Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Расчет вероятности выполнения задания в указанный срок следует проводить по критическому пути. В табл. 6.1 приведены значения дисперсий продолжительности операций для рассматриваемого примера. Пусть задан директивный срок предъявления опытного образца для испытаний 1 =90 дней. Используя выражение (6,9), находим, что вероятность выполнения задания в срок равна 0,962, 239 Например, независимый резерв операции (2 — 4) составляет 4,8 дня.
Использование независимого резерва не влияет на сроки начального и конечного событий и резервы других операций. Резервами можно маневрировать, перемещая часть сил и средств в операции, лежащие на критическом пути. В начале, расчетов ожидаемая продолжительность операций была определена ориентировочно.
Неопределенность суждения об истинной продолжительности операции можно характеризовать величиной дисперсии а',.определяя ее по фор- муле Аналогично расчетам времени по сетевому графику могут быть произведены расчеты других показателей (стоимости, трудоемкости, затрат средств и др.). ; При рассмотрении сетевого графика мы полагали, что от. дедьные операции и весь комплекс работ определены единственным образом.
На практике же стремятся отыскать наивыгоднейшие пути для их осуществления, Оптимальный вариант можно установить прямыми расчетами большого числа вариантов либо аналитическими методами. Поскольку рассматриваемые процессы носят явно выраженный дискретный харайтер и поддаются расчленению на ряд этапов, то из числа аналитических методов оптимизации наибольшего внимания заслуживает метод динамического программирования. Следует помнить, что сет"евое планирование не подменяет функций руководства, а лишь помогает принять правильное, обоснованное решение. Это обстоятельство особенно сказывается в задачах проектирования ракет, когда возможны компромиссы между затратами времени, затратами ресурсов и качественными показателяыи. 5 6.3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИГР Одиой из задач проектирования ракетного комплекса является исследование его боевых возможностей в условиях противодействия сил и средств сторон.
Оценивая надежность выполнения боевой задачи ракетным комплексом, следует рассчитывать на то, что противник будет действовать наилучшим для себя образом, стремясь свести к минимуму эффективность наших 'средств поражения. Обычно рассматривают два вида противодействия: огневое, имеющее целью нанести. противнику невосстановимый ущерб (вывестн нз строя ракету или стартовое сооружение, уничтожить боевую часть)„.радиопротиводейсгвие, вызывающее, как правило, временное снижение эффективности путем создания активных и пассивных помех.
Целесообразно несколько расширить йонятне противодействия, относя к нему и степень зац(ищенности цели (инженерные сооружения, маскировку, возможности маневра), поскольку этот фактор, нарядус воздействием ПРО, непосредственно препятствует выполнению боевой задачи, и, следовательно, должен быть учтен при сравнении эффективности перспективных ракет. В простейшем случае применительно к одной ракете для учета противодействия противника достаточно умножить показатель эффективности на вероятность того, что противодействие окажется безуспешным.
Так, в зависимость для оцен. ки надежности выполнения боевой задачи входят множителями вероятности неуничтожения ракеты на старте и успеш- 240 В). Предположим, что для каждой комбинации стратегий'А~ и В~ ущерб, паносимый нашим комплексом противнику, оценивается определенным показателем эф-' фективности %'и.
Каждое значение Ф'и, называемое платежом, можно рассма- ' тривать как некоторый выигрыш для стороны А и проигрыш для стороны В. Табл. 6.3 значений К; называется платежной матрицей в, А1 %'н ц'и игры. Решение игры сводится к отысканию оптимальных стратегий сторон и определению соответствующей им цены игры ч — ожидаемого выигрыша стороны А и проигрыша стороны В, т. е. в нашем примере ущерба, который нанесет противнику оптимальный ракетный комплекс при наиболее эффективном противодействии, Основной принцип теории игр — выбор стратегии в расчете на наихудший для нас образ действий противника, позволяет установить разумные пределы, в которых заключена цена игры.
