Лекц_упр_9 (1055138), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е. уравнения, получающегося изисходного, если его правую часть приравнять нулю.ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Очевидно, как уравнению (VII.26), так и уравнению (VII.27) соответствует одно ито же однородное уравнение, а именно:Вспомним (гл. IV), что характер решения уравнения (VII.28) критическимобразом зависит от величины коэффициента затухания ζ.Определение этого безразмерного параметра, введенное в гл. II для конкретноймеханической системы, можно теперь обобщить таким образом, чтобы онобыло применимо к любой системе второго порядка.Так, если записать уравнение (VII.28) в обобщенной формето коэффициент ζ определяется так:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Раскрыв значения коэффициентов уравнения (VII.30), получим следующеевыражение для коэффициента затухания газообменника, образуемого легкими,кровеносной системой и тканями:Если теперь подставить в уравнение (VII.31) числовые значения констант,приведенные в табл.

5, то мы обнаружим, что исследуемая система сильнопередемпфирована, т. е. коэффициент ζ равен по меньшей мере 6,0; поэтомусистема очень устойчива.Параметр•Норма •льноезначениеДля•удвоенногозначенияальвеолярнойвентиляциVAДляудвоеногозначенияминутногообъемасердцаθ•Таблица 5Для•половинногообъематканейКTДляполовинногозначенияобъемалегких КAОбъем тканей КТ, л4040402040Минутный объем сердца Q, л/мин661266Объем легких КА, л33331,5Вентиляция V`A, л/мин510555Атмосферное давление В, мм pm.ст.760————Наклон кривой поглощения As,л/л/мм рпг.

ст.0,00425————Коэффициент затухания ζ8,287,0410,56,011,6T1, мин0,120,100,070,120,06T2, мин32,9419,7929,7016,7432,75ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Оказывается, что для описания такой передемпфированной системы удобнееиспользовать не величины ζ и ωn, а две эффективные временные постоянные: Т1и Т2.Отметим, прежде всего, что уравнение (VII.28) можно переписать следующимобразом (если ввести три постоянные времени):гдеЕсли теперь ввести эффективные постоянные времени T1 и Т2, определяемыеравенствамиито уравнение (VII.28) примет следующий вид:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Как было показано в гл. III, общее решение уравнения (VII.35) записываетсяследующим образом:где r1 и r2 — корни алгебраического характеристическогосоответствующего уравнению (VII.35); это уравнение имеет видуравнения,Очевидно, левая часть уравнения (VII.37) может быть представлена в видепроизведения двух сомножителей:Это уравнение имеет корниСледовательно, общее решение однородного уравнения, или переходныйпроцесс θt, как для уравнения (VII.26), таки дляуравнения (VII.27)описывается выражением:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Следующий шаг при нахождении решения классическим методом заключается вопределении частного интеграла, или вынужденной реакции θр.Поскольку правая часть уравнения (VII.26) — константа, то, пользуясьметодами, описанными в гл.

III и IV, мы сразу же получимДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Последнее выражение представляет, разумеется, установившееся значение θTss.Отвлечемся на минуту и рассмотрим более внимательно правую часть уравнения(VII.26).Хотя, вообще говоря, концентрация θTss постоянна при t > О, часть ее (аименно три последних слагаемых) имеет одно и то же значение для всехмоментов времени, включая t<0, и поэтому фактически представляет начальноеусловие для θT, а не ступенчатую функцию.В таком случае мы можем пойти двумя путями:1) включить эти постоянные слагаемые в ступенчатое возмущение, как этопредполагается уравнением (VII.42), а также учесть их в качестве начальныхусловий для θT ;2) исключить их в обоих случаях и просто добавить их к решению поокончании выкладок.Оба метода показывают, что такие постоянные слагаемые влияют только наначало отсчета.ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Используя первый метод, запишем общее решение уравнения (VII.26)следующим образом:где θTss определяется согласно уравнению (VII.42), а постоянные С1 и С2определяются из условий:θT=0 при t=0Используя методы, изложенные в гл.

IV, получим следующие значения дляпостоянных С1 и С2;ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Окончательно решение нашего уравнения выглядит следующим образом:или в форме безразмерного отношенияТо обстоятельство, что уравнение (VII.47) определяет одну и ту же кривую длялюбых значений θT и θTss, наглядно показывает, почему инженеры, исследующиединамику систем, не обращают внимания на установившиеся значения на обоихконцах переходного процесса.Например, инженер, не колеблясь, пренебрег бы последними тремя слагаемымив правой части уравнения (VII.26) и положил бы θTo=0, хотя для физиолога этоозначало бы предположить совершенно невероятную вещь (т.е.

