Малышев К.В. - Методическое пособие (1060626), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Электростатическое поле в системе зонд-наночастицы-подложка рассчитывалось методом граничных элементов с применением функций Грина, как подробно описано в [10].

Расчет электростатического поля вокруг зонда и наночастиц. Формула Грина (1) выражает потенциал V(r₀) в точке r₀ снаружи объема, ограниченного поверхностью S, через значения на этой поверхности самого потенциала V(r) и его нормальной производной ∂V(r)/∂n≡ F(r). Предполагается, что объемная плотность заряда во всех точках r₀ отсутствует.

(1)

Здесь G₀(r₀,r) – известное (2) фундаментальное решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния |r₀–r | между точками r₀ и r, а H₀(r₀,r)≡ ∂G₀(r₀,r)/∂n– его нормальная производная в точке r на поверхности S, также известная функция точек r₀ и r.

(2)

Здесь c₀ ≡ –1/4π, а n– вектор нормали к поверхности в точке r. В нашем случае наночастиц между зондом и подложкой поверхность S состоит из отдельных поверхностей зонда S_t, подложки S_s и каждой из наночастиц S_n. Предполагаем, что наночастицы идеально проводящие и контактируют с поверхностью проводящей подложки. Поэтому все поверхности S - эквипотенциальные. Потенциалы V(r) на них известны и задаются внешним источником напряжения между зондом и подложкой (рис.1).

Неизвестной величиной в правой части (1) является F(r) - нормальная производная потенциала на поверхности S. Т.е. неизвестна напряженность электрического поля на поверхностях зонда, подложки и НЧ, пропорциональная поверхностной плотности заряда. Чтобы ее найти, можно применить (3) - вариант формулы Грина (1), справедливый, когда точка r₀ лежит на гладкой поверхности S.

(3)

Поскольку в этой формуле все значения потенциалов V(r₀) известны, рассматриваем ее как интегральное уравнение (4) относительно неизвестной напряженности F(r) на поверхности S.

(4)

Это интегральное уравнение становится матричным (5) после разбиения поверхности S на отдельные элементы S_k. Предполагаем, что в пределах каждого k-го элемента поверхности искомая напряженность F(r) постоянна и принимает значение F_k.

(5)

Здесь N - число всех элементов на поверхностях зонда, подложки и наночастиц, а матричные элементы A_mk есть функция G₀(r₀,r), проинтегрированная по k-му элементу поверхности S_k. Аналогично выглядят и элементы вектора b_m.

(6)

Для числа N всех элементов поверхности больше примерно 100 решение системы (5) N линейных уравнений занимает неприемлемо большое время. Чтобы сократить число этих уравнений, оставим в уравнении (4) неизвестной напряженность F(r) только на поверхностях НЧ. Чтобы убрать из (4) неизвестную напряженность F(r) на поверхностях зонда и подложки, применим метод функций Грина.

Функция Грина для зонда и подложки. По методу функций Грина мы должны заменить в формуле (1) фундаментальное решение G₀(r₀,r) на такую функцию G(r₀,r) , которая не только имеет свойство «фундаментальности» функции G₀(r₀,r), но и обращается в ноль в точках r на поверхностях зонда S_t и подложки S_s . Тогда неизвестная напряженность F(r) в правой части (1) останется только в интеграле по поверхностям наночастиц S_n (7).

(7)

Здесь H(r₀,r)≡ ∂G(r₀,r)/∂n –нормальная производная функции Грина G(r₀,r) в точке r на поверхности S. Так число линейных уравнений в методе граничных элементов уменьшается до числа N_n элементов, располагающихся только на поверхностях наночастиц S_n, но не на поверхностях зонда и подложки.

Для нахождения функции Грина в аналогичной ситуации в работе [6] применялось вспомогательное распределение точечных и линейных зарядов вдоль оси зонда. Такое распределение достаточно для расчета силы притяжения зонда к поверхности, но недостаточно для расчета поля между зондом и произвольно расположенными наночастицами. Для расчета поля внутри экранированного объема в работе [7] применялось вспомогательное распределение точечных зарядов снаружи от объема. Действуя в этом же духе, мы рассмотрим вспомогательное распределение точечных зарядов внутри зонда.

Чтобы выяснить, каким требованиям должно удовлетворять искомое вспомогательное распределение зарядов, вернемся к уравнению (1). При его выводе (см. напр. [9, с.123]) на функции V(r₀) и G₀(r₀,r) накладывались условия гармоничности и фундаментальности (8)

(8)

Здесь Δ - лапласиан, действующий на переменную r, δ(r₀,r)– дельта-функция Дирака, S_∞ - бесконечно удаленная поверхность.

Формула (1) получается после подстановки функций V(r) и G₀(r₀,r) в формулу Грина (9) вместо функций U(r) и E(r) соответственно.

