07-1 Глава 4 Цифровая фильтрация (1044899), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Это общий вид формулы для системной функции цифрового фильтра 1-го порядка. При a=1 и b=e^-T/ она совпадает с полученным
ранее выражением для системной функции цифрового фильтра, аналогичного RC-цепи.

Найдем алгоритм цифровой фильтрации, соответствующий системной функции Error: Reference source not found. Для этого решим уравнение Error: Reference source not found относительно y(nT):

y(nT) = ax(nT) + by(nT-T) (4.32)

На Рис. 4 .6 представлена эквивалентная схема этого алгоритма. По сравнению с нерекурсивной формой, здесь добавилась своеобразная "цепь обратной связи", которая означает, что получаемые значения выходного сигнала используются на следующих этапах расчетов. Фильтры такого типа называют рекурсивными.

Рис. 4.6. Рекурсивный ЦФ 1^-го порядка

Алгоритм Error: Reference source not found соответствует фильтру, который полностью эквивалентен рассмотренному ранее нерекурсивному фильтру.

Но для определения одного значения выходного сигнала с помощью алгоритма нерекурсивного фильтра Error: Reference source not found требуется выполнить 2N операций, а при использовании алгоритма рекурсивного фильтра Error: Reference source not found - только две операции. В этом и состоит основное преимущество рекурсивных фильтров.

Кроме того, рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику, без отбрасывания ее "хвостов".

Более того, рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще нереализуемые средствами нерекурсивных фильтров. Например, при a=1 и b=1, предыдущая схема является, по существу, идеальным накопителем - интегратором, и имеет неубывающую импульсную характеристику вида g(nT)=1, (n0). Фильтр с такой импульсной характеристикой по нерекурсивной схеме не реализуется.

Рассмотренные примеры показывают, что нет смысла строить нерекурсивные алгоритмы для создания цифровых фильтров с импульсной характеристикой большой протяженности. В этих случаях целесообразнее использовать рекурсивные фильтры.

Область применения нерекурсивных фильтров - это реализация цифровых фильтров с импульсной характеристикой, содержащей небольшое число членов.

Примером может служить простейший дифференциатор, выходной сигнал которого равен приращению входного сигнала:

y(nT)=x(nT)-x(nT-T)

Рис. 4.7. ЦФ - простейший дифференциатор

4.8.Цифровые фильтры общего вида. Формы реализации ЦФ

Рассмотрим теперь цифровые фильтры общего вида, которые описываются разностным уравнением N-го порядка:

y(nT)-b₁y(nT-T)-b₂y(nT-2T)-...-b_Ny(nT-NT)=

=a₀x(nT)+a₁x(nT-T)+a₂x(nT-2T)+...+a_Mx(nT-MT)

(4.33)

Рис. 4.8. Схема рекурсивного ЦФ N^-го порядка

Алгоритму Error: Reference source not found соответствует схема на Рис. 4 .8. Это же уравнение можно рассматривать и как алгоритм цифровой фильтрации, если его переписать в виде:

y(nT)=b₁y(nT-T)b₂y(nT-2T)+...+b_Ny(nT-NT)+

+a₀x(nT)+a₁x(nT-T)+a₂x(nT-2T)+...+a_Mx(nT-MT)

Системную функцию найдем применяя Z-преобразование к уравнению Error: Reference source not found:

Y(z)-b₁Y(z)z^-1-b₂Y(z) z^-2-...-b_NY(z) z^-N=

=a₀X(z)+a₁X(z)z^-1+a₂X(z)z^-2+...+a_MX(z) z^-M

(4.34)

Выражение Error: Reference source not found позволяет установить связь между значениями элементов схемы фильтра и системной функцией. Коэффициенты в числителе системной функции a_i определяются значениями коэффициентов при x(nT-kT) в нерекурсивной части фильтра, а коэффициенты в знаменателе b_i определяют рекурсивную часть фильтра.

4.9.Устойчивость цифровых фильтров

Как и передаточная функция, системная функция цифрового фильтра может быть полностью охарактеризована положением своих нулей и полюсов в плоскости комплексного переменного z.

Известно, что для физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функции должны быть расположены в левой полуплоскости комплексного переменного
p =+j , т.е. при Re(p)<0. Чем меньше затухание в системе, тем ближе расположены полюсы к мнимой оси.

По аналогии можно определить положение полюсов системной функции цифрового фильтра в плоскости комплексного переменного z.

Учитывая, что z= e^pT = e^T e^jT , можно сделать вывод, что для устойчивого цифрового фильтра полюсы должны располагаться внутри окружности единичного радиуса.

Чем выше эквивалентная добротность системы, тем ближе должны располагаться полюсы к окружности |z|=1.

Например, системная функция цифрового фильтра - аналога RC-цепи 1^го порядка имеет единственный полюс при z=e^-T/. Чем больше постоянная времени , тем медленнее затухает переходный процесс при элементарном воздействии и тем ближе расположен полюс к единичной окружности.

4.10. Формы реализации цифровых фильтров: каноническая,
последовательная и параллельная формы

Схема ЦФ на не является единственно возможной формой реализации ЦФ с системной функцией вида . Запишем выражение, связывающее Z-образы входных и
выходных сигналов фильтра общего вида:

(4.35)

Выделим промежуточную последовательность u(nT), для которой определим преобразование следующим образом:

(4.36)

Такое преобразование осуществляется с помощью рекурсивного ЦФ N-го порядка. Связь между выходным сигналом y(nT) и промежуточным (nT) определяется выражением:

(4.37)

Эта формула определяет нерекурсивное преобразование, которое можно производить после рекурсивного, которое определено в Error: Reference source not found. Общая схема фильтра показана на Рис. 4 .9.

В этой схеме несколько элементов задержки являются лишними, т.к. дублируют друг друга. Если попарно объединить дублирующие элементы, то получим форму реализации фильтра (Рис. 4 .10), которую называют канонической.

Преимуществом канонической схемы фильтра является минимальное число элементов задержки, равное порядку фильтра.

Рис. 4.9. Прямая (основная) форма ЦФ

Рис. 4.10. Каноническая форма реализация ЦФ

Кроме прямой и канонической форм реализации ЦФ существуют и другие варианты.

Разложим многочлен в числителе и знаменателе системной функции на множители вида:

(_i + _i z^-1 ) и (_i + _i z^-1 + _i z^-2)

так, чтобы коэффициенты _i, _i, _i были действительными числами. Это возможно, так как все коэффициенты a_i и b_i являются вещественными. Затем, группируя соответствующим образом эти множители, представим системную функцию в виде произведения

H(z)=H₁(z) · H₂(z) ·...· H_k(z) (4.38)

где сомножители имеют вид системных функций фильтров первого и второго порядков:

или

Следовательно, ЦФ с системной функцией Error: Reference source not found может быть реализован посредством каскадного (последовательного) соединения цифровых фильтров 1^го и 2^го порядка (Рис. 4 .11).

Рис. 4.11. Последовательная форма ЦФ

Системную функцию Error: Reference source not found, представленную в виде произведения элементарных сомножителей, можно посредством разложения на простые дроби преобразовать к виду:

(4.39)

Такое представление системной функции соответствует схемной реализации (Рис. 4 .12) в виде параллельного соединения элементарных цифровых фильтров .

Рис. 4.12. Параллельная форма ЦФ

Рассмотренные четыре типа фильтров эквивалентны друг другу и дают один и тот же результат, если не учитывать квантования сигналов, погрешностей округления результатов промежуточных вычислений и считать, что параметры фильтров (т.е. коэффициенты _i, _i, _i и другие) заданы абсолютно точно. Погрешности обработки сигналов (квантование коэффициентов и усечение результатов) могут в отдельных случаях приводить к потере устойчивости для рекурсивных цифровых фильтров. Применение последовательной и параллельной форм реализации ЦФ позволяет несколько снизить ошибки обработки сигналов по сравнению с прямой и канонической схемами.

Характеристики

Список файлов лекций