Противник заинтересован в наименьшем проигрыше. Поэтому, оценивая каждую из своих стратегий, мы можем надеяться только на минимальный из соответствующих ей выЯ41 ного пролета боевой части через систему' ПРО противника; Предполагается, что'зги вероятности заданы, или по крайней мере имеется возможность нх приближенно оценить. В реальной боевой,с(нтуации намерения противника обычно неизвестны. Более того, в зависимости от нашего решения.
он может предпринять те или иные контрмеры. В этих условиях единственная возможность прогнозировать ход событий основывается на предположении, что противник будет действовать наивыгоднейшим для себя н наихудшим для нас образом. Мы же должны выбрать из всех возможных наилучший способ действий (стратегию) в расчете на разумного противника.
Подобные задачи с конфликтными ситуациямп, в которых сталкиваются интересы сторон, решаются методами теории игр. Пусть требуется, например, выбрать наилучший из и вариантов ракетного комплекса (е~ стратегий стороны А) при условии, что возможны и вариантов действий противника (и стратегий стороны Матрица игры „тХи" годные (домннирующие) стратегии. В нашем приме; ре все элементы столбца В, идентичны элементам столбца Вь Поэтому одну из этих стратегий (Вз илн В1) можно исключить. Сравнивая по элементам строки Аз и А,, видим, что для стороны А стратегия А« заведомо невыгодна, поскольку в любом случае она обеспечивает выигрыш меньший, чем ст атегия А . Исклю- в, в А, А, Р з чим стратегию Аь Сравнивая столбцы В~ и В,, убеждаемся, что для стороны В стратегия В, является доминирующей, поскольку проигрыш при ее применении в любом случае ие меньше, чем при применении стратегии Вь Исключим стратегию В4.
Таким образом, исходная матрица игры «4Х5» сведена к матрице игры «ЗХЗ» (табл. 6.5). Добавим столбец минимумов выигрышей по строкам и строку максимумов выигрышей по столбцам. Отметив звездочками значения' верхней и нижней цены игры, замечаем, что ц=р=5. Элемент матрицы, являющийся в этом случае одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце (в нашем 242 игрышей. Но в выборе стратегий мы свободны и, естественно, отдадим предпочтение той из стратегий Аь которой соответствует максимальный из этих минимальных выигрышей. Таким образом, нижняя цена игры или «максимин» а = шах; ппп,.
)5'ы (6.10) означает наш максимальный, гарантированный при всех обстоятельствах выигрыш. Рассуждая аналогичным образом за противника, который добивается минимального проигрыша, но вынужден считаться с нашим стремлением к максимальному выигрышу, можно определить верхнюю цену игры или «минимакс» р = ппп; шах, 15'у. (6.11) Истинная цена игры «лежит в пределах ц ~ » ~ 'р. Рассмотрим некоторые практические приемы решения игр на примере матрицы игры «4Х5» (табл.
6.4). Перед тем как приступить к решению, слетаблица бл дует проанализировать матрицу, чтобы исключить дублирующие и заведомо невы- Таблица 66 Матрица игры „ЗХЗ" с седловой точкой Вэ Вэ ппп строки 6 э спал столбца узнает о. нашем выборе, он и наш выигрыш уменьшится именяют смешанные стратегии, представляющие собой комбинации нескольких «чистых» (активных) стратегий, чередуемых случайным образом с определенными ча- Таблица 66 Матрица игры „ЗХЗ" без седловой точки ппп строки В, Вэ оэ А, э Аэ пэ ах столбца выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, как поступает другая сторона в пределах ее активных стратегий. В простейшем случае игры «2Х2» легко найти решение аналитически.
Пусть сторона А имеет ракеты двух типов (стратегии А, и Ал), а сторона В может противопоставить два типа противоракет (стратегии В, и Вл). Какое количество ракет того и иного типа следует иметь стороне А? Иначе 243 случае %'лэ =5), называют седловой точкой. Соответствующие ему стратегии (Ал и Вэ) являются оптимальными. Найденное решение игры устойчиво в том смысле, что для каждой из сторон отступление от седловой точки (от оптимальной стратегии) невыгодно.