(9)

Здесь dW(r)– элемент объема W около точки r, а dS_F(r)– элемент полной поверхности S_F, окружающей весь объем W. Эта поверхность состоит из бесконечно удаленной поверхности S_∞, а также поверхностей зонда S_t, подложки S_s и наночастиц S_n. После применения условий гармоничности и фундаментальности (8) в левой части (9) остается только потенциал V(r₀), а справа – правая часть формулы (1), причем из поверхности интегрирования S исчезает поверхность S_∞ и остаются только поверхности зонда S_t, подложки S_s и наночастиц S_n.

Функция G₀(r₀,r) есть потенциал в точке r, создаваемый точечным зарядом величиной –1/4π, расположенным в той точке r₀, где мы вычисляем значение потенциала V(r₀) по формуле (1). Добавим к этому точечному заряду любую совокупность точечных зарядов {Q_n}, расположенных вне объема интегрирования формулы (9) в точках r_n. Тогда формула (1) по-прежнему будет верна. Но в ее правой части фундаментальное решение G₀(r₀,r) заменяется суммой фундаментальных решений G₀(r_n,r), соответствующих точечному заряду в точке r₀, и всем дополнительным зарядам Q_n в точках r_n внутри зонда. Таким образом, вместо (1) получаем (10).

(10)

Здесь функция Грина G(r₀,r) и ее нормальная производная H(r₀,r) зависят от расположения r_n и величины Q_n вспомогательных зарядов внутри зонда.

(11)

Здесь M – полное число вспомогательных зарядов внутри зонда. Вид функций G₀ и H₀ приведен в (2). Величины, расположение и число вспомогательных зарядов можно выбирать произвольно, лишь бы функция G(r₀,r) обращалась в ноль на поверхностях зонда S_t и подложки S_s с удовлетворительной точностью.

Поскольку поверхность подложки предполагается плоской, для обнуления G на ее поверхности S_s достаточно разместить под этой поверхностью зеркально расположенные заряды. К каждому точечному заряду над поверхностью подложки добавляем зеркальный заряд противоположного знака, расположенный под поверхностью. Получаем

(12)

Здесь звездочка означает зеркальное отражение в плоскости подложки. Начало отсчета координаты z выбрано на поверхности подложки, поэтому для любого r_n= (x_n,y_n,z_n) получаем r_n*= (x_n,y_n,–z_n).

Таким образом, для расчета функции Грина G остается обнулить выражение (12) для точек r на поверхности S_t зонда. Выбираем число этих поверхностных точек r_m равным числу M вспомогательных зарядов и получаем систему M линейных уравнений для нахождения неизвестных величин Q_n вспомогательных зарядов внутри зонда при заранее заданном их расположении r_n.

(13)

Здесь C_mn≡ G₀(r_n,r_m)– G₀(r_n*,r_m) и d_m≡ G₀(r₀*,r_m)– G₀(r₀,r_m)

Эта система линейных уравнений решается каждый раз, когда надо вычислить значение функции Грина или ее нормальной производной. Число M вспомогательных зарядов много меньше числа N граничных элементов. Поэтому решение такой системы экономит тем больше времени, чем мельче разбиение поверхностей НЧ. После нахождения G и H находим F(r) из (5), а затем из (7) –потенциал V(r₀) в любой требуемой точке r₀.

В этот алгоритм были внесены только изменения, вытекающие из электрической изолированности наночастиц. В отличие от [10] здесь заранее заданы не потенциалы идеально проводящих частиц, а их заряды. Поэтому в интегральном уравнении (*) относительно неизвестной нормальной компоненты E(r) напряженности электрического поля на суммарной поверхности S всех частиц значения потенциалов V(r) тоже неизвестны.

(*)

Здесь H(r₀,r)≡ ∂G(r₀,r)/∂n –нормальная производная функции Грина G(r₀,r) в точке r на поверхности S. Произвольная точка r₀ также располагается на поверхности S. Функции H и G находятся из решения отдельной задачи для функции Грина, обращающейся в ноль в точках r на поверхностях зонда и подложки (подробности см. в [10]).

Для нахождения V(r) привлекаем уравнение (**), выражающее заряд Q(m) каждой m-ой частицы через нормальную компоненту E(r) напряженности электрического поля на ее поверхности S_m.

(**)

Здесь ε - диэлектрическая проницаемость среды (для воды бралось значение 80). После разбиения поверхности S всех частиц на граничные элементы уравнение (*) становится матричным, а уравнение (**) позволяет выразить одну из компонент неизвестного вектора E через его другие компоненты (число компонент равно числу граничных элементов). Т. о., все изменения в алгоритме расчета по сравнению с [10] сводятся к тому, что в искомом векторе E одна из его компонент для каждой частицы заменяется неизвестным значением ее потенциала V.

После нахождения нормальной компоненты E напряженности электрического поля на поверхности каждой частицы диэлектрофоретическая сила F(m) m-ой частицы вычислялась с помощью известного [11] выражения для максвелловского тензора напряжений.

Характеристики

Список файлов книги