Иванов А.С. - Конструируем машины Часть 1 (1053457), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1. Деформация пружины до соприкосновения витков д ! (!+ !оп) с! 55 — (5 + 1) 5 = 25 мм, где ! „= 1 — число опорных витков с учетом того, что каждый из двух опорных витков обычно сошлифован на 0,5И. 2. Сила Р, вызывающая деформацию о 1, Г б ! бИ4/(8!2Р) = 25. 8,1, 104, 54~(8.
5 40з) = 500 Н где б = 0 5 ЕЩ + р) = 0 5 21. 104/(1+ 0 3) = 8,1 . 104 МПа . 3. Напряжения т в пружине при соприкосновении витков т = 0,5 ЕРИМ,2 с(з) = 0,5 500 40. 1,18~(0,2 5з) = 470 МПа, где !с = 1 + 1,45с!!Р = 1 + 1,45 5/40 = 1,18. Отметим, что допускаемые напряжения для пружины из углеродистой стали составляют 1т1 = 600 МПа при И = 5 мм. Следовательно, пружина не разрушится. 5.4,4.
Линейные в угловые дефор~ прн изгибе балан Прямой брус, работающий главным образом на изгиб, обычно называют балкой. Под изгибом понимается вид нагружения, при котором в поперечном сечении балки возникают изгибающие моменты. Изгиб может быть чистым и поперечным. При чистом изгибе (рис.
5.6, б) в поперечных сечениях балки возникает лишь единственный внутренний силовой фактор — изгибающий момент М. При поперечном изгибе (рис. 5.6, а) в поперечных сечениях балки действует не только изгибающий момент М, но и перерезывающая сила Е Все зависимости для линейных и угловых деформаций при изгибе опираются на выражение, связывающее радиус кривизны р балки в рассматриваемом сечении с изгибающим моментом М, действующим в нем, где Š— модуль упругости материала; 7„— осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно оси, перпендикулярной к плоскости, в которой действует изгибающий момент.
157 Осевые моменты инерции наиболее распространенных.сечений приведены в приложении П.5.2. Значения 1„лля стандартных профилей будут даны в П.15.3 шага 15 и приводятся а справочнике по сопротивлению материалов (см. список литературы). При поперечном изгибе (см. рис. 5.6, а) изгибающий момент в сечении 1 М! = Г!р а в сечении 11 М2 = Г!2. Поэтому, ~огласно (5.7), радиус кривизны балки р! в сечении ! будет больше радиуса кривизны балки р2 в сечении П, При чистом изгибе (см.
рис. 5.6, б) эпюра изгибающего момента по длине балки постоянная. Поэтому форма изогнутой оси балки в этом случае — дуга окружност~(. Отметим, что' формула для вычисления напряжений а, возникающих при изгибе балки, вытекает из закона Гука (5.!) и выражения (5.7): = Ее = Еу /р = Еу М/(Е1„) = М/И'„', где е = у /р — относительное удлинение поверхностного слоя сечения (рис. 5.7); Их = 1„/у „— момент сопротивления изгибу. Если, например, сечение прямоугольное, то И'„' = = 1,/у = (Ьа~/12)/(а/2) = Ьаз/6 (см. приложение П.4.1).
Зависимости для определения линейных и угловых деформаций при изгибе консольных и двухопорных балок приведены в приложении П.5.3. Отметим, что при вычислениях изгибающих моментов от поперечных сил в поперечных сечениях балок, которые рассмотрены нами в шаге 4, а также при получении зависимостей приложения П.5.3, вводились допущения. Одно из главных допущений — предположение верности принципа начальных размеров. Согласно ему, нагруженную балку считают практически недеформируемой, что позволяет принимать изгибающий момент в сечении не зависящим от прогиба балки.
Рнс. 5.7. Деформация прямоугольного бруса при изгибе !58 Сопоставляя схемы нагружения, эпюры изменения изгибающих моментов по длине и формы изогнутых осей различных балок, можно заметить, что треугольная форма эпюры момента имеет место: у консольной балки, нагруженной силой (рис. 5.8, а); у каждой из половин балки, опирающейся на одну опору (рис. 5.8, б); у каждой половины двухопорной балки, нагруженной силой посередине (рис.
5.8, в). Поэтому прогиб и угол поворота на конце консоли должны совпасть с прогибом в середине двухопорной балки и углом поворота ее в опорах, если лвухопорная балка будет вдвое длиннее„а нагружаюшая ее поперечная сила будет вдвое больше чем поперечная сила, нагружаюшая консоль. Проверим это. Рис. 5.8.
Балки, имеющие одинаковые углы поворота на концах и прогибы Согласно зависимостям приложения П.5.3, для консольной балки длиной 1 при нагружающей ее силе Г прогиб /„и угол поворота ф составят 1х = ГГ/(ЗЕ1), р„= Г72/(гЕ1). Если же имеем двухопорную балку длиной 21, нагруженную посередине (Ь 1) силой 2Г, то прогиб/д и угол поворота ~р, примут следующий вид: /л — 2Г7 (3 (2! ) — 4! )/(48 Е1) = Г7 /(3 Е1) (р 2 Г(2!)2(!/(21) !3/(2!)3)/(6 Е1) = Г72/(2 Е1) Видим, что величины как прогибов, так и углов поворота у разных балок совпали. 159 Треугольная форма эпюры изгибающего момента характерна также для двухопорной балки, нагруженной в опоре изгибающим моментом (рис. 5.9).
Очевидно, что если расстояние между ее опорами будет ?, а момент М = Я, то угол поворота одной ее опоры относительно другой гр,1 + грд будет равен Ряс. 5.9. Двухопорнал балка, 'на'ру еин я в опоре углу поворота рк конца выше расизгибающим моментом смотренной консольной балки. Убедимся в этом (см. П. 5.3): грА — — (Л) ?/(3 Е?) = Х? 2/(3 Е?) ", грд = (Е? ) ?/(6 Е1) = Ф/(6 Е! ); грА + грд = Е(~/(3 ЕГЬ + Е? ~/(6 Е?) = Е?1/(2 Е?) . Как видно, последняя сумма совпала с ранее приведенным углом поворота для консоли. Если к балке приложено несколько силовых факторов, то общая деформация равна сумме деформаций от каждого силового фактора в отдельности. Пользуясь этим правилом, а также ранее отмеченными совпадениями прогибов и угловых перемещений различных балок, можно определять деформации балок многих реальных конструкций.
Пример 5.4. Грузоподъемность робота ПР 161/60.1 (см. рис. 1.1 шага 1) составляет 600 Н. Требуется определить смещение охвата робота, вызванное деформацией несущей конструкции робота под нагрузкой. Расчетная схема и эпюра изгибающих моментов в несущей конструкции представлены на рис. 5.10, а. При расчетах принять длину плечевого сустава ?„= = 600 мм, длину локтевого сустава ?л = 1000 мм.
Пусть (для упрощения расчетов) поперечными сечениями обоих суставов будет кольцо наружным диаметром Ю = 300 мм и внутренним диаметром г? = 260 мм. Материал — сталь. 1. Определим линейные и угловые деформации отдельно на концах локтевого сустава ?', гр (эпюру изгибающего момента 160 Рис. 5.10, Расчетные схемы лля определения деформаций и эпюры изгибающих моментов: а — робота ПР 1б1/60.1; б — его локтевого сустава; а — его плечевого сустава см.
на рис. 5.10, б) и плечевого сустава ?и, гр„(эпюру изгибающего момента см. на рис. 5.10, в). Согласно приложению П.5.3, ?л'= Л~/(3 Е?) = 600 1000а/(3 21 104 17,3 10т) = 0,0055 мм; гул= Гтл/(2ЕХ) = 600. 1ООО~/(2 21 104 17,3 107) = 0,0000083рад; Уп —— М! и/12 Е?) = Х л ?й~(2 Е?) = = 600 1000-600'/(2 21 104 17,3 10) = 0.003 мм; грп М'гг/(Е~) ~ тг ?и' (Е~) = 600. 1000. 600/(21 104. 17,3 10~) = 0,00001 рад, где, согласно приложению П.5.2, ? = ?1 = (1 — (г?/Б) ) пг /64 = 4 = (1 — (260/300)4] 3,14 3004/64 = 17,3 107 мм" .