В отличие от игр с седловой точкой при а Ф~ решение неустойчиво. Это можно показать на следующем примере, Анализируя табл. 6.6„мы должны выбрать стратегию А,, и рассчи- тынать при этом на выигрыш, равный 5. Но вели противниж заменит стратегию Вл на Вэ, до 3. Поэтому в играх с атьр пр стотами. Решение игры в смешанных стратегиях сводится в основном к определению частот, с которыми необходимо чередовать активные стратегии, чтобы обеспечить максимальный выигрыш или минимальный проигрыш. При этом используется следующее ваЖное свойство игры: если одна сторона применяет оптимальную смешанную стратегию, та ее ' говоРЯ, с какими .частотами Р, и Ра следУет чеРедовать стРатегин.А! и'Аа в оптимальной смешанной стратегии? Мы не знаем, выберет лн сторона В стратегию В~ или стратегию Вт.
Составим в том и другом случае выражения среднего значения (математического ожидания) выигрыша. Приравнивая его цене игры 2 согласно сформулированному выше свойству, получим систему уравнений: Ж'„р, + Ф;гр,=~;) Добавим очевидное равенство Р1+Ра= ). а и ' Ф и!т! р Ф ' р! Чт Ч! , Рнс. 6.6. Графическое определение оптимальной стратегии стороны А а игре «2Х2» Рнс. 6.6. Графическое определение оптимальной .стратегии стороны В е игре «2Х2» Разрешив полученную систему, находим оптимальные частоты: % 22»'21 Р! = ПГ11+ М'22 — П 12 —.
2»2! Ра= ) — Р!. После подстановки р! н Р, в любое из уравнений (6Л2) определяем цену игры т. Аналогично можно было бы определить соотношение количества, противоракет первого н второго типов (частоты д! и да, с которыми следует чередовать стратегии В; и Ва в оптимальной смешанной стратегии стороны В). Другим примером применения игры «2Х2» может быть сравнительный анализ эффективности двух вариантов боевой части ракеты при стрельбе по малым н крупным целям. Игра «2Х2» решается просто не только аналитически, но и графически. На рис. 6.6 по оси ординат аа отложены значения выигрыша стороны А при ее стратегии А1, а на оси ЬЬ— при стратегии Аа. Отрезок оси абсцисс аЬ принят равным единице. Уравнения (6А2), соответствующие стратегиям В, 244 и Ва, представляются двумя прямымн, точка пересеченйя которых (точка М) есть решение системы.
Орднната этой точки равна цене игры т, а абсцисса определяет оптимальное соотношение частот рг и ра. Аналогично'находится оптимальная смешанная стратегия стороны В (рис. 6.6). Заметим, что, рассуждая за сторону А, мы ищем максимум минимального выигрыша, т. е, наибольшую ординату нижней границы. выигрыша (утолщенной ломаной на рис. 6.5). Для стороны В определяется минимум максимального выигрыша, т. е. наименьшая орднната верхней границы,выигрыша. Графический способ решения распространяется на Ь уа Рис.
6.6. Графическое определение оптимальной смешанной стратегии в игре «шХ2» Рг ра ' Рис. ВЛ. Графическое определение оптимальной смешанной стратегии в игре «2Ха» игры «2Хп» или «гпХ2». В игре «2Ха», построив нижнюю границу выигрыша и найдя ее наибольшую ординату, вы-. являем две активные стратегии стороны В (стратегии Ва и Ва на рис. 6.7) н тем самым сводим игру «2Хп» к игре «2Х2». Аналогично сводится к игре «2Х2» игра «тХ2» с тем лишь различием, что нужно строить верхнюю границу выигрыша (рнс. 6.8) н находить наименьшую ординату ее, Решение игры «тХВ» является весьма трудной задачей, сложность которой возрастает с увеличением т н п, Цена игры и частоты, с которыми следует чередовать активные стратегии для получения оптимальной смешанной стратегии, определяются, как -правило, приближенно, итерационными методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
