и, соответственно, 1, в противном случае индексы следует поменять местами. Критическим значением служит специальный коэффициент Фишера F(P, f1, f2), зависящий от трех параметров - доверительной вероятности P и чисел степеней свободы f1 и f2 дисперсий и , соответственно. Значения коэффициентов Фишера для стандартной доверительной вероятности P=0.95 приведены в табл. 2 (приложение). Следует обратить внимание, что F(f1, f2)F(f2, f1), поэтому при пользовании этой таблицей надо быть очень внимательными.

Если отношение дисперсий (25) меньше, чем соответствующее значение F(P, f1, f2), это означает, что различие между и незначимо - воспроизводимость обеих серий одинакова, или, как говорят, "дисперсии однородны". В этом случае можно вычислить среднюю дисперсию по формуле (20) и пользоваться ею как общей характеристикой воспроизводимости обеих серий. Число степеней свободы этой дисперсии равно f1 + f2. Если же дисперсии неоднородны, вычисление средней дисперсии, очевидно, лишено смысла.

Еще раз обратим внимание, что тест Фишера предназначен для сравнения только воспроизводимостей результатов (т.е. дисперсий), но никак не самих результатов (т.е. средних). Делать какие-либо выводы о различии средних значений, наличии в той или иной серии данных систематической погрешности, различиях в составе образцов и т.д. на основании теста Фишера недопустимо. Для сравнения средних значений после теста Фишера следует применять тест Стьюдента (в той или иной его разновидности).

Пример 3. Примесь тиофена в бензоле (% масс.) определяли спектрофотометрическим (1) и хроматографическим (2) методами. Получили следующие серии данных:

(1) 0.12 0.19 0.16 0.14;

(2) 0.18 0.32 0.24 0.25 0.28.

Известно, что хроматографическая методика не содержит систематической погрешности. Содержит ли систематическую погрешность спектрофотометрическая методика?

Решение. Вычислим средние и дисперсии для обеих серий:

(1) = 0.153, , n1=4, f1=3;

(2) = 0.254, , n2=5, f2=4.

Сравним воспроизводимости серий по тесту Фишера:

= =3.0 (делим большую дисперсию на меньшую!)

Критическое значение F(0.95, 4, 3) = 9.1 (не F(0.95, 3, 4)= 6.6!)

Получаем <F, воспроизводимости данных одинаковы. Поэтому вычисляем среднее стандартное отклонение и применяем точный вариант теста Стьюдента:

= 0.0437;

= 3.27 t(P=0.95, f=7) = 2.37.

Видно, что >t, средние различаются значимо, спектрофотометрическая методика содержит систематическую погрешность (отрицательную).

Пример 4. В образце сплава определили медь спектрографическим атомно-эмиссионным (1) и титриметрическим (2) методами. Получены следующие результаты (% масс.).

(1) 12.1 14.1 13.6 14.8;

(2) 13.40 13.75 13.65 13.58 13.60 13.45.

Известно, что титриметрическая методика не содержит систематической погрешности. Содержит ли систематическую погрешность атомно-эмиссионная методика?

Решение. Вычислим средние и дисперсии для обеих серий:

(1) = 13.65, , n1=4, f1=3;

(2) = 13.57, , n2=6, f2=5.

Сравним воспроизводимости данных по тесту Фишера:

= =78.8

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,12 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее