Динамические процессы в ЖРД (1049221), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Получим:(1.219)Если рассматриваемые силы не потенциальны и не зависят ниот координат, ни от времени, то условно обозначим(1.226)Наконец, при наличии не потенциальных, но зависящих от времени сил (/), будем иметь:(1.226а)Таким образом, в наиболее общем виде получим:(1.227)После почленного сложения находим:(1.220)однако(1.221)Используя правила дифференцирования произведения, находим:Допустим, что рассматривается уравнение полета ракеты.В каждой точке траектории силы, обусловленные наличием гравитационного поля, будут иметь различные, но не зависящие от времени значения потенциальной функции. Следовательно, здесьПри рассмотрении уравнения камеры, если система координат«привязана» к двигателю, то те же силы можно считать не зависящими от места расположения элемента горящего потока в камере.Если двигатель находится в полете, тоПри работе на стенде(1.222)Следовательно,Вернемся к уравнению (1.223).
После умножения на QdV и интегрирования получим:(1.223)Выражение (1.223) представляет собой уравнение энергии, написанное с учетом рассмотренных видов механической энергии.78(1.228)79а изменение кинетической энергии жидкости составит:По формуле Остроградского [33](1.236)(1.229)где F-—поверхность, ограничивающая объем V;п — единичный вектор внешней нормали к поверхности F.Таким образом, интеграл (1.229) представляет собой работу,отнесенную к единице времени, сил давлени_я^_ приложенных к поверхности F. Подынтегральная функция р divW последнего интеграла уравнения (1.228) представляет собой работу сил давления,расходуемую на изменение объема V и отнесенную к единице времени.Поскольку смысл слагаемых уравнения сохранения механической энергии выяснен, можно приступить к составлению уравнениязакона сохранения механической энергии для горящего потока.Пусть на поток действуют внешние объемные силы.
В наиболееобщем виде работа, производимая над газом, заключенным в некотором объеме V, будет равна:Уравнение закона сохранения механической энергии горящегопотока в случае, если жидкость несжимаема, запишется так:(1.230)При смешении потоков закон сохранения механической энергиине соблюдается; метод определения выделяющегося при этом тепларассматривается во втором разделе § 7.(1.231)2. Первый закон термодинамикиа работа, производимая над жидкостью:где е и K ( t ) —• соответствующие функции.Работа сил давления, приложенных к поверхности, ограничивающей газ, будет равна:а работа сил давления, приложенных к поверхности, ограничивающей жидкость:(1.237)Общее количество тепла, полученного элементом объема в единицу времени, равно изменению внутренней энергии газа, теплосодержания жидкости и работе расширения газа, произведеннойза тот же промежуток времени.
Так можно сформулировать первыйзакон термодинамики для подвижной системы координат применительно к горящему потоку. Общее количество тепла, полученноеэлементом в единицу времени, равно:(1.238)(1.233)гдеВ результате произведенной над объемом V работы, изменениекинетической энергии газа будет равно:Qr —тепло, выделяемое при горении топлива;Qx —тепло, подводимое путем теплопроводности и с помощьюдругих теплообменных процессов;Q^—тепло, выделяющееся вследствие диссипации механической энергии.Поскольку при сгорании единицы массы топлива выделяется Q0doKтеплоты, а переход жидкой фазы в газообразную характеризуетсяdivgr, то(1.235)(1.239)При наличии жидкой фазы работа сил давления, расходуемаяна изменение объема газа, составит:(1.234)8057281Для определения диссипативной функции Ф ж следует использовать это же уравнение, заменив Wt соответствующими значениями Ci.
Диссипация механической энергии, наблюдаемая при смешивании потоков газа и жидкости, будет рассмотрена ниже.Изменение внутренней энергии газа и жидкости составит:Подвод тепла путем теплопроводности составит [35]:(1.240)где g — коэффициент, учитывающий роль конвекции и лучистоготеплообмена.Если процесс теплопроводности удобнее описывать в сферической системе координат, то получим:(1.244)Работа расширения, согласно (1.234), будет равна:(1.245)Теперь можно написать уравнение первого закона термодинамики в следующем виде:Тепло, возникающееравно:вследствиевнутреннеготрения,будетгде fij — коэффициент трения;Ф г — диссипативная функция.Первый интеграл правой части уравнения характеризует подвод тепла, обусловленный действием сил вязкого трения.
Частьполной работы, которую производят нормальные и касательныесоставляющие сил трения, преобразуется в механическую энергию,а часть — в тепло. Эту последнюю и определяет первый интеграл'правой части выражения (1.242). Второй интеграл правой частиэтого уравнения характеризует подвод тепла в результате тренияв жидкой части элемента, а третий — учитывает тепло, выделяющееся при выравнивании скоростей газового потока и потокажидких частиц.
Для определения диссипативной функции Фг еледует воспользоваться уравнением, которое в общем виде в декартовых координатах записывается так [55]:(1.246)Уравнение (1.246) позволяет определить работу расширения,производимую газом вследствие протекания тепловых процессов.Уравнение (1.237) показывает возможные пути преобразованиямеханической энергии.
Заменяя в уравнении (1.246) последнееслагаемое аналогичным из выражения (1.237), получаем:(1.243)826*83По правилу дифференцирования дроби имеем:(1.253)(1.247)Следовательно,(1.254)Общее уравнение закона сохранения энергии горящего потока(1.247) читается так: количество теплоты, полученное элементомобъема горящего потока в результате горения топлива и процессов теплообмена, плюс работа, произведенная над элементом внешними силами, равны работе сил давления, действующих на поверхность, ограничивающую объем, приращению кинетической энергиигорящего потока, изменению внутренней энергии массы горящегопотока и теплоте, выделяемой вследствие диссипации механической энергии.Имея в виду выражение (1.250), находим:(1.255)Используем уравнение состояния в следующем виде:(1.
256)Следовательно,3. Определение скорости истечения(1.256а)Напишем уравнение энергии для элемента, не содержащегожидкой фазы. Будем считать, что подвод тепла отсутствует и чтовнешние силы на элемент не воздействуют. Очевидно, что уравнение (1.247) в этом случае примет следующий вид:Выражение (1.248)можно записать так:(1.257)Рассмотрим подынтегральную функцию последнего интегралав выражении (1.248).
Очевидно, что(1.249)Поскольку(1.258)то(1.259)Однако(1.250)Если параметры подынтегральных функций не зависят от координат, то, при условии, что dp/dt=Q, находим:Используя уравнение неразрывности в виде(1.260)(1.251)находим:Интегрируя и решая, получим следующее уравнение:(1.252)Добавим к правой части выражения (1.252) и вычтем из нее член84(1.261)Отношение теплоемкости при температуре Т к теплоемкости при^о обозначим символом а:85При этом(1.262)Здесь обращает на себя внимание последнее слагаемое, учитывающее особенности расширения при переменном давлении. Еслирасширение протекает при постоянном давлении, тоПолученное уравнение позволяет подсчитать среднее значениескорости газового потока при работе двигателя на марше.Выражение(1.267)При отсутствии жидкой фазы вместо выражения (1.266) будемиметь:представляет собой термический к.п.
д.(1.268)4. Нагрев неподвижного горящего топливаЕсли газ неподвижен (W=0) и ограничен стенками камерысгорания (div|pPF| =0), то уравнение энергии примет следующийвид:Здесь diyg характеризует подвод тепла в результате горения газообразного топлива.Если р = const, то из выражения (1.268) находим:(1.269)Таким образом, при горении топлива в замкнутом постоянномобъеме вся теплота расходуется на увеличение внутренней энергиигорящего потока.
В процессе горения количество жидкой фазыуменьшится до нуля, и все выделившееся тепло будет трансформировано во внутреннюю энергию газообразных продуктов.Рассмотрим процесс нагрева горящего потока в некоторомзамкнутом, но изменяющемся по величине объеме. Сохраняя принятые выше допущения, ориентируясь на уравнение (1.246), находим:Если параметры подынтегральной функции не зависят от координат, то для единицы массы сгоревшего топлива(1.270)где Т — температура образовавшихся продуктов сгорания.5.
Адиабатное течениеУравнение энергии позволяет исследовать течение без теплообмена, т. е. адиабатное течение. Уравнение энергии без учетадиссипации запишется так:(1.265)Учитывая(1.254)и(1.258), будем иметь:(1.266)86(1.271)87При отсутствии жидкой фазы будем иметь:Интегрируя и потенцируя, находим:(1.280)(1.272)Если использовать уравнение (1.237) и, написав его для газового потока, не содержащего жидких компонентов, решить совместно с уравнением (1.272), то получим следующее уравнение:6. Уравнение состоянияПроведем последовательно сокращениеобласти возможногоиспользования уравнения закона сохранения энергии.Если пренебрегать теплообменом и диссипацией, то на основании выражения (1.247) в случае горения газообразного топливаможно написать:(1.273)Используя выражения (1.254), (1.256а) и (1.258), находим:(1.281)Поскольку, как было показано,Разделим, подынтегральные функции на Q.
Для тех частныхслучаев, когда объем V не зависит от времени, а параметры подынтегральной функции постоянны внутри рассматриваемого объема,уравнение (1.274) можно представить так:(1.282)(1.275)и, следовательно,(1.276)уравнение энергии газообразного горящегодующий вид:Используя уравнение состояния, находим:топлива примет сле-Следовательно,(1.277)(1.283)(1.278)После прекращения горения, при отсутствии теплообменаи внешних воздействий, уравнение энергии примет следующий вид:илиУравнение (1.278) описывает процесс с учетом возможного изменения показателя /г.
Если принять и—const, то получим уравнение адиабаты в виде:(1.279)88(1.284)Поскольку [см. (1.323)](1.285)89(1.286)§ 7. УРАВНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВАДВИЖЕНИЯ ГОРЯЩЕГО ПОТОКА1, Определение усредненной скорости горящего потокато вместо выражения (1.284) будем иметь:(1.287)В некоторый произвольный момент времени масса газов, находящихся в элементарном объеме dV, расположенном во внутреннейполости камеры, составит:(1.292)Если элемент газа неподвижен, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