MR=0)!ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.О решении уравнения (VII.27) относительно величины θA можно сказатьследующее.Как мы уже отметили, переходный процесс определяется выражением (VI1.41).Однако при отыскании частного интеграла мы встретим нечто новое, так как вправую часть уравнения (VII.27) входит не только величина F1co2(t), но и еепроизводная F`1co2(t).Далее, в гл. III было отмечено, что если F`1co2(t) — ступенчатая функция, то еепроизводная — импульсная, или дельта-функция.Оказывается, что влияние единичного импульсаможетбытьучтенодобавлением величины 1/Кп к начальному условию для (п—1)-й производной,где Кп—коэффициент при наивысшей производной в уравнении, записанном встандартной форме (VII.29).Следовательно, чтобы получить искомый частный интеграл, мы можем считатьправую часть уравнения (VII.27) постоянной и написатьДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Между прочим, если умножить установившееся решение (VII.48) наатмосферное давление, то мы получим уравнение, идентичное уравнению (VII.2),полученное ранее для хемостата в установившемся режиме.Таким образом, общее решение уравнения (VII.27) может быть записаноследующим образом:Остается лишь определить значения постоянных С3 и С4, исходя из начальныхусловий.а θА имеет значение, определяемое импульсной функцией τ2(F`1co2)1(t).Очевидно, величина этого импульса равна τ2[θAss—θ0], и так как Кп=T1T2,то θAo=(τ2/T1T2) [θАss—θ0].Используя эти начальные условия, получим значения величин С3 и С4:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.В окончательном виде решение уравнения выглядит следующим образом:или, записанное в виде безразмерного отношения,Перепишем уравнение (VII.52), чтобы рассмотреть его с другой точки зрения:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Записанное в такой форме, это уравнение хорошо иллюстрирует принципсуперпозиции, применимый к линейным системам.Первое слагаемое в скобках представляет собой реакцию только на ступенчатуюфункцию.Второе слагаемое, которое может быть получено непосредственно, если в общемрешении однородного уравнения (VII.41) положить θA=0 и θ`А=(τ2/Т1Т2)[ θАss—θАо] при t=0, представляет реакцию только на импульс.Когда эти два вынуждающих воздействия подаются на систему одновременно,как это имеет место в случае, описываемом уравнением (VII.27), реакция системыпредставляет собой сумму реакций на каждое воздействие в отдельности.Наконец, отметим, что уравнение (VII.54) можно было бы получить еще однимспособом; для этого нужно продифференцировать уравнение (VII.47) (при этомполучается выражение для θ`Т), затем умножить θ`Т на τ2 и это произведениесложить с (VII.47), что дает θА в соответствии с уравнением (VII.24).ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Рассмотрим теперь способ решения уравнения (VII.26) или (VII.27) методомпреобразований Лапласа.Прежде всего, перепишем их, используя введенные временные постоянные:Если вынуждающее воздействие F1co2)(t) есть ступенчатая функция самплитудой, равной (F1co2)1, то правую часть уравнения (VII.55) можноинтерпретировать следующим образом: при t = 0а при t→∞ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.В данном случае также существуют два способа, с помощью которых можноучесть постоянные величины θTo и θAo при решении уравнений (VII.55) и(VII.56) методом преобразований Лапласа.Более трудный способ заключается в том, чтобы рассматривать их как начальныеусловия для θT и θA, одновременно прибавляя к амплитуде ступенчатоговынуждающего воздействия.Более легкий способ заключается в том, чтобы не принимать их во внимание дотех пор, пока уравнения не будут решены, а затем прибавить к полученнымрешениям.Выберем второй способ.

Применяя к уравнениям (VII.55) и(VII.56)преобразование Лапласа, получимУчитывая, что F1co2(s) есть изображение ступенчатой функции с амплитудойF1co2 перепишем полученные уравнения в форме передаточной функции:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Первый сомножитель в правой части, идентичный для обоих уравнений,представляет собой передаточную функцию системы.Второй сомножитель (в квадратных скобках) есть преобразованиевынуждающего воздействия.В уравнении (VII.60) слагаемое τ2(F1со2)1 в правой части представляет собойпреобразование импульсной компоненты вынуждающего воздействия.Однако ясно, что точно такое же слагаемое появилось бы в уравнении и в томслучае, если бы мы исключили импульсную компоненту и вместо этого взяли вкачестве начального условия для θА величину τ2(F1со2)1/T1T2Подобное влияние импульсного вынуждающего воздействия, эквивалентноезаданию начального значения (п — 1)-й производной, уже отмечалось выше.ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.В качестве первого шага для определения оригиналов уравнений (VII.59) и(VII.60) перепишем их в следующем виде,разложив знаменатели намножители:Затем выполним разложение на элементарные дробиОбратныепреобразованиявыполняютсябез труда:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.И, наконец, ясно, что если мы просто добавим θTo к выражению (VII.65) и θАo квыражению (VII.66), то результаты будут идентичны с уравнениями (VII.46) и(VII.52).Теперь можно построить блок-схему рассматриваемой изолированнойуправляемой системы в предположении, что вынуждающим воздействиемявляется F1со2.Возвращаясь к уравнениям (VII.57) и (VII.58), перепишем их в следующейформе:ДЫХАТЕЛЬНЫЙ ХЕМОСТАТХемостат в неустановившемся режиме.Переходный процесс при вдыхании углекислого газа.Фиг.

Характеристики

Список файлов лекций