Динамические процессы в ЖРД (1049221), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Допустим, что к рассматриваемому участку трубопровода подсоединен дополнительный, заполненный жидкостьюРасход жидкости через второе (выходное) сечение будет равен:(2. За)Изменение количества жидкости между сечениями 1 ц 2 в результате изменения плотности во времени составит:(2.4)Изменение количества жидкости вследствие увеличения радиусатрубопровода будет равно:(2.5)Изменение количества жидкости вследствие удлинения трубопровода определится по формуле:(2.6)Фиг. 14.
Схема упругого трубопроводас дополнительным объемом.Изменение количества жидкости в дополнительном объеме будет равно:объем (фиг. 14). Уравнение закона сохранения массы можно записать так:Y,-Y2-Yf-Yr-Yx-Yv = Q,(2.1)где YI — количество жидкости, поступившие в рассматриваемуюгидравлическую систему к моменту времени t;У2 — количество жидкости, истекшее из системы к тому жемоменту времени;Ур — количество жидкости, накопившееся в системе в течениетого же промежутка времени в результате увеличенияплотности жидкости;Yr — количество жидкости, накопившееся в системе в течениетого же промежутка времени, вследствие увеличениярадиуса трубопровода;УЖ — то же, но вследствие удлинения трубопровода;Yv — количество жидкости, поступившее в дополнительныйобъем за время t.Дифференцируя по t, находим:Yi-Yt-Yt-Yr-Yx-Yv=Q.(2.2)Отметим, что в рассматриваемых задачах принято, что к начальному моменту времени вся внутренняя полость гидравлической системы уже заполнена жидкостью.114(2.7)где 1/о — дополнительный объем.Теперь выражение (2.2) примет следующий вид:(2.8)или(2.8а)Уравнения (2.8) и (2.8а) представляют собой уравнения движущейся сжимаемой жидкости в случае 'изменения геометрическихразмеров тракта.
Если трубопровод не деформируется и отсутствуетдополнительный объем V0, то вместо (2.8) получаем уравнение неразрывности в обычном виде:(2.9)Рассмотрим наиболее общий случай. Пусть движущаяся жидкость заполняет некоторый произвольный объем V, ограниченныйповерхностью S, причем под влиянием тех или иных факторов115объем V будет изменяться во времени.
Уравнениев цилиндрических координатах запишется так:неразрывностиСила Р определяется по величине статического давления ри по разности кинетической энергии. В направлении Wx на участке XQ(2. Ю)(2. 16)Для цилиндрического трубопровода, не имеющего дополнительногообъема, в случае, когда W9=0, вместо (2. 10) будем иметь:В направлении Wr на участке г0(2.11)Это уравнение в дальнейшем будет подробно рассмотрено, поскольку оно может быть использовано при решении многих задач, имеющих практическое значение. Если учитывать только радиальнуюдеформацию, то уравнение неразрывности запишется так:(2.
12)Заметим, что при рассмотрении процессов, протекающих в окрестности некоторого установившегося режима, характеризуемогопостоянным значением плотности QO, в уравнениях (2. 8а)ч~ (2. 12)вместо отношения Q/Q можно писать отношение Q/QO- При рассмотрении одномерного потока, в уравнениях ( 2 .
1 1 ) и (2.12) следуетположить Wr = 0.Приведем вывод уравнения, характеризующего условия деформации трубопровода. В большинстве случаев она возникает вследствие действия статических и динамических нагрузок. Условие пропорциональности между элементарными изменениями давленияи плотности представим в виде [19]:(2. 16а)С целью упрощения записи уравнений силы Рх и Рг будемв дальнейшем определять в предположении полного торможенияпотока. При такой постановке сила, которая может растягиватькольцевой участок трубопровода в радиальном направлениина участке XQ, определится по уравнению:(2.
17)площадь сечения(2. 18)где 6 — толщина трубопровода.Относительное удлинение(2.19)Закон упругих деформаций (2. 15) выразится так:(2. 20)(2. 13)илигде Ет — модуль жидкости, пропорциональныйления по плотности,производной дав(2.20а)(2- И)Для оценки деформации трубопровода используем закон упругих деформаций:(2-15)где Р — сила, растягивающая трубопровод;Е — модуль упругости материала трубопровода;F — площадь сечения;е — относительное удлинение.116Дифференцируя, получим после преобразований:(2.21)Если Wr = 0, или если влиянием динамических радиально направленных нагрузок можно пренебречь, то(2.
21а)117Сила, которая может растягивать трубопровод в осевом направлении, равна:Проведем преобразование уравнения (2.11). Используя выражения (2.27а) и (2.28), получим:(2. 22)площадь сечения(2. 29)(2. 23)Относительное удлинениеилиЗакон упругих деформаций запишется так.(2. 29а)(2. 24)или(2. 24а)Если из результатов дополнительных иследований будет ясно,что в выражении, стоящем множителем при р, скорости Wr и Wxможно принять равными их средним, значениям, то выражение(2.29а) перепишется так:Дифференцируя, после преобразований получаем:(2.
30)(2.25)гдеЕсли влиянием динамической нагрузки можно пренебречь, тоЕслиМ7 г = 0, тоСогласно выражению (2.13)(2.26)уравнения (2.21) и (2.25) теперь запишутся(2.27)(2. 31а)(2.27)В случае неполного торможения потока, при выводе формулы(2.30) следует пользоваться не формулами (2.17) и (2.22) дляопределения сил Рг и Рх, а формулами (2. 16а) и (2. 16).Для решения задачи о движении упругой жидкости в деформируемом трубопроводе, поскольку выражение (2.30) содержит трипеременных, а именно р, Wx и Wr, необходимо привлечь еще двауравнения второго закона Ньютона.
Эти уравнения подробно рассмотрены в обычных и специальных курсах гидродинамики.При выборе уравнений следует учитывать как возможность, таки необходимость учета действия сил вязкого трения.можно написать:(2. 27а)118(2. ЗОа)соответственно так:(2. 28)Вместо выражения(2.31)119При решении одномерной задачи без учета линейной деформации, вязкости жидкости и динамических нагрузок расчетные уравнения упрощаются и сводятся к известной системе [19]:Перепад давления на границах определяется с учетом конструкции цепи; если гидравлическая цепь включает в себя насос, баки камеру сгорания, то в статических условиях(2.38)(2.
32)2. Приближенное решение уравнения гидравлической цепиУравнение второго закона Ньютона для одномерного потокас учетом действия внешних сил и сил вязкого трения запишетсятак:(2. 33)Будем считать, что процесс рассматривается для некоторогоучастка длиной дх, и что при расчете этого участка можно ориентироваться на усредненные значения параметров.
Следовательно,вместо выражения (2.33) можно написать:где рб — давление в баке;/>н — давление, создаваемое насосом;р — давление в камере сгорания;ДУ» А — давление, расходуемое на изменение кинетической энергиижидкости по длине цепи.Внешние силы, действующие на систему, образуют в цепи давление внешних сил [29]:(2. 39)Массовые силы приводят к изменениюну [29]:давлениянавеличи(2. 40)Баланс давлений теперь можно записать так:(2.41)Рассмотренный вывод уравнения не является единственным;в основу вывода уравнения баланса давлений может быть положено уравнение закона сохранения энергии в виде(2.34)(2.
42)При написании уравнения (2.34) вместо частной производнойдавления по координате появилось отношение перепада давленияк выбранному отрезку пути.Для всей гидравлической цепи длиной L, гдегде Lai — элементарная работа, совершаемая над движущейся жидкостью;Lcl — элементарная работа сил сопротивления.Элементарная работаdLL=PdS,(2.43)где Р —сила;S — путь.Поскольку(2. 35)находим:(2.44)(2. 36)Уравнение (2.
36) представляет собой баланс давлений по цепи,причем суммарные гидравлические потери(2.37)могут быть приближенно подсчитаны или определены опытом.120то вместо выражения(2.43)будем иметь:(2.45)Если площадь рассматриваемого сечения канала цепи обозначить символом F, то(2.46)где р — соответствующее давление.121КоэффициентДля несжимаемой жидкости и недеформируемого трубопроводапо уравнению неразрывности [27] будем иметь:сопротивления(2.54)(2.47)где G—секундный массовый расход жидкости.
Поскольку черезлюбое сечение цепи в рассматриваемый момент времени протекаетодно и то же количество жидкости, то коэффициент деформациибудет равен:Следует иметь в виду, что А, не изменяясь по длине цепи(в рамках принятых выше допущений), может, конечно, изменятьсяво времени: во всех динамических процессах коэффициент деформации претерпевает изменения вследствие изменения расходажидкости по времени. Теперь уравнение энергии (2.42) запишется так:(2. 49)гдеА — коэффициент трения;da — эквивалентный диаметр,причем(2.55)Здесь FI — площадь поперечного сечения канала; Пг- — активный периметр.
Он представляет собой периметр, «принимающийучастие» в рассматриваемом процессе. Для круглой трубы, например, Tl = nd; для кольцевого сечения П = 2я^.Известно, что [27]:(2. 56)X=X(Re);для гладких труб в ламинарном потоке [41]:(2. 57)Очевидно, что выражение (2.49) при Л = const можно представить в виде баланса давлений:для гладких труб в турбулентном потоке [41]:(2.
50)Если имеет место деформация жидкости или трубопровода,то величина А окажется переменной и вместо выражения (2. 50)следует писать:(2.51)Решение (2.51) возможно при наличии дополнительных уравнений, в качестве которых привлекают зависимости, характеризующие изменение плотности жидкости и геометрических размеровтрубопроводов от давления.3.
Потери давления в элементах гидравлической цепиСогласноментевыражению (2.37)гидравлическиепотери в эле-(2. 52)Известно, что для любого элемента коммуникаций потери давления пропорциональны кинетической энергии:(2. 53)122(2.58)В турбулентном потоке с квадратичной зависимостью гидравлических потерь от расхода коэффициент трения почти не зависитот числа Re, но существенно повышается с увеличением относительной шероховатости, причем [41]:(2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
