Лекции по ОУ (1050564), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В экономике это могут быть, например,дополнительные фонды на сырьевые и материальные ресурсы, изменение плановых показателей и другие факторы управления производственными процессами. Обратная связь является средством гибкого управления, когда конкретноеуправляющее решение вырабатывается в зависимости от сложившейся ситуации. Однако управляющее воздействие не всегда бывает связано с конкретнымсостоянием системы. Есть системы, управление которыми осуществляется безобратной связи. Простейшая из таких систем – управление уличным движениемс помощью светофора. Другие примеры управления без обратной связи: уставы,кодексы, наставления, регламентирующие функционирование объекта управления в заданных условиях.В каких случаях система управления создается с обратной связью, а в каких без нее зависит прежде всего от целей функционирования системы.Лица, ответственные за принятие решений, касающихся проектированияи создания экономических систем, могут оценить их эффективность одним изтрех способов.Во-первых, есть возможность (по крайней мере, теоретическая) проводить управляемые эксперименты с экономической системой фирмы, отраслиили страны.
Однако при проведении натурных экспериментов трудно сохранить постоянство факторов и условий, влияющих на результат, а следовательно, сложно обеспечить надежную оценку различных экономических решений.5Во-вторых, если есть данные о развитии экономической системы за некоторый период времени в прошлом, то можно провести мысленный экспериментпо этим данным. Но нельзя слишком доверять оценкам экономических решений, полученных на основе данных о развитии системы в прошлом, так как наэффективность экономической системы могли повлиять случайные возмущения, которые в настоящий момент могут отсутствовать.В-третьих, можно построить математическую модель рассматриваемойсистемы.В настоящее время трудно назвать область человеческой деятельности, вкоторой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования.Кратко модель можно определить как объект, который замещает оригинал и отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.
Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической. Математическое моделирование – это знаковое моделирование, осуществляемое посредством логико-математическихпостроений.Разработка математических моделей, в том числе экономических, чрезвычайно трудоемкий процесс.
В связи с этим процесс экономико-математическогомоделирования можно разделить на несколько этапов.1. Постановка экономической проблемы, ее качественный анализ. Этотэтап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемогообъекта и абстрагирование от второстепенных.2. Формализация экономической проблемы, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функции, уравнения,неравенства и т.д.).Неправильно полагать, что чем больше факторов учитывает модель, тем оналучше. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняет процесс исследования.
Кроме того, нужно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую изученному классу математических задач.3. Анализ общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важные моменты исследования –это доказательство существования и единственности решения.4. Подготовка исходной информации. Реальные возможности полученияинформации ограничивают выбор моделей, предназначенных для практического использования.
При этом нужно учитывать затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов длячисленного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловленыбольшой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе встаетвопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степенипрактической применимости последних.6Анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемыхпосредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактамидействительности позволяет обнаружить недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационногои математического обеспечения.
В этом случае исходную постановку задачи имодель упрощают, снимают и объединяют условия, нелинейные соотношениязаменяют линейными и т.д. Начав исследование с простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели.1.2. Математическая модель управляемых системБудем рассматривать управляемые системы, которые изменяются с течением времени. Такие системы называются динамическими.
Будем называть ихтакже процессами. Положение или состояние динамической системы в данныймомент времени моделируется с помощью элементов n -мерного векторногопространства, а управляющие воздействия – с помощью элементов m-мерноговекторного пространства. Если процесс рассматривается вне связи с окружающей средой без каких либо условий и ограничений, то, как правило, он можетбыть отождествлен с системой дифференциальных уравнений.Дифференциальные уравнения служат основой при конструировании моделей не только в экономике, но и в других областях науки и техники.
Оченьчасто в качестве модели выбирается система обыкновенных дифференциальных уравнений:dx1= f1 ( x1 (t ),..., xn (t ), u1 (t ),..., u m (t ), t ),dtdx2= f 2 ( x1 (t ),..., xn (t ), u1 (t ),..., u m (t ), t ),(1.2.1)dt…dxn= f n ( x1 (t ),..., xn (t ), u1 (t ),..., u m (t ), t ),dtгде f i – некоторые заданные функции.Независимую переменную t в системе (1.2.1), описывающей некоторыйуправляемый процесс, принято называть временем. Переменные x1 (t ),..., xn (t )характеризуют состояние объекта управления в момент времени t и называютTся выходными переменными. Вектор-столбец x(t ) = ( x1 (t ),..., xn (t )) *) называетсявектором состояния или вектором выхода.
