Малышев К.В. - Методическое пособие (1060626), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Характерными особенностями полупроводниковых квазипериодических СР являются сильно изрезанный вид спектра электронных состояний и его самоподобие. В отличие от случаев периодических СР и традиционного двухбарьерного резонансно-туннельного диода (РТД) этот спектр для случая квазипериодических СР немонотонно зависит от внешнего электрического поля. При плавном росте приложенного напряжения могут внезапно появиться новые резонансные состояния электронов проводимости. Именно такие состояния, локализованные в 2-3 соседних потенциальных ямах профиля дна зоны проводимости поперек слоев СР, обеспечивают несколько близких по частоте переходов с энергией порядка 10 мэВ в многоцветном терагерцевом лазере на квазипериодических СР. Эти же слабо локализованные состояния могут оказаться полезными и для других применений, требующих наличия не сплошных энергетических минизон шириной порядка 100 мэВ, а отдельных близкорасположенных резонансных пиков шириной порядка 1-10 мэВ. Если принимаются меры против образования доменов сильного электрического поля в полупроводниковой СР, то каждый такой резонансный пик плотности состояний может привести к волнистости вольтамперной характеристики (ВАХ) квазипериодической сверхрешетки. Поэтому полупроводниковые квазипериодические СР могут оказаться полезными во всех электронных устройствах, чувствительных к форме ВАХ нелинейного элемента.

К таким устройствам относятся нейроподобные сети, нейроны которых в микроэлектронном исполнении содержат нелинейные элементы в виде диодов, имеющих ВАХ с падающим участком. Поведение таких нейронов часто описывается моделью ФитцХью-Нагумо (FitzHugh–Nagumo). Эта модель после упрощений сводится к модели клеточной нелинейной сети (КНС), каждая ячейка которой содержит только диод, конденсатор и несколько сопротивлений – по одному на каждую связь с соседними ячейками. В качестве диода для КНС перспективным считается РТД, изготавливаемый в виде слоистой полупроводниковой гетероструктуры. Меняя толщину и состав барьерных слоев этой гетероструктуры, можно менять форму начального участка ВАХ РТД. Для работы нейрона важен падающий участок ВАХ. Переход от РТД к диоду на квазипериодической СР может сделать волнистым падающий участок ВАХ, что изменит поведение нейрона. В частности, волнистость ВАХ может усилиться настолько, что приведет к появлению новых небольших падающих участков. Это повлечет за собой образование новых устойчивых и неустойчивых состояний равновесия в фазовом пространстве нейросети.

Поэтому применение квазипериодических сверхрешеток в качестве нелинейных элементов нейросети может оказаться перспективным для преобразования ее фазового портрета, что позволит продвинуться во многих областях – от моделирования деятельности нервной системы до информационно-измерительных и управляющих систем. Нейросети хорошо себя зарекомендовали для параллельного преобразования изображений. Поэтому полезно было бы выяснить возможные преимущества квазипериодических СР в качестве нелинейных элементов нейросети ФитцХью-Нагумо на примере параллельного преобразования изображения с ее помощью.

Рассматривалась нейросеть в виде плоской решетки нейронов ФицХью-Нагумо [7], моделирующей двумерную возбудимую среду. После предположения об отсутствии медленного ингибитора эта система сводится к одному диффузионно-реакционному уравнению [15]

(2)

Здесь V- переменная, описывающая возбужденное состояние среды в точке r в момент времени t, D_V – коэффициент диффузии для расплывания возбуждения, ∆ – лапласиан, F_R(V) – скорость роста возбуждения из-за автокаталитической реакции.

Для преобразования сигнала с помощью такой среды он задается в виде пространственного распределения возбуждения V(r,t₀) в некоторый начальный момент времени t₀. Затем среда эволюционирует в соответствии с уравнением (1) и спустя некоторое время мы получаем преобразованный сигнал в виде нового пространственного распределения V(r,t). Если преобразование заключается в очистке распределения V(r,t₀) от высокочастотного пространственного шума, то с этим хорошо справляется диффузионное слагаемое F_D = D_V∆V. Однако оно уменьшает амплитуду не только вредного шума, но и полезных низкочастотных составляющих сигнала. Для противодействия этому служит реакционное слагаемое F_R. (рис.4). Диффузионное слагаемое F_D уменьшает высоту холмов и глубину ям в рельефе полезной низкочастотной компоненты сигнала. Для препятствования этому реакционное слагаемое F_R смещает ямы вниз, а холмы вверх. Этим объясняется S-образный вид зависимости F_R(V).

В дискретном виде такая диффузионно-реакционная среда удобно реализуется в микроэлектронном исполнении с помощью плоской КНС, состоящей из ячеек, в которые входят только резисторы, конденсаторы и нелинейные сопротивления [16] (рис.1). При этом уравнение (2) принимает вид (3)

(3)

Здесь V_n,k - напряжение в (n,k)-узле сети, τ = RC – постоянная времени одинаковых RC-цепочек, соединяющих соседние узлы. Цепочки состояли из сопротивления R=10 Ом и емкости С=10 пФ, что давало характерное время сглаживания шумов на изображении Т= 100 пс. При решении системы (3) значения тока I(V) через нелинейный элемент на каждом шаге временной эволюции вычислялись с помощью кубической аппроксимации по 1000 точкам расчетных ВАХ. Роль диффузионного слагаемого F_D уравнения (2) здесь играют первые 2 слагаемых, а роль реакционного F_R – последнее слагаемое, т.е. ВАХ нелинейного элемента со знаком минус. Чтобы препятствовать сглаживанию полезного сигнала ВАХ имеет N-образный вид.

При практической реализации [17] такой КНС в матричном фотопреобразователе изображение разбивается на N_x точек по горизонтали и N_y точек по вертикали. Под каждой точкой располагается узел КНС. Начальное напряжение V_n,k в вольтах на узле ячейки (n,k) равно интенсивности света в этой точке, принимающей значения от 0 (черный цвет) до 1 (белый). Далее КНС отсоединяется от фотоприемника, и напряжение V_n,k на каждом узле начинает меняться во времени t из-за наличия емкости и нелинейного элемента внутри ячеек КНС, а также из-за резистивной связи каждой ячейки с ее ближайшими соседями. Спустя некоторое характерное время, определяемое параметрами КНС, каждый узел соединяется с соответствующим узлом светоизлучающей матрицы. Интенсивность света, излучаемого элементами матрицы, пропорциональна напряжениям V_n,k(t) на соответствующих узлах КНС. Так получается преобразованное изображение. Подробности преобразования изображений с помощью КНС описаны в [16].

В данной работе принималось N_x = 64 точки по горизонтали и N_y = 64 точки по вертикали. Методика исследования КНС применялась такая же, как в работе [16]. Для нахождения зависимости V_n,k(t) решалась система N= N_x*N_y= 4056 обыкновенных дифференциальных уравнений (3) с помощью специализированного алгоритма «ode15s» пакета МатLab. При решении системы (3) для граничных ячеек предполагалась гладкость изображения, т.е. непрерывность пространственной производной напряжения в каждой ячейке на границе изображения. Например, для ячеек первой строки в (3) полагалось V_0k= 2V_1k – V_2k. Аналогично вычислялись значения напряжения с индексами 0 и N_y (N_x)+1 в ячейках первой и последней строк (первого и последнего столбца).

К исходному эталонному изображению добавлялся гауссов шум в виде случайной выборки N чисел, имеющих нормальное распределение с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением 0,1. Целью преобразования являлось получение изображения как можно более близкого к эталону. В качестве меры отличия преобразованного изображения от эталона принималось относительное среднеквадратичное отклонение D, вычисляемое как отношение |V-W| / |W| модулей векторов. Здесь V - вектор преобразованного изображения, W - вектор эталонного изображения, || - знак модуля вектора. Компонентами вектора V изображения являются значения яркостей точек изображения, т.е. совокупность всех значений напряжения V_nk в узлах КНС. Значения V_nk вычислялись в 10 последовательных моментов времени, занимающих интервал 0 – 2 в единицах τ= RC. В этом интервале времени отличие преобразованного изображения от эталона сначала уменьшается, а потом растет для исследованных ВАХ при выбранных значениях R=10 Ом и емкости С=10 пФ.

1. 3. Действие клеточной нелинейной сети на основе квазипериодических сверхрешеток

Существование многих максимумов на ВАХ квазипериодических СР может привести к наличию нескольких устойчивых состояний равновесия у КНС. Эта мультистабильность имеет решающее значение для всех процессов, протекающих в нелинейных сетях. В частности, преимущества ВАХ со многими максимумами для обработки изображений с помощью КНС описаны в [17]. Там ВАХ синусоидального вида получались с помощью нескольких операционных усилителей и аналоговых перемножителей. Здесь же мы видим, что ВАХ с несколькими хорошо различимыми максимумами получается все лишь на одной квазипериодической СР.

На рис.5 показан ход преобразования исходного зашумленного изображения (рис.5b) с помощью типичной КНС на основе эталонного диода с кубической ВАХ, приведенной на рис.3. Отклонение от эталонного изображения (рис.5a) сначала уменьшается (рис.5b-d) за счет сглаживания шума, достигает минимума (рис.5e) в момент времени t/τ =0.3, а затем растет (рис.5b-d) за счет увеличения контрастности.

На рис.6 сравниваются временные зависимости среднеквадратичных отклонений D изображений, получаемых с помощью КНС на основе диода с кубической ВАХ, фигурной СР F⁰₁₁(2) и фигурной СР F⁸₁₁(2). Наименьшие отклонения для всех структур достигаются за время, сравнимое с характерным временем τ. Для СР F⁰₁₁(2) наименьшее отклонение преобразованного изображения от эталона почти вдвое меньше, чем для остальных структур.

На рис.7 преобразованные изображения, имеющие наименьшие отклонения от эталона, сравниваются между собой. Видно, что улучшение в ряду (рис.7b-d) связано с улучшением преобразования фона изображения. КНС на основе эталонного диода оставляет фон зернистым (рис.7b). КНС на основе фигурной СР F⁸₁₁(2) заметно уменьшает зернистость фона (рис.7с). КНС на основе фигурной СР F⁰₁₁(2) почти полностью убирает зернистость фона (рис.7d).

За преобразование фона изображения отвечает падающий участок ВАХ нелинейного элемента, входящего в состав ячейки КНС. Кубическая ВАХ традиционного нелинейного элемента имеет одну положительную и одну отрицательную ветви (рис.3). Положительная ветвь ВАХ смещает темно серый цвет данной точки изображения в сторону черного цвета, а отрицательная ветвь ВАХ смещает светло-серый цвет в сторону белого цвета. При таком преобразовании точки фона промежуточного серого цвета на изображении оказываются в неустойчивом состоянии. Для улучшения преобразования желательно, чтобы точки серого фона смещались медленнее в крайние состояния черного и белого цветов, либо смещались в некоторые устойчивые состояния подходящего серого цвета. Эти требованиям как раз удовлетворяют средние участки ВАХ нелинейных элементов на основе фигурных СР (рис.3). У фигурной СР F⁸₁₁(2) отрицательная ветвь ВАХ волнообразна, а положительная ветвь немонотонна. Поэтому преобразование серого фона изображения с помощью СР F⁸₁₁(2) оказывается лучше, чем с помощью эталонного диода. У фигурной СР F⁰₁₁(2) немонотонность ВАХ настолько велика, что появляется несколько положительных и отрицательных ветвей. Пересечение с нулем растущих участков этих ветвей дает устойчивые состояния серого цвета на изображении. Поэтому преобразование серого фона изображения с помощью СР F⁰₁₁(2) оказывается лучше, чем с помощью СР F⁸₁₁(2) и с помощью эталонного диода.

Остальные квазипериодические СР в составе КНС при фильтрации изображения ведут себя аналогично этим рассмотренным фигурным СР в зависимости от волнистости первого падающего участка ВАХ и размаха этой волнистости. ВАХ фибоначчиевой СР S₇= BABBABABBABBA (рис.2) и ВАХ фигурной СР F¹₁(7)= ABBABABBBABAB (не показана) имеют слабую волнистость в области падающего участка, поэтому ведут себя аналогично фигурной СР F⁸₁₁(2). Волнистость ВАХ фибоначчиевой СР S₈= BABBABABBABBABABBABAB (не показана) увеличивается, но не достигает волнистости СР F⁰₁₁(2). Поэтому СР S₈ по характеристикам фильтрации изображения оказывается между СР F⁸₁₁(2) и СР F⁰₁₁(2).

В заключение следует отметить, что преимущества квазипериодических СР, связанные с мультистабильностью, с большой вероятностью проявятся не только в нейросетях, но и во всех других нелинейных динамических системах. Это следует из эквивалентности ячейки рассмотренной выше нелинейной сети передемпфированному осциллятору в двухъямном потенциале [17]. В смысле уравнений динамики переход от обычных гетероструктур типа РТД, имеющих N-образные ВАХ, к квазипериодическим СР эквивалентен переходу от динамической системы с двухъямным потенциалом к системе с многоямным потенциалом. Поэтому в области нелинейных систем применение квазипериодических СР обязательно приведет к обнаружению новых интересных явлений. Например, планируется исследовать распространение солитонов и спиральных волн в диффузионно-реакционных средах на основе квазипериодических СР, а также явления самоорганизации, в том числе самоорганизованную критичность и хаотические колебания.

Характеристики

Список файлов книги