2. Вертикальное /" и горизонтальное у' смещения охвата составят 161 и зас 57 1» = )л Чп +1л = 1000 ° 0,00001 + 0,0055 = 0,0155 мм; /„'чД = 0,003 мм. 3. Общее перемещение охвата 1 составит Г= 5/5+~5 = 'Ю.0155508055 5= О 0158 Если учесть„что точность перемещений охвата робота составляет около 0,5 мм, то из расчета следует, что приблизительно 3 % от этой величины приходятся на деформацию несущей системы побота. 5.4.5. Устойчивость сжатых стери8ией Если стержень работает на сжатие и он короткий, то его деформация рассчитывается по формуле (5.2).
Для длинных стержней, работающих на сжатие, расчета по формуле (5.2) недостаточно, и необходима проверка их на устойчивость. Под устойчивостью понимают способность сохранять начальную форму упругого равновесия. Наибольшее значение центральной сжимающей осевой силы Елр, до достижения которого прямолинейная формагравновесия стержня длиной 1устойчива, называют критическим.
По формуле Эйлера Е„р = лйЕ 1 /(т 0 ~, (5.8) где 1;„— наименьший из осевых моментов инерции поперечного сечения стержня (см. приложение П.5.2), т — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня и условий нагружения.
Значения коэффициента приведения длины и форму стержня после потери устойчивости в зависимости от способов защемления концов стержня определяют по рис. 5.11. Леонард Эйлер (1707 — 1783) — швейцарец по происхождению, ученик И.
Бернулли, был приглашен в 1727 г. в Петербург. Там в Академии наук он проработал всю свою жизнь, за исключением периода работы в Берлинской Академии наук (1741 .1766 гг.). Ему принадлежат новые решения в области математики, механики, баллистики, кораблестроения, кораблевождения, астрономии, оптики, теории машин. Эйлер 17 лет 162 0,5 О 00,7 т 0,7 8 1 81»Я Рис 5.11.
Форма стержня после потери им устойчив85сти прожил почти в полной слепоте (правый глаз потерял в 1738 г., составляя карты России, левый — в 1766 г.). Несмотря на это, ал удиться. За свою жизнь им подготовлено приблизительно 850 работ. Формула (5.8) для опре ческой нагрузки опубликована Эйлером в работе «О силе колонн» в 1757 г. Под действием силы Г„р в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения о„ о = Г,1А = яз Е 15((0 1)ОА] кр (5.9) Если ввести понятие «радиус инерции» 5 1= ГТ..„'А, (5.10) то формула (5.9) примет вид 163 о = к~Е/Л (5.1!) и = Г/А < ср [о], (5.13) акр = а — ЬХ+ сХ2 (5.
12) 240 00 120 100 !64 165 где Х = р !/! называют гибкостью стержня. Формула Эйлера справедлива, если потеря устойчивости происходит в зоне упругих деформаций, т.е. когда а р < а . В этом случае говорят о стержнях большой гибкости. Если условие упругости деформаций не выполняется (стержни средней гибкости), то критическое напряжение можно вычислить по формуле Ф.С. Ясинского где а, Ь, с — эмпирические коэффициенты, определяемые по результатам испытаний (для стали Ст3 при 40 < 1<100 а = = 310 МПа, Ь = 1,14 МПа, с = О). Для стержней малой гибкости и р а (рис. 5.12). а, мп» г з Рис. 5.12. Объединенное условие прочности и устойчивости (стержень из стали СтЗ): 1 — «„= ат', 2 — а„» = а — 0 Л+ «Л~; 3 — « = «г ЕIЛ Ф.С. Ясинский (1856 — !899) — польский инженер, всю жизнь работавший в России.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