При каждом t состояние x(t ) – этоэлемент n-мерного векторного пространства E n , которое называют пространством состояний, или фазовым пространством. В связи с этим переменные состояния называют иногда фазовыми переменными. Размерность фазового пространства n – число выходов. Состояние процесса x(t ) является решением сис*)Знак Т здесь и в дальнейшем означает транспонирование.7темы (1.2.1), и оно зависит от задания переменных u1 (t ),..., u m (t ) .
Поэтому этипеременные называются входными переменными, а вектор u (t ) = (u1 (t ),..., u m (t ))называется вектором входа или вектором управления. При каждом t векторвхода u (t ) – элемент m -мерного векторного пространства E m , его размерностьm – число входов. Если через f ( x(t ), u (t ), t ) обозначить вектор-функциюT( f1 (x(t ), u (t ), t ),..., f n (x(t ), u (t ), t ))T , то систему (1.2.1) можно записать в векторномвидеdx= f ( x(t ), u (t ), t ) .dtПри решении конкретных задач обычно предполагают, что функция fопределена при всех x, u , t и удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Будем изучать те процессы управления, которые изменяются на конечном отрезкевремени [t0 ,t1 ], где t0 , t1 – фиксированные числа.Если функция f не зависит явно от времени t , то система (1.2.1) называется автономной. Таким образом, автономная система – система видаdx= f ( x(t ), u (t )) .dtЕсли функция f зависит явно от времени t , то это неавтономная система.
Например, системаdx1= x2 (t ),dtdx2= u (t )dtавтономна, а системаdx1= x2 (t ),dtdx2= u (t ) + sin tdtнеавтономна.1.3. Допустимые управленияСовершенно ясно, что поведение управляемого объекта зависит от техуправляющих воздействий, которые к нему прикладываются. Ясно также, чтоэти воздействия далеко не всегда могут выбираться произвольно, а лишь из некоторого заданного класса функций. В технических и экономических задачахнаиболее широко распространен класс кусочно-непрерывных управлений, так8как он отражает реальную ситуацию и достаточно удобен для теоретическихисследований.Кроме того, обычно предполагается, что при каждом t вектор-функцияu (t ) принимает значения из наперед заданного множества U , называемого областью управления.
В связи с этим введем понятие допустимого управления.Пусть U – некоторое множество в пространстве E m . Под допустимымбудем понимать управление u (t ) , которое при каждом t удовлетворяет условиюu (t )∈U ,и каждая компонента которого кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна для всехрассматриваемых t за исключением конечного числа точек, в которых она может иметь разрыв первого рода. (Разрыв первого рода по определению предполагает существование конечных пределов слева и справа в точке разрыва).Предположим теперь, что нам известно состояние исследуемой системы вначальный момент времени t0 : x(t 0 ) = x0 . При каждом фиксированном допустимом управлении мы будем иметь задачу Коши:dx= f ( x(t ), u (t ), t ), t ∈ [t 0 , t1 ],dtx(t 0 ) = x0 .(1.3.1)(1.3.2)Относительно функции f ( x, u , t ) всюду будем предполагать, что она определена при всех x, u , t , непрерывна по аргументам x, u , непрерывно дифференцируема по x и кусочно-непрерывна по t .
При сделанных предположенияхдля каждого допустимого управления u (t ), t ∈ [t0 ,t1 ] и начального условияx(t 0 ) = x0 существует единственное непрерывное решение задачи Коши (1.3.1),(1.3.2), определенное, по крайней мере, в некоторой окрестности начальнойточки [1]. В дальнейшем будем рассматривать только такие процессы управления, для которых решение задачи Коши (1.3.1), (1.3.2) существует на всем отрезке [t0 , t1 ] и непрерывно на нем. Это решение будем называть траекторией,выходящей из точки x